[Francois]

Problema
\( \overline{ab},b_{(9)}=ba,\widehat{nmp}_{(7)} \) donde \( \widehat{nmp} \) indica un periódo puro de esas cifras.
Y me preguntan el valor de \( m+n+p \).

Este problema aún no consigo resolverlo.
Cualquier ayuda estaré muy agradecido.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Problema
\( \overline{ab},b_{(9)}=ba,\widehat{nmp}_{(7)} \) donde \( \widehat{nmp} \) indica un periódo puro de esas cifras.
Y me preguntan el valor de \( m+n+p \).

Este problema aún no consigo resolverlo.
Cualquier ayuda estaré muy agradecido.

Si comparas la parte entera tienes que:

\( 9a+b=7b+a
 \)

de donde \( 3b=4a \) y así \( b=4k \) y \( a=3k \).

Por ser cifras en base \( 7 \), tienes que \( 0\leq a,b<6 \) y por tanto \( k=1 \) y \( b=4 \), \( a=3 \).

Ahora sólo tienes que pasar \( 4/9 \) a base \( 7 \):

\( (4/9)\cdot 7=28/9=3+(1/9) \)
\( (1/9)\cdot 7=7/9=0+(7/9) \)
\( (7/9)\cdot 7=49/9=5+(4/9) \)

Por tanto:

\( \dfrac{4}{9}=0.305305350\ldots_{7)} \)

y así \( m+n+p=0+3+5=8. \)

Saludos.

[robinlambada]

Hola.

Problema
\( \overline{ab},b_{(9)}=ba,\widehat{nmp}_{(7)} \) donde \( \widehat{nmp} \) indica un periódo puro de esas cifras.
Y me preguntan el valor de \( m+n+p \).

Este problema aún no consigo resolverlo.
Cualquier ayuda estaré muy agradecido.

Saludos.

La idea es que que primero pongas los decimales en forma de fracción.

\( ba,\widehat{nmp}_{(7)}=\displaystyle\frac{b7^4+a7^3+n7^2+m7^1+p-b7^1-a}{342} \)

y \(  \overline{ab},b_{(9)}=\displaystyle\frac{a9^2+b9+b}{9} \)


y \(  a9+b+\displaystyle\frac{b}{9}=\displaystyle\frac{7b(7^3-1)+a(7^3-1)+n7^2+m7^1+p}{342} \)

 \(  a9+b+\displaystyle\frac{b}{9}=7b+a+\displaystyle\frac{n7^2+m7^1+p}{342} \) ya que \( 7^3-1=342 \)

Iguala las partes enteras de las  expresiones y ten en cuenta que las incógnitas son naturales menores o iguales a 6.

De hay obtienes el número en base 9 y lo pasas a base 7

Saludos.

P.d: Se me adelanto Luis.  Lo dejo por que en la descomposición se ve claro que se pueden igualar las partes enteras.