La demostración de suponer que existe una expresión fraccionaria equivalente a la expresión decimal 1,999... o sea x=1,99999... , luego multiplicar ambos miembros de la igualdad por 10 , después restar ....,la ralizamos el año pasado con este mismo grupo, pero se sorprendieron recién ahora cuando clasificamos el número 1,99999.....como natural, entero y racional.
Pero claro que es natural, entero, y racional, ¡si es igual a uno!
Si habías dado la demostración un año antes, ¿cómo es que ahora se sorprenden? ¿no habían entendido la demostración antes? ¿o no los convencía?
Algo que comentamos en la clase: Toda expresión decimal periódica es racional porque puede expresarse como fracción, pero si tenemos la fracción y hallamos el cociente, dividiendo el numerador con el denominador nunca nos va a dar como resultado a,99999.....(un número con periódo 9).
Es decir, la expresión fraccionaria equivalente a 1,9999.... puede ser 18/9 pero 18:9 no es 1,99999..... ¿o sí?
?
18/9 = 1,99999... = 2
Porque 0,99999... = 1
Es decir, son el mismo número, pero su representación en el sistema decimal no es única. Por lo tanto, la expresión racional de 0,99999... es la misma expresión racional de 1
Un método para hallar la fracción teniendo un número periódico es el siguiente. Lo voy a hacer con un ejemplo para no complicar con la notación.
Queremos hallar la fracción que representa el número 4,932932932932...
Entonces
\( 4,932932932\ldots = 4+0,932932932 \)
\( x= 0,932932932\ldots \)
\( 1000x= 932,932932932\ldots \) (si la longitud del período es n, se multiplica por 10^n)
\( 1000x-x= 932,932932932\ldots - 0,932932932 \)
\( 999x= 932 \)
\( \displaystyle x = \frac{932}{999} \)
Así que \( \displaystyle 4,932932932\ldots = 4+\frac{932}{999} = \frac{4928}{999} \)
Realizando el mismo procedimiento para \( 0,99999999\ldots \) nos da como resultado 1, entonces esta es su expresión fraccionaria.
A mí me convence (por así decirlo, porque después de esto tengo muchas más cuestiones para atender) la demostración por serie geométrica, interpretando a 0,99999... como 0,9+0,09+.....Pero esto no es para un estudiante de 14 años
Seguro que no, pero si siguen con dudas, cuando crezcan un poco van a poder entender esa demostración. Cuántas cosas pendientes para entender (de matemática) han quedado de nuestra "infancia", que cuando más grandes las aprendemos decimos ¡AH CLARO, ERA ASÍ!
Igualmente la demostración de teeteto creo que la pueden llegar a entender. Preguntales, si estuvieras en 1 y te quisieras mover a 0,9999999.... , ¿cuánto te tendrías que mover?
Por más poco que te muevas, ya te pasaste y terminaste en un número menor. Así que después de un ratito pensando se concluye que no hay que moverse NADA por lo que es igual a 1
Saludos
