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Matemática => Análisis Matemático => Cálculo de Varias Variables => Mensaje iniciado por: NoelAlmunia en 14 Abril, 2021, 10:51 pm

Título: El problema de la vaca que pasta
Publicado por: NoelAlmunia en 14 Abril, 2021, 10:51 pm
Una vaca está atada a un silo con radio r por una cuerda lo suficientemente larga para alcanzar exactamente el punto diametralmente opuesto del silo.

Encuentre el área disponible para el apacentamiento de la vaca.

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=116487.0;attach=23057)

Título: Re: El problema de la vaca que pasta
Publicado por: sugata en 14 Abril, 2021, 10:54 pm
Esto está mal. Por eso puse el creo final. No estaba muy seguro.

El área donde se puede mover la vaca es una circunferencia de radio el semiperimetro del silo. A este area hay que quitarle el área del silo.
Creo....
Título: Re: El problema de la vaca que pasta
Publicado por: NoelAlmunia en 14 Abril, 2021, 11:05 pm
El área donde se puede mover la vaca es una circunferencia de radio el semiperimetro del silo. A este area hay que quitarle el área del silo.
Creo....

 :banghead: Revisa bien, el área máxima está definida por una trayectoria que describe la vaca al moverse manteniendo la cuerda tensa en todo momento. Al ir moviendose con la cuerda tensa, en sentido antihorario, esta cuerda permanece tangente a la superficie del silo. Entonces, hasta cierto punto de la trayectoria, no es una semicircunferencia.
Título: Re: El problema de la vaca que pasta
Publicado por: robinlambada en 14 Abril, 2021, 11:20 pm
Hola.
Una idea.
Toma origen de referencia el centro del la circunferencia que es el silo.

Para hallar el punto de máximo alejamiento de la vaca, se entiende que la cuerda debe estar tensa y tangente a la circunferencia del silo.

Por tanto, al punto de tangencia de la cuerda con la circunferencia silo, que en paramétricas es \( (r cos \theta, rsen \theta ) \) , debes sumarle la longitud de la cuerda desplegada,( que es un arco de circunferencia según el ángulo en el punto de tangencia), al estar la cuerda tensa y ser tangente a la circunferencia es perpendicular al radio.

Al punto de tangencia le sumas el vector: \( r\cdot{}\theta(sen \theta,-cos \theta) \)

Por tanto la curva descrita por la vaca en su extensión máxima entre \( \theta \in{}[-\pi,\pi] \)

Es: \( (x,y)=(r cos \theta, rsen \theta)+r\cdot{}\theta(sen \theta,-cos \theta) \) , recuerda restarle el área del silo al área de la curva


Y para  el resto tienes un semicírculo.

Saludos.

P.D.:Si tengo tiempo te pongo un dibujo.

Título: Re: El problema de la vaca que pasta
Publicado por: robinlambada en 14 Abril, 2021, 11:29 pm
También por simetría respecto al eje de abscisas, puedes calcular el área desde \( \theta \in{}[0,\pi] \) y multiplicarla por 2.

Saludos.
Título: Re: El problema de la vaca que pasta
Publicado por: robinlambada en 14 Abril, 2021, 11:55 pm
Título: Re: El problema de la vaca que pasta
Publicado por: Richard R Richard en 15 Abril, 2021, 03:24 am


Al punto de tangencia le sumas el vector: \( r\cdot{}\theta(sen \theta,-cos \theta) \)



Hola robinlambada, o bien no entendi como lo hiciste, o entiendo que la longitud de soga restante , que es la longitud del vector a sumar es  \( (\pi R-R\theta) \)


por lo que la posicion en funcion del angulo me quedaría


\( (x,y)=(R\cos\theta-(\pi R-R\theta)\sin\theta\, ,\,R\sin\theta+(\pi R-R\theta)\cos\theta) \)


quizá escogí otra forma de resolverlo, y estemos llegando lo mismo.


igualmente eso da la figura de la curva, pero el área que pasta la vaca es la integral de la longitud recta de la soga por cada diferencial de angulo...


osea un semicírculo más 2 veces el área entre la curva superior  y el semicírculo del silo


osea \( A=\pi\dfrac{(\pi R)^2}2+2\displaystyle\int_0^{\pi} (\pi R-R\theta) R \,d\theta \)

el último \( R \) sale de la conversión jacobiana de las polares

\( A=\pi^2 R^2 \dfrac{\pi}{2}+2R^2(\pi^2-\dfrac{\pi^2}{2})=\pi^2 R^2(\dfrac{\pi}{2}+1) \)
Título: Re: El problema de la vaca que pasta
Publicado por: Masacroso en 15 Abril, 2021, 08:15 am
Una semicircunferencia de radio \( r \) puede parametrizarse como

\( \displaystyle{
f:[0,\pi]\to \mathbb{C},\quad \alpha \mapsto re^{i \alpha }
} \)

Y el vector tangente a la curva en cada punto viene dado por \( f'(\alpha )=ire^{i\alpha } \), por tanto la curva de la soga en contacto con la semicircunferencia viene dada por \( g(\alpha ):=re^{i\alpha }(1+(\pi-\alpha )i) \).
esto no estaba bien
Integrando nos quedaría que el área de medio trayecto de la cuerda (que engloba el área del silo) sería

\( \displaystyle{
A_1=2\cdot \frac12\int_{0}^{\pi}|g(\alpha )|^2\mathop{}\!d \alpha =r^2 \int_{0}^{\pi}(1+(\pi-\alpha )^2)\mathop{}\!d \alpha =r^2\left(\pi+\frac{\pi^3}{3}\right)
} \)

A lo anterior queda añadirle el área de medio círculo de radio \( \pi r \), que es \( \pi^3 r^2/2 \), y a todo eso restarle el área del silo que es \( \pi r^2 \), por tanto el área total sería \( 5\pi^3 r^2/6 \) (si no hay ningún error, claro).
[cerrar]

Corrección: lo anterior creo que está mal, ya que he utilizado erróneamente la integral de área. El caso es que la fórmula \( \int_{A}r\mathop{}\!d r\mathop{}\!d \alpha =\int_{\partial A}\frac{r^2}{2}\mathop{}\!d \alpha  \) describe el área de un sector de un ángulo a otro, sin embargo la función que he descrito por \( g \) no representa el área de un sector ya que el ángulo \( \alpha  \) no representa el ángulo real del vector \( g(\alpha ) \). Tengo que revisar lo de arriba.

Actualización: si \( z=g(\alpha ) \) entonces \( \arg(z )=\alpha +\arctan(\pi-\alpha ) \), por tanto si \( \beta:=\arg (z) \) tenemos que

\( \displaystyle{
\mathop{}\!d \beta =\mathop{}\!d \alpha -\frac1{1+(\pi-\alpha )^2}\mathop{}\!d \alpha
} \)

Por tanto

\( \displaystyle{
A_1=\int_{g([0,\pi])}|z|^2\mathop{}\!d \beta =\int_{0}^{\pi}|g(\alpha )|^2\left(1-\frac1{1+(\pi-\alpha )^2}\right)\mathop{}\!d \alpha =r^2\int_{0}^{\pi}(\pi-\alpha )^2\mathop{}\!d \alpha =r^2\frac{\pi^3}{3}
} \)

Ahí \( A_1 \) sería el doble del área sectorial definida por la curva \( g \), nos falta el área de medio círculo de radio \( \pi r \) y dos triángulos de área cada uno \( \pi r^2/2 \) (son las áreas de los puntos comprendidos en el triángulo de vértices \( 0,r, g(0) \)), y a todo eso le restamos el área del silo que es \( \pi r^2 \), por lo tanto el resultado final es el mismo: \( 5\pi ^3r^2/6 \), suponiendo que el cálculo esté (ahora sí) correcto.
Título: Re: El problema de la vaca que pasta
Publicado por: feriva en 15 Abril, 2021, 10:45 am
Según el dibujo de Robin, y si estoy entendiendo bien, sería el área de un cardioide.

Yo no sabía cómo se hallaba el área de un cardioide, pero lo he visto en este vídeo:


Saludos.
Título: Re: El problema de la vaca que pasta
Publicado por: sugata en 15 Abril, 2021, 11:08 am
El área donde se puede mover la vaca es una circunferencia de radio el semiperimetro del silo. A este area hay que quitarle el área del silo.
Creo....

 :banghead: Revisa bien, el área máxima está definida por una trayectoria que describe la vaca al moverse manteniendo la cuerda tensa en todo momento. Al ir moviendose con la cuerda tensa, en sentido antihorario, esta cuerda permanece tangente a la superficie del silo. Entonces, hasta cierto punto de la trayectoria, no es una semicircunferencia.

Toda la razón. Editado.
Título: Re: El problema de la vaca que pasta
Publicado por: Luis Fuentes en 15 Abril, 2021, 11:17 am
Hola

Según el dibujo de Robin, y si estoy entendiendo bien, sería el área de un cardioide.

No, no es una cardioide.

Saludos.
Título: Re: El problema de la vaca que pasta
Publicado por: feriva en 15 Abril, 2021, 12:04 pm
Hola

Según el dibujo de Robin, y si estoy entendiendo bien, sería el área de un cardioide.

No, no es una cardioide.

Saludos.

Muchas gracias, Luis.
Me he dejado llevar por la apariencia.

Saludos.
Título: Re: El problema de la vaca que pasta
Publicado por: feriva en 15 Abril, 2021, 01:28 pm


igualmente eso da la figura de la curva, pero el área que pasta la vaca es la integral de la longitud recta de la soga por cada diferencial de angulo...


Con eso creo que ya entiendo más o menos la idea del todo; cónfirmame, por favor, Richard.

La cuerda se va acortando infinitesimalmente; con lo que entra en juego la diferencial de la longitud, mediante la cual se van definiendo los vectores cuyo origen son los puntos de tangencia y su destino el lugar geométrico que encierra el área (la especie de cardioide ése, aunque no lo sea exactamente). Y entra en juego también, claro, la diferencial del ángulo.
El área vendrá dada por el “haz” de los módulos, por el barrido de esos vectores; desde los dos perpendiculares (de sentido puesto); más, después, la suma del semicírculo.

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=116487.0;attach=23060)

Saludos.
Título: Re: El problema de la vaca que pasta
Publicado por: NoelAlmunia en 15 Abril, 2021, 09:21 pm
Hola.
Una idea.
Toma origen de referencia el centro del la circunferencia que es el silo.

Para hallar el punto de máximo alejamiento de la vaca, se entiende que la cuerda debe estar tensa y tangente a la circunferencia del silo.

Por tanto, al punto de tangencia de la cuerda con la circunferencia silo, que en paramétricas es \( (r cos \theta, rsen \theta ) \) , debes sumarle la longitud de la cuerda desplegada,( que es un arco de circunferencia según el ángulo en el punto de tangencia), al estar la cuerda tensa y ser tangente a la circunferencia es perpendicular al radio.

Al punto de tangencia le sumas el vector: \( r\cdot{}\theta(sen \theta,-cos \theta) \)

Por tanto la curva descrita por la vaca en su extensión máxima entre \( \theta \in{}[-\pi,\pi] \)

Es: \( (x,y)=(r cos \theta, rsen \theta)+r\cdot{}\theta(sen \theta,-cos \theta) \) , recuerda restarle el área del silo al área de la curva


Y para  el resto tienes un semicírculo.

Saludos.

P.D.:Si tengo tiempo te pongo un dibujo.

Sí, robinlambada, por este método puedes deducir como bien hiciste la ecuación paramétrica de la curva que traza la vaca a desplazarse con la cuerda tensa.

Esta curva trazada por el extremo de la cuerda a medida que va "desenrrollando" en sentido antihorario en este caso, se denomina involuta del círculo. Es muy parecida a una cardioide, pero no lo es.
Si el círculo tiene radio \( r \) y centro \( O \), la posición inicial del punto \( P \) que sería el punto extremo de la cuerda es \( \left(r;0\right) \), y si el parámetro \( \theta \) se elige como en la figura que adjunto, también de este manera puede deducirse las expresiones paramétricas, que fue el método que encontré.
Adjunto la figura porque no sé como pegarla en el cuerpo del mensaje. Si puede ayudarme en eso se lo agradecería.

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=116487.0;attach=23062)

Lo desarrollé por simple análisis geométrico.
El punto P posee coordenadas \( x \) e \( y \) que caracterízan su ecuación paramétrica.
En este caso la coordenada \( x\equiv\overline{OR} \) y la coordenada \( y\equiv\overline{PR} \)
El ángulo \( \alpha \) es interior al triángulo rectángulo \( \triangle OPR \) y el \( \beta \) es interior al también triángulo rectángulo \( \triangle OTP \)

El parámetro \( \theta \) es la suma de \( \alpha+\beta \)
Finalmente, para definir la coordenada \( y \) planteamos que: \( y=\overline{OP}\cdot{\sen\left(\alpha\right)} \)
La longitud de \( \overline{TP} \) es equivalente a la longitud del arco de circunferencia \( TQ \). O sea,  \( \overline{TP}=r\cdot{\left(\theta\right)} \)

\( \sen\left(\alpha\right)=\sen\left(\theta-\beta\right)=\sen\left(\theta\right)\cdot{\cos\left(\beta\right)}-\cos\left(\theta\right)\cdot{\sen\left(\beta\right)} \)

Por tanto obtenemos:
\( y=\overline{OP}\left(\sen\left(\theta\right)\cdot{\left(\displaystyle\frac{r}{\overline{OP}}\right)}-\cos\left(\theta\right)\cdot{\left(\displaystyle\frac{\theta\cdot{r}}{\overline{OP}}\right)}\right)=r\cdot{\sen\left(\theta\right)}-r\cdot{\left(\theta\right)}\cdot{\cos\left(\theta\right)} \)

De igual manera obtenemos la coordenada \( x \):
\( x=\overline{OP}\cdot{\cos\left(\alpha\right)} \)
\( \cos\left(\alpha\right)=\cos\left(\theta-\beta\right)=\cos\left(\theta\right)\cdot{\cos\left(\beta\right)}+\sen\left(\theta\right)\cdot{\sen\left(\beta\right)} \)

\( x=\overline{OP}\left(\cos\left(\theta\right)\cdot{\left(\displaystyle\frac{r}{\overline{OP}}\right)}+\sen\left(\theta\right)\cdot{\left(\displaystyle\frac{\theta\cdot{r}}{\overline{OP}}\right)}\right)=r\cdot{\cos\left(\theta\right)}+r\cdot{\left(\theta\right)}\cdot{\sen\left(\theta\right)} \)

Luego de obtener las ecuaciones de la involuta del círculo, es necesario calcular el área total para el apacentamiento de la vaca.
Es preciso calcular el área entre la involuta y la superficie del silo con el parámetro desplazándose desde cero hasta \( \pi \), luego la trayectoria ya no coincide con la involuta para convertirse en una semicircunferencia devido a que la cuerda la situamos referencialmente atada al silo en el punto \( \left(-r;0\right) \) situando a la circunferencia centrada en el orígen de coordenadas.
Luego de terminar la trayectoria semicircular, con el recorrido en sentido antihorario, comienza nuevamente a trazarce la parte inferior de la involuta simétrica a la superior.

Entonces quedaría calcular el área de toda la superficie, hasta ahora no se ha logrado el resultado correcto.

Imagen insertada por un moderador.
Título: Re: El problema de la vaca que pasta
Publicado por: robinlambada en 15 Abril, 2021, 09:41 pm
El resultado obtenido de la integral(*) es erróneo, el valor absoluto debe estar fuera de la integral \( \left |{\displaystyle\int_{0}^{\pi}}f(\theta)d\theta\right | \) y no dentro como he puesto , el resultado correcto en mi mensaje nº 25

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=116487.msg465784#msg465784

Spoiler
Hola.
Una idea.
Toma origen de referencia el centro del la circunferencia que es el silo.

Para hallar el punto de máximo alejamiento de la vaca, se entiende que la cuerda debe estar tensa y tangente a la circunferencia del silo.

Por tanto, al punto de tangencia de la cuerda con la circunferencia silo, que en paramétricas es \( (r cos \theta, rsen \theta ) \) , debes sumarle la longitud de la cuerda desplegada,( que es un arco de circunferencia según el ángulo en el punto de tangencia), al estar la cuerda tensa y ser tangente a la circunferencia es perpendicular al radio.

Al punto de tangencia le sumas el vector: \( r\cdot{}\theta(sen \theta,-cos \theta) \)

Por tanto la curva descrita por la vaca en su extensión máxima entre \( \theta \in{}[-\pi,\pi] \)

Es: \( (x,y)=(r cos \theta, rsen \theta)+r\cdot{}\theta(sen \theta,-cos \theta) \) , recuerda restarle el área del silo al área de la curva


Y para  el resto tienes un semicírculo.

Saludos.

P.D.:Si tengo tiempo te pongo un dibujo.

Sí, robinlambada, por este método puedes deducir como bien hiciste la ecuación paramétrica de la curva que traza la vaca a desplazarse con la cuerda tensa.
Esta curva trazada por el extremo de la cuerda a medida que va "desenrrollando" en sentido antihorario en este caso, se denomina involuta del círculo. Es muy parecida a una cardioide, pero no lo es.
Si el círculo tiene radio \( r \) y centro \( O \), la posición inicial del punto \( P \) que sería el punto extremo de la cuerda es \( \left(r;0\right) \), y si el parámetro \( \theta \) se elige como en la figura que adjunto, también de este manera puede deducirse las expresiones paramétricas, que fue el método que encontré.
Adjunto la figura porque no sé como pegarla en el cuerpo del mensaje. Si puede ayudarme en eso se lo agradecería.

Lo desarrollé por simple análisis geométrico.
El punto P posee coordenadas \( x \) e \( y \) que caracterízan su ecuación paramétrica.
En este caso la coordenada \( x\equiv\overline{OR} \) y la coordenada \( y\equiv\overline{PR} \)
El ángulo \( \alpha \) es interior al triángulo rectángulo \( \triangle OPR \) y el \( \beta \) es interior al también triángulo rectángulo \( \triangle OTP \)

El parámetro \( \theta \) es la suma de \( \alpha+\beta \)
Finalmente, para definir la coordenada \( y \) planteamos que: \( y=\overline{OP}\cdot{\sen\left(\alpha\right)} \)
La longitud de \( \overline{TP} \) es equivalente a la longitud del arco de circunferencia \( TQ \). O sea,  \( \overline{TP}=r\cdot{\left(\theta\right)} \)

\( \sen\left(\alpha\right)=\sen\left(\theta-\beta\right)=\sen\left(\theta\right)\cdot{\cos\left(\beta\right)}-\cos\left(\theta\right)\cdot{\sen\left(\beta\right)} \)

Por tanto obtenemos:
\( y=\overline{OP}\left(\sen\left(\theta\right)\cdot{\left(\displaystyle\frac{r}{\overline{OP}}\right)}-\cos\left(\theta\right)\cdot{\left(\displaystyle\frac{\theta\cdot{r}}{\overline{OP}}\right)}\right)=r\cdot{\sen\left(\theta\right)}-r\cdot{\left(\theta\right)}\cdot{\cos\left(\theta\right)} \)

De igual manera obtenemos la coordenada \( x \):
\( x=\overline{OP}\cdot{\cos\left(\alpha\right)} \)
\( \cos\left(\alpha\right)=\cos\left(\theta-\beta\right)=\cos\left(\theta\right)\cdot{\cos\left(\beta\right)}+\sen\left(\theta\right)\cdot{\sen\left(\beta\right)} \)

\( x=\overline{OP}\left(\cos\left(\theta\right)\cdot{\left(\displaystyle\frac{r}{\overline{OP}}\right)}+\sen\left(\theta\right)\cdot{\left(\displaystyle\frac{\theta\cdot{r}}{\overline{OP}}\right)}\right)=r\cdot{\cos\left(\theta\right)}+r\cdot{\left(\theta\right)}\cdot{\sen\left(\theta\right)} \)

Luego de obtener las ecuaciones de la involuta del círculo, es necesario calcular el área total para el apacentamiento de la vaca.
Es preciso calcular el área entre la involuta y la superficie del silo con el parámetro desplazándose desde cero hasta \( \pi \), luego la trayectoria ya no coincide con la involuta para convertirse en una semicircunferencia devido a que la cuerda la situamos referencialmente atada al silo en el punto \( \left(-r;0\right) \) situando a la circunferencia centrada en el orígen de coordenadas.
Luego de terminar la trayectoria semicircular, con el recorrido en sentido antihorario, comienza nuevamente a trazarce la parte inferior de la involuta simétrica a la superior.

Entonces quedaría calcular el área de toda la superficie, hasta ahora no se ha logrado el resultado correcto.

[cerrar]
A mi, si no he cometido errores, me da:
\( \boxed{A_T=\pi r^2\left({1+\displaystyle\frac{3}{4}\pi ^2}\right)} \)

Integre con Wolfram la involuta desde cero a \( \pi \) , Dándome:  \(  2A_1=2 \displaystyle\int_{0}^{\pi}|y(\theta)x'(\theta)|d\theta\,(*)\,=2\pi r^2\left({1+\displaystyle\frac{\pi ^2}{8}}\right) \)

Y el área total  \( A_T= 2\pi r^2\left({1+\displaystyle\frac{\pi ^2}{8}}\right)-\pi r^2+\displaystyle\frac{\pi^3r^2}{2}=\pi r^2\left({1+\displaystyle\frac{3}{4}\pi ^2}\right) \)

Saludos.

P.D.: (*) Aunque no me fio mucho de que la expresión integral que puse se pueda utilizar
Título: Re: El problema de la vaca que pasta
Publicado por: robinlambada en 15 Abril, 2021, 09:53 pm


Al punto de tangencia le sumas el vector: \( r\cdot{}\theta(sen \theta,-cos \theta) \)



Hola robinlambada, o bien no entendi como lo hiciste, o entiendo que la longitud de soga restante , que es la longitud del vector a sumar es  \( (\pi R-R\theta) \)


por lo que la posicion en funcion del angulo me quedaría


\( (x,y)=(R\cos\theta-(\pi R-R\theta)\sin\theta\, ,\,R\sin\theta+(\pi R-R\theta)\cos\theta) \)


quizá escogí otra forma de resolverlo, y estemos llegando lo mismo.


igualmente eso da la figura de la curva, pero el área que pasta la vaca es la integral de la longitud recta de la soga por cada diferencial de angulo...


osea un semicírculo más 2 veces el área entre la curva superior  y el semicírculo del silo


osea \( A=\pi\dfrac{(\pi R)^2}2+2\displaystyle\int_0^{\pi} (\pi R-R\theta) R \,d\theta \)

el último \( R \) sale de la conversión jacobiana de las polares

\( A=\pi^2 R^2 \dfrac{\pi}{2}+2R^2(\pi^2-\dfrac{\pi^2}{2})=\pi^2 R^2(\dfrac{\pi}{2}+1) \)
Lo que ocurre es que tu has utilizado el origen del ángulo \( ºtheta \)  desde el semieje negativo de la abscisas y yo el semieje positivo,( tu ángulo se recorre de forma horaria y el mio antihoraria.)pero has calculado mal las coordenada de la vaca. tienes mal los signos de las coordenadas del punto de tangencia con el silo y del vector tangente, revísalo.

Saludos.
Título: Re: El problema de la vaca que pasta
Publicado por: robinlambada en 15 Abril, 2021, 10:34 pm
Una semicircunferencia de radio \( r \) puede parametrizarse como

\( \displaystyle{
f:[0,\pi]\to \mathbb{C},\quad \alpha \mapsto re^{i \alpha }
} \)

Y el vector tangente a la curva en cada punto viene dado por \( f'(\alpha )=ire^{i\alpha } \), por tanto la curva de la soga en contacto con la semicircunferencia viene dada por \( g(\alpha ):=re^{i\alpha }(1+(\pi-\alpha )i) \).

Creo que tienes 2 errores, el ángulo que partes es medido desde el semieje positivo de abscisas y por ello el segmento tangente tiene longitud \( r \alpha  \) y el sentido del vector tangente es el contrario, a mi juicio sería \( -ir\alpha e^{i \alpha} \)

Saludos.
Título: Re: El problema de la vaca que pasta
Publicado por: NoelAlmunia en 15 Abril, 2021, 10:44 pm
A mí el área total me da: \( A_T=\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)\cdot{\pi^3}\cdot{r^2} \)
Utilicé una integral de línea para el cálculo del área entre la involuta y el círculo de cero a \( \pi \), lo multipliqué por dos y le sumé el área del semicírculo restante.
Mañana escribo el resultado, robinlambada está en España pero yo estoy en Cuba.
Título: Re: El problema de la vaca que pasta
Publicado por: robinlambada en 15 Abril, 2021, 10:58 pm
A mí el área total me da: \( A_T=\left(\displaystyle\frac{5}{6}\right)\cdot{\pi^3}\cdot{r^2} \)
Utilicé una integral de línea para el cálculo del área entre la involuta y el círculo de cero a \( \pi \), lo multipliqué por dos y le sumé el área del semicírculo restante.
Mañana escribo el resultado, robinlambada está en España pero yo estoy en Cuba.

He comparado mi resultado utilizando Wolfram.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%7C%28sinx-xcosx%29xcosx%7Cdx+%2C+x%3D0+to+x%3Dpi

Con lo que \( A_1\approx{}7'01 \)

Con una aproximación poligonal (interior) a través de geogebra y me salen muy parecidos, con geogebra \( A_1\approx{6'72} \), que lógicamente debe ser algo menor que la exacta.
aproximación con geogebra
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=116487.0;attach=23063)
[cerrar]

Sin embargo a Masacroso le da \( A_1=\displaystyle\frac{\pi^3}{3}\approx{}10'34 \)

Saludos.
Título: Re: El problema de la vaca que pasta
Publicado por: Masacroso en 15 Abril, 2021, 11:01 pm
Una semicircunferencia de radio \( r \) puede parametrizarse como

\( \displaystyle{
f:[0,\pi]\to \mathbb{C},\quad \alpha \mapsto re^{i \alpha }
} \)

Y el vector tangente a la curva en cada punto viene dado por \( f'(\alpha )=ire^{i\alpha } \), por tanto la curva de la soga en contacto con la semicircunferencia viene dada por \( g(\alpha ):=re^{i\alpha }(1+(\pi-\alpha )i) \).

Creo que tienes 2 errores, el ángulo que partes es medido desde el semieje positivo de abscisas y por ello el segmento tangente tiene longitud \( r \alpha  \) y el sentido del vector tangente es el contrario, a mi juicio sería \( -ir\alpha e^{i \alpha} \)

Saludos.

Es la misma curva que de la otra manera pero reflejada respecto del eje \( Y \). Es decir: tú tienes la involuta parametrizada por \( \alpha \mapsto re^{i\alpha }-i\alpha re^{i\alpha } \) y la mía está parametrizada como \( \alpha \mapsto re^{i\alpha }+i(\pi-\alpha) re^{i\alpha } \), para \( \alpha \in [0,\pi] \). Graficando es la misma curva pero reflejada respecto del eje \( Y \).

Para \( r=1 \), tu curva es la de azul, la mía es la naranja:

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=116487.0;attach=23064)

Para calcular el área bajo la involuta he utilizado la fórmula del área encerrada por una curva, que en definitiva es un caso particular del teorema de Stokes. En este caso, al ser el área un sector, la integral se anula en los pedazos de curva que vienen a cerrar el área definida por la involuta (ya que ahí el ángulo es constante).

El área encerrada por una curva plana cerrada \( \Gamma  \) que no se intersecta a sí misma vendría dada en polares por \( \int_{\Gamma }\frac{r^2}{2}\mathop{}\!d \alpha  \), donde \( \Gamma \) es una colección de puntos \( (r,\alpha ) \). En nuestro caso \( \Gamma =I+J_1+J_2 \), donde \( I \) es la involuta y los \( J_k \) son los segmentos que unen los extremos de la involuta al centro del plano. Ocurre que \( \int_{J_k}\frac{r^2}{2}\mathop{}\!d \alpha =0 \) porque \( J_k=\{(s,\alpha _k):s\in [0,r]\} \) para ángulos \( \alpha _k \) constantes.

Añado: una vez calculada el área sectorial faltaría añadir el área del triángulo dado por los puntos (en tu caso) \( 0, -r, r(-1+i\pi)  \) (en mi caso serían los puntos \( 0,r,r(1+i\pi) \)).
Título: Re: El problema de la vaca que pasta
Publicado por: robinlambada en 15 Abril, 2021, 11:39 pm
Una semicircunferencia de radio \( r \) puede parametrizarse como

\( \displaystyle{
f:[0,\pi]\to \mathbb{C},\quad \alpha \mapsto re^{i \alpha }
} \)

Y el vector tangente a la curva en cada punto viene dado por \( f'(\alpha )=ire^{i\alpha } \), por tanto la curva de la soga en contacto con la semicircunferencia viene dada por \( g(\alpha ):=re^{i\alpha }(1+(\pi-\alpha )i) \).

Creo que tienes 2 errores, el ángulo que partes es medido desde el semieje positivo de abscisas y por ello el segmento tangente tiene longitud \( r \alpha  \) y el sentido del vector tangente es el contrario, a mi juicio sería \( -ir\alpha e^{i \alpha} \)

Saludos.

Es la misma curva que de la otra manera pero reflejada respecto del eje \( Y \). Es decir: tú tienes la involuta parametrizada por \( \alpha \mapsto re^{i\alpha }-i\alpha re^{i\alpha } \) y la mía está parametrizada como \( \alpha \mapsto re^{i\alpha }+i(\pi-\alpha) re^{i\alpha } \), para \( \alpha \in [0,\pi] \). Graficando es la misma curva pero reflejada respecto del eje \( Y \).

Para \( r=1 \), tu curva es la de azul, la mía es la naranja:

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=116487.0;attach=23064)

Para calcular el área bajo la involuta he utilizado la fórmula del área encerrada por una curva, que en definitiva es un caso particular del teorema de Stokes. En este caso, al ser el área un sector, la integral se anula en los pedazos de curva que vienen a cerrar el área definida por la involuta (ya que ahí el ángulo es constante).

El área encerrada por una curva plana cerrada \( \Gamma  \) que no se intersecta a sí misma vendría dada en polares por \( \int_{\Gamma }\frac{r^2}{2}\mathop{}\!d \alpha  \), donde \( \Gamma \) es una colección de puntos \( (r,\alpha ) \). En nuestro caso \( \Gamma =I+J_1+J_2 \), donde \( I \) es la involuta y los \( J_k \) son los segmentos que unen los extremos de la involuta al centro del plano. Ocurre que \( \int_{J_k}\frac{r^2}{2}\mathop{}\!d \alpha =0 \) porque \( J_k=\{(s,\alpha _k):s\in [0,r]\} \) para ángulos \( \alpha _k \) constantes.

Añado: una vez calculada el área sectorial faltaría añadir el área del triángulo dado por los puntos (en tu caso) \( 0, -r, r(-1+i\pi)  \) (en mi caso serían los puntos \( 0,r,r(1+i\pi) \)).
Cierto, son parametrizaciones distintas.
Lo que no me cuadra es el resultado de la integral \( I \) ( No se corresponde con la aproximación poligonal que hice con geogebra, debería ser menor que 6'72 ya que habría que sumarle el área triangular.

Saludos.

Saludos.
Título: Re: El problema de la vaca que pasta
Publicado por: Masacroso en 15 Abril, 2021, 11:50 pm
Cierto, son parametrizaciones distintas.
Lo que no me cuadra es el resultado de la integral \( I \) ( No se corresponde con la aproximación poligonal que hice con geogebra, debería ser menor que 6'72 ya que habría que sumarle el área triangular.

Saludos.

Saludos.

Mi \( A_1=r^2\frac{\pi^3}{3} \) es el doble del área sectorial definida por parametrizaciones de la involuta de cero a \( \pi \). Es decir: el área bajo una involuta usando mis cálculos sería de \( \frac{r^2\pi ^3}{6}+\frac{r^2\pi}{2}=\frac{r^2\pi(3+\pi^2)}{6} \), si ponemos \( r=1 \) entonces el área bajo la involuta sería de aproximadamente \( 6,738 \), que es más o menos lo que te sale con la aproximación poligonal.
Título: Re: El problema de la vaca que pasta
Publicado por: robinlambada en 16 Abril, 2021, 12:17 am
Cierto, son parametrizaciones distintas.
Lo que no me cuadra es el resultado de la integral \( I \) ( No se corresponde con la aproximación poligonal que hice con geogebra, debería ser menor que 6'72 ya que habría que sumarle el área triangular.

Saludos.

Saludos.

Mi \( A_1=r^2\frac{\pi^3}{3} \) es el doble del área sectorial definida por parametrizaciones de la involuta de cero a \( \pi \). Es decir: el área bajo una involuta usando mis cálculos sería de \( \frac{r^2\pi ^3}{6}+\frac{r^2\pi}{2}=\frac{r^2\pi(3+\pi^2)}{6} \), si ponemos \( r=1 \) entonces el área bajo la involuta sería de aproximadamente \( 6,738 \), que es más o menos lo que te sale con la aproximación poligonal.
Muchas gracias, pensé que no  era el doble. Ahora me cuadra perfectamente.
La integral que yo he usado, se basa en una idea que no me convence mucho, pues es para curvas que entiendo que deben ser funciones \( y=f(x) \) y este no es el caso.
 Viene de \( \displaystyle\int_{x(t_o)}^{x(t_1)}y(x)dx=\displaystyle\int_{t_o}^{t_1}y(t)\frac{dx}{dt}dt \)
Título: Re: El problema de la vaca que pasta
Publicado por: Richard R Richard en 16 Abril, 2021, 01:39 am





Lo que ocurre es que tu has utilizado el origen del ángulo \( ºtheta \)  desde el semieje negativo de la abscisas y yo el semieje positivo,( tu ángulo se recorre de forma horaria y el mio antihoraria.)


Sí , si, claro.


pero has calculado mal las coordenada de la vaca. tienes mal los signos de las coordenadas del punto de tangencia con el silo y del vector tangente, revísalo.




He repetido mi cálculo y no veo donde me equivoque...


veamos como es la curva por trozos,


\( R\geq x\geq R(\pi +1) \quad \mapsto \quad  y=\sqrt{\pi^2 R_s^2+(x-R_s)^2} \)


la curva cuando  \( -R\geq x < R \mapsto (x_c,y_c)=f_1(\theta) \)


\( x_c=R_s\cos\theta -(\pi R-\theta R)\sin\theta \) 


\( y_c=R_s\sin\theta +(\pi R-\theta R)\cos\theta \)


y el silo lo parametrizo

\( -R\geq x < R \mapsto (x_s,y_s)=f_2(\theta) \)


\( x_s=R_s\cos\theta \)


\( y_s=R_s\sin\theta \)


(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=116487.0;attach=23066)

la distancia entre curvas en función del ángulo  es


\( D(\theta)=\sqrt{(x_c-x_s)^2+(y_c-y_s)^2} \)


\( D(\theta)=\pi R-\theta R \)


como el lógico , es lo que queda de soga que no sea tangente al silo.


luego calculo el área  como


\( A=\dfrac12 \pi (R\pi)^2+2\displaystyle \int_0^{\pi}(\pi R-\theta R)R d\theta \)


\( A=\displaystyle \dfrac{\pi}{2}\pi^2 R_s^2+2R_s^2\left(\pi \theta-\dfrac{\theta^2}{2}\right)\vert_0^{\pi} \)


\( A=\pi^2R_s^2\left(\dfrac{\pi}{2}+1\right) \) Vuelvo a llegar a lo mismo... que paso esta equivocado?
Título: Re: El problema de la vaca que pasta
Publicado por: hméndez en 16 Abril, 2021, 08:09 am





Lo que ocurre es que tu has utilizado el origen del ángulo \( ºtheta \)  desde el semieje negativo de la abscisas y yo el semieje positivo,( tu ángulo se recorre de forma horaria y el mio antihoraria.)


Sí , si, claro.


pero has calculado mal las coordenada de la vaca. tienes mal los signos de las coordenadas del punto de tangencia con el silo y del vector tangente, revísalo.




He repetido mi cálculo y no veo donde me equivoque...


veamos como es la curva por trozos,


\( R\geq x\geq R(\pi +1) \quad \mapsto \quad  y=\sqrt{\pi^2 R_s^2+(x-R_s)^2} \)


la curva cuando  \( -R\geq x < R \mapsto (x_c,y_c)=f_1(\theta) \)


\( x_c=R_s\cos\theta -(\pi R-\theta R)\sin\theta \) 


\( y_c=R_s\sin\theta +(\pi R-\theta R)\cos\theta \)


y el silo lo parametrizo

\( -R\geq x < R \mapsto (x_s,y_s)=f_2(\theta) \)


\( x_s=R_s\cos\theta \)


\( y_s=R_s\sin\theta \)


(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=116487.0;attach=23066)

la distancia entre curvas en función del ángulo  es


\( D(\theta)=\sqrt{(x_c-x_s)^2+(y_c-y_s)^2} \)


\( D(\theta)=\pi R-\theta R \)


como el lógico , es lo que queda de soga que no sea tangente al silo.


luego calculo el área  como


\( A=\dfrac12 \pi (R\pi)^2+2\displaystyle \int_0^{\pi}(\pi R-\theta R)R d\theta \)
...

Hola, creo que el error está en la integral. Analizando el movimiento del segmento D (marcado en rojo).Usando centros instantáneos de rotación tu integral debería escribirse así:

 \( 2\displaystyle\int_{0}^{\pi}\displaystyle\frac{1}{2}(\pi R-\theta R)^2d\theta \) cuyo valor es \(  \displaystyle\frac{\pi^3}{3}R^2 \)

Esto al ser sumado con el primer término es igual a \( \displaystyle\frac{5}{6}\pi^3R^2 \) que es el área buscada.

Saludos
Título: Re: El problema de la vaca que pasta
Publicado por: robinlambada en 16 Abril, 2021, 01:22 pm
Mi error a sido poner el valor absoluto del integrando, al calcular el área.

Es claro que visto así se deben restar dos áreas , en vez de sumarlas como hice con el valor absoluto dentro del integrando( el área desde \( x=-r \) hasta \( x \) máxima  menos el área desde \( x \) máxima a \( x=r \))

Si dejo la integral como : \( A_1= \left |{\displaystyle\int_{0}^{\pi}y(\theta)x'(\theta)d\theta}\right |=\displaystyle\frac{\pi }{6}r^2\left({3+\pi ^2}\right)\approx{}6'7385 \)

Enlace a wolfram alpha , con el resultado correcto

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%28sinx-xcosx%29xcosxdx+%2C+x%3D0+to+x%3Dpi

Saludos.
Título: Re: El problema de la vaca que pasta
Publicado por: robinlambada en 16 Abril, 2021, 01:30 pm
Ahora si me cuadra con el resto:

\( A_T=\displaystyle\frac{2\pi }{6}r^2\left({3+\pi ^2}\right)-\pi r^2+ \displaystyle\frac{\pi ^3r^2}{2}=\displaystyle\frac{5\pi ^3r^2}{6} \)

Saludos.
Título: Re: El problema de la vaca que pasta
Publicado por: robinlambada en 16 Abril, 2021, 10:21 pm

He repetido mi cálculo y no veo donde me equivoque...

Si, disculpa, la parametrización es correcta, se trata de la misma que la que ha usado Masacroso, El error como apunta hméndez esta en la integral.

Saludos.
Título: Re: El problema de la vaca que pasta
Publicado por: NoelAlmunia en 16 Abril, 2021, 10:27 pm
Ahora si me cuadra con el resto:

\( A_T=\displaystyle\frac{2\pi }{6}r^2\left({3+\pi ^2}\right)-\pi r^2+ \displaystyle\frac{\pi ^3r^2}{2}=\displaystyle\frac{5\pi ^3r^2}{6} \)

Saludos.

Ahora sí mi hermano, cometiste al principio esos errores pero dejé que continuaras buscando.
Por mi parte yo no paso tanto trabajo con esto del cálculo de áreas planas, tanto las conformadas por una misma función (ej. el área de una elipse) como las formadas por el intercepto de varias curvas o funciones. Es muy facil para esto el uso de integrales curvilineas y su propiedad de aditividad.

El área de una superficie puedes calcularla mediante la integral de línea cerrada: \( A=\displaystyle\left(\displaystyle\frac{1}{2}\right)\oint_{C}-y\,dx+x\,dy \)
Como tienes la curva en paramétricas, es muy facil:
\( x=r\,\cos\left(\theta\right)+r\left(\theta\right)\sen\left(\theta\right) \);   \( dx=\left(\theta\right)\,r\,\cos\left(\theta\right)\,d\left(\theta\right) \)
\( y=r\,\sen\left(\theta\right)-r\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right) \);   \( dy=\left(\theta\right)\,r\,\sen\left(\theta\right)\,d\left(\theta\right) \)

Primeramente calculé el área conformada por la sección de la involuta superior con el parámetro desde cero hasta \( \pi \) (a partir de este punto la curva deja de ser involuta para convertirse en una semicircunferencia de radio \( \left(\pi\,r\right) \) ya que este radio es equivalente a la longitud de la semicircunferencia del silo), luego la trayectoria continúa por la línea recta \( y=-r \) desde \( y=\pi\,r \) hasta \( y=0 \). A partir de este punto, la integral de línea se traslada por la parte superior de la semicircunferencia superior del silo desde \( \pi \) hasta cero. Esta área se multiplica por dos ya que es idéntica a la superficie inferior que conforma la parte de abajo de la involuta y finalmente se suma el área de la semicircunferencia de radio\( \left(\pi\,r\right) \)

\( A_1=\displaystyle\frac{1}{2}\,\displaystyle\int_{0}^{\pi}\left(\left(r\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)-r\,\sen\left(\theta\right)\right)\left(\theta\right)\,r\,\cos\left(\theta\right)+\left(r\cos\left(\theta\right)+r\left(\theta\right)\sen\left(\theta\right)\right)\left(\theta\right)\,r\,\sen\left(\theta\right)\right)\,d\left(\theta\right)+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{\pi\,r}^{0}\left(-r\right)dy+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{\pi}^{0}\left(r^2\,\sen^2\left(\theta\right)+r^2\,\cos^2\left(\theta\right)\right)\,d\left(\theta\right) \)
Como puede notarse el recorrido es antihorario y la última integral está conformada a partir de la circunferencia paramétrica del silo de igual manera.

Por tanto:
\( A_1=\displaystyle\frac{r^2}{2}\,\displaystyle\int_{0}^{\pi}\theta^2\cos^2\left(\theta\right)d\theta-\displaystyle\frac{r^2}{2}\displaystyle\int_{0}^{\pi}\left(\theta\right)\sen\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)d\theta+\displaystyle\frac{r^2}{2}\displaystyle\int_{0}^{\pi}\left(\theta\right)\sen\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)d\theta+\displaystyle\frac{r^2}{2}\,\displaystyle\int_{0}^{\pi}\theta^2\sen^2\left(\theta\right)d\theta-\displaystyle\frac{r^2}{2}\displaystyle\int_{\pi r}^{0}dy+\displaystyle\frac{r^2}{2}\,\displaystyle\int_{\pi}^{0}\sen^2\left(\theta\right)d\theta+\displaystyle\frac{r^2}{2}\,\displaystyle\int_{\pi}^{0}\cos^2\left(\theta\right)d\theta \)

Aquí dos integrales se cancelan y la solución de las restantes es muy sencilla empleando integración por partes e identidad trigonométrica del seno y coseno cuadrado. Dándo como resultado:
\( A_1=\left(5.1685\right)\,r^2 \)
\( A_2=\left(\displaystyle\frac{\pi^3}{2}\right)\,r^2 \)
\( A_T=2\,A_1+A_2=\left(\displaystyle\frac{5}{6}\,\pi^3\right)\,r^2 \)
Título: Re: El problema de la vaca que pasta
Publicado por: robinlambada en 17 Abril, 2021, 09:20 am
Ahora si me cuadra con el resto:

\( A_T=\displaystyle\frac{2\pi }{6}r^2\left({3+\pi ^2}\right)-\pi r^2+ \displaystyle\frac{\pi ^3r^2}{2}=\displaystyle\frac{5\pi ^3r^2}{6} \)

Saludos.

Ahora sí mi hermano, cometiste al principio esos errores pero dejé que continuaras buscando.
Por mi parte yo no paso tanto trabajo con esto del cálculo de áreas planas, tanto las conformadas por una misma función (ej. el área de una elipse) como las formadas por el intercepto de varias curvas o funciones. Es muy facil para esto el uso de integrales curvilineas y su propiedad de aditividad.

El área de una superficie puedes calcularla mediante la integral de línea cerrada: \( \color{red}A=\displaystyle\oint_{C}-y\,dx+x\,dy \) (*)
Como tienes la curva en paramétricas, es muy facil:
\( x=r\,\cos\left(\theta\right)+r\left(\theta\right)\sen\left(\theta\right) \);   \( dx=\left(\theta\right)\,r\,\cos\left(\theta\right)\,d\left(\theta\right) \)
\( y=r\,\sen\left(\theta\right)-r\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right) \);   \( dy=\left(\theta\right)\,r\,\sen\left(\theta\right)\,d\left(\theta\right) \)

Primeramente calculé el área conformada por la sección de la involuta superior con el parámetro desde cero hasta \( \pi \) (a partir de este punto la curva deja de ser involuta para convertirse en una semicircunferencia de radio \( \left(\pi\,r\right) \) ya que este radio es equivalente a la longitud de la semicircunferencia del silo), luego la trayectoria continúa por la línea recta \( y=-r \) desde \( y=\pi\,r \) hasta \( y=0 \). A partir de este punto, la integral de línea se traslada por la parte superior de la semicircunferencia superior del silo desde \( \pi \) hasta cero. Esta área se multiplica por dos ya que es idéntica a la superficie inferior que conforma la parte de abajo de la involuta y finalmente se suma el área de la semicircunferencia de radio\( \left(\pi\,r\right) \)

\( A_1=\displaystyle\frac{1}{2}\,\displaystyle\int_{0}^{\pi}\left(\left(r\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)-r\,\sen\left(\theta\right)\right)\left(\theta\right)\,r\,\cos\left(\theta\right)+\left(r\cos\left(\theta\right)+r\left(\theta\right)\sen\left(\theta\right)\right)\left(\theta\right)\,r\,\sen\left(\theta\right)\right)\,d\left(\theta\right)+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{\pi\,r}^{0}\left(-r\right)dy+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{\pi}^{0}\left(r^2\,\sen^2\left(\theta\right)+r^2\,\cos^2\left(\theta\right)\right)\,d\left(\theta\right) \)
Como puede notarse el recorrido es antihorario y la última integral está conformada a partir de la circunferencia paramétrica del silo de igual manera.

Por tanto:
\( A_1=\displaystyle\frac{r^2}{2}\,\displaystyle\int_{0}^{\pi}\theta^2\cos^2\left(\theta\right)d\theta-\displaystyle\frac{r^2}{2}\displaystyle\int_{0}^{\pi}\left(\theta\right)\sen\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)d\theta+\displaystyle\frac{r^2}{2}\displaystyle\int_{0}^{\pi}\left(\theta\right)\sen\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)d\theta+\displaystyle\frac{r^2}{2}\,\displaystyle\int_{0}^{\pi}\theta^2\sen^2\left(\theta\right)d\theta-\displaystyle\frac{r^2}{2}\displaystyle\int_{\pi r}^{0}dy+\displaystyle\frac{r^2}{2}\,\displaystyle\int_{\pi}^{0}\sen^2\left(\theta\right)d\theta+\displaystyle\frac{r^2}{2}\,\displaystyle\int_{\pi}^{0}\cos^2\left(\theta\right)d\theta \)

Aquí dos integrales se cancelan y la solución de las restantes es muy sencilla empleando integración por partes e identidad trigonométrica del seno y coseno cuadrado. Dándo como resultado:
\( A_1=\left(5.1685\right)\,r^2 \)
\( A_2=\left(\displaystyle\frac{\pi^3}{2}\right)\,r^2 \)
\( A_T=2\,A_1+A_2=\left(\displaystyle\frac{5}{6}\,\pi^3\right)\,r^2 \)

Muy útil el Teorema de Green aplicado para calcular áreas de recintos cerrados.

Si tomamos el campo vectorial \( \overrightarrow{F}=(M,N)=(-y,x) \)

Por el Teorema: \( \displaystyle\oint _{\partial D}\overrightarrow{F}\cdot{}\overrightarrow{dr}=\iint _D\left({\frac{{\partial N}}{{\partial x}}-\frac{{\partial M}}{{\partial y}}}\right)dA \)

Entonces queda: \( 2A=\displaystyle\oint _{\partial D}-ydx+xdy=\iint _D 2dA \)

 Te comiste el \( \displaystyle\frac{1}{2} \) en (*) que te marqué en rojo, pero que en los cálculos ya si lo pusiste.

También se puede utilizar para el cálculo del área otras expresiones como usar el campo vectorial por ejemplo \( \overrightarrow{F}=(-y,0) \)  o \( \overrightarrow{F}=(0,x) \)

Saludos desde España.

P.D.: Por cierto me ha gustado bastante el problema que has propuesto y las diferentes maneras de abordar el problema por los compañeros también.
Título: Re: El problema de la vaca que pasta
Publicado por: Masacroso en 18 Abril, 2021, 03:15 am
Yo con esto de la vaca me he puesto a repasar geometría diferencial. Hay varias formas de resolver el ejercicio pero fundamentalmente se pueden resumir grosso modo en dos: utilizando el teorema de Green, o directamente integrando el área.

Como la forma de volumen canónica en \( \mathbb{R}^2 \) es \( dx\wedge dy \) y cualquier derivado difeomorfo como \( r dr\wedge d\alpha  \) (la forma anterior reescrita en polares) entonces, aplicando el teorema de Stokes, que en el caso de dos dimensiones es el teorema de Green, nos dice que \( \int_{A}dx\wedge dy=\int_{\partial A}\omega  \), donde \( \partial A \) es el contorno de \( A \) con la orientación de Stokes, que en dos dimensiones significa que recorremos el contorno en la dirección contraria a las agujas del reloj, y \( \omega  \) es una primitiva de \( dx\wedge dy \), que quiere decir que \( d\omega =dx\wedge dy \).

Hay varias primitivas de \( dx\wedge dy \), por ejemplo \( xdy,\, -ydx, \frac1{2}(xdy-ydx) \), siendo la última quizá la más usada. En polares la última primitiva toma la forma de \( \frac{r^2}{2}\mathop{}\!d \alpha  \). Entonces, si \( \varphi  \) es una parametrización positivamente orientada del contorno tendríamos que

\( \displaystyle{
\int_{\partial A}\omega =\int_{\varphi ^{-1}(\partial A)}\varphi ^* \omega \tag1
} \)

donde \( \varphi ^* \) es el pull-back o aplicación regrediente inducida por la parametrización \( \varphi  \), que sigue las reglas

\( \displaystyle{
\begin{align*}
&\varphi ^*f =f \circ \varphi ,&&\text{ para funciones }f\\
&\varphi ^* df=d\varphi ^* f=d(f\circ \varphi ),&&\text{ es decir, que }d\text{ y }\varphi ^*\text{ conmutan }\\
&\varphi ^*(a\wedge b)=(\varphi ^*a)\wedge (\varphi ^*b),&&\text{ es decir que }\varphi ^*\text{ se "distribuye" respecto de }\wedge
\end{align*}\tag2
} \)

Por tanto si \( \omega =xdy \) tendríamos que \( \varphi ^*\omega =(x\circ \varphi )d(y\circ \varphi )=\varphi _1 d\varphi _2 \) para \( \varphi =(\varphi _1,\varphi _2) \).

Pero creo que en el caso del área de la vaca era incluso más sencillo hallarla sin necesidad de usar el teorema de Green, es decir, simplemente parametrizar el área e integrar, en ese caso (en coordenadas cartesianas) si \( f \) es tal parametrización entonces sería

\( \displaystyle{
\int_{A}dxdy=\int_{f^{-1}(A)}f^*(dx\wedge dy)=\int_{f^{-1}(A)}df_1\wedge df_2=\int_{f^{-1}(A)}\det[\partial f(u,v)]dudv\tag3
} \)

Se dice que la parametrización conserva la orientación si \( \det [\partial  f(u,v)]>0 \) para todos los puntos. En cualquier caso como sólo nos interesa el área podemos simplemente tomar \( \int_{f^{-1}(A)}|\det[\partial f(u,v)]|dudv \). Para el ejercicio de la vaca podíamos hacer la parametrización siguiente

\( \displaystyle{
f:[0,\pi]\times [0,1]\to \mathbb{R}^2,\quad (\alpha ,t)\mapsto r(\cos \alpha- (\pi-\alpha )t\sin \alpha  ,\sin \alpha +(\pi-\alpha )t \cos \alpha )\tag4
} \)

Eso parametriza la siguiente área:

(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=116487.0;attach=23077)

Calculando:

\( \displaystyle{
\det [\partial f(\alpha ,t)]=r^2\det\begin{bmatrix}
-\sin \alpha -t\sin \alpha -t(\pi-\alpha )\cos \alpha & -(\pi-\alpha )\sin \alpha \\
\cos \alpha +t\cos \alpha +t(\pi -\alpha )\sin \alpha &(\pi-\alpha )\cos \alpha
\end{bmatrix}=r^2 t(\pi-\alpha )^2\tag5
} \)

Al integrar nos queda

\( \displaystyle{
\int_{A}dxdy=r^2\int_{[0,\pi]\times [0,1]}t(\pi-\alpha )^2d\alpha dt=\frac{r^2}2\int_{[0,\pi]}(\pi-\alpha )^2d\alpha =\frac{r^2\pi^3}{6}\tag6
} \)

Entonces el área total será \( 2\cdot r^2\pi ^3/6+\pi(\pi r)^2/2=5r^2\pi^3/6 \).



Ahora repitamos el cálculo utilizando el teorema de Stokes, pero esta vez vamos a utilizar la forma de volumen \( xdy \) en vez de la forma de volumen del teorema de Green que sería \( \frac1{2}(xdy-ydx) \). Definamos primero las tres curvas que cierran el área de la imagen de arriba, orientadas en sentido antihorario (sentido de Stokes):

\( \displaystyle{
\gamma _1:[0,\pi)\to \mathbb{R}^2,\quad \alpha \mapsto r(-\cos \alpha ,\sin \alpha )\\
\gamma _2:[0,1)\to \mathbb{R}^2,\quad \alpha \mapsto r(1,t\pi)\\
\gamma _3:[0,\pi)\to \mathbb{R}^2,\quad \alpha \mapsto r(\cos \alpha +(\pi-\alpha )\sin \alpha ,\sin \alpha +(\pi-\alpha )\cos \alpha )\tag7
} \)

Entonces el área encerrada por la curva del gráfico sería

\( \displaystyle{
\int_{\gamma _1+\gamma _2+\gamma _3}xdy=\int_{\gamma _1}xdy+\int_{\gamma _2}xdy+\int_{\gamma _3}xdy
=\int_0^{\pi}\gamma _1^*(xdy)+\int_0^{1}\gamma _2^*(xdy)+\int_0^{\pi}\gamma _3^*(xdy)\\
=-r^2\int_0^{\pi}(\cos \alpha)^2d\alpha +r^2\int_0^{1} \pi dt-r^2\int_0^{\pi}(\cos \alpha +(\pi-\alpha )\sin \alpha )(\pi-\alpha )\sin \alpha d\alpha \tag8
} \)

... y ahí lo dejo :) (el Mathematica me dice que el resultado de la última expresión es el deseado, es decir, \( r^2\pi^3/6 \)).
Título: Re: El problema de la vaca que pasta
Publicado por: NoelAlmunia en 19 Abril, 2021, 03:55 pm
Ahora si me cuadra con el resto:

\( A_T=\displaystyle\frac{2\pi }{6}r^2\left({3+\pi ^2}\right)-\pi r^2+ \displaystyle\frac{\pi ^3r^2}{2}=\displaystyle\frac{5\pi ^3r^2}{6} \)

Saludos.

Ahora sí mi hermano, cometiste al principio esos errores pero dejé que continuaras buscando.
Por mi parte yo no paso tanto trabajo con esto del cálculo de áreas planas, tanto las conformadas por una misma función (ej. el área de una elipse) como las formadas por el intercepto de varias curvas o funciones. Es muy facil para esto el uso de integrales curvilineas y su propiedad de aditividad.

El área de una superficie puedes calcularla mediante la integral de línea cerrada: \( \color{red}A=\displaystyle\oint_{C}-y\,dx+x\,dy \) (*)
Como tienes la curva en paramétricas, es muy facil:
\( x=r\,\cos\left(\theta\right)+r\left(\theta\right)\sen\left(\theta\right) \);   \( dx=\left(\theta\right)\,r\,\cos\left(\theta\right)\,d\left(\theta\right) \)
\( y=r\,\sen\left(\theta\right)-r\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right) \);   \( dy=\left(\theta\right)\,r\,\sen\left(\theta\right)\,d\left(\theta\right) \)

Primeramente calculé el área conformada por la sección de la involuta superior con el parámetro desde cero hasta \( \pi \) (a partir de este punto la curva deja de ser involuta para convertirse en una semicircunferencia de radio \( \left(\pi\,r\right) \) ya que este radio es equivalente a la longitud de la semicircunferencia del silo), luego la trayectoria continúa por la línea recta \( y=-r \) desde \( y=\pi\,r \) hasta \( y=0 \). A partir de este punto, la integral de línea se traslada por la parte superior de la semicircunferencia superior del silo desde \( \pi \) hasta cero. Esta área se multiplica por dos ya que es idéntica a la superficie inferior que conforma la parte de abajo de la involuta y finalmente se suma el área de la semicircunferencia de radio\( \left(\pi\,r\right) \)

\( A_1=\displaystyle\frac{1}{2}\,\displaystyle\int_{0}^{\pi}\left(\left(r\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)-r\,\sen\left(\theta\right)\right)\left(\theta\right)\,r\,\cos\left(\theta\right)+\left(r\cos\left(\theta\right)+r\left(\theta\right)\sen\left(\theta\right)\right)\left(\theta\right)\,r\,\sen\left(\theta\right)\right)\,d\left(\theta\right)+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{\pi\,r}^{0}\left(-r\right)dy+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{\pi}^{0}\left(r^2\,\sen^2\left(\theta\right)+r^2\,\cos^2\left(\theta\right)\right)\,d\left(\theta\right) \)
Como puede notarse el recorrido es antihorario y la última integral está conformada a partir de la circunferencia paramétrica del silo de igual manera.

Por tanto:
\( A_1=\displaystyle\frac{r^2}{2}\,\displaystyle\int_{0}^{\pi}\theta^2\cos^2\left(\theta\right)d\theta-\displaystyle\frac{r^2}{2}\displaystyle\int_{0}^{\pi}\left(\theta\right)\sen\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)d\theta+\displaystyle\frac{r^2}{2}\displaystyle\int_{0}^{\pi}\left(\theta\right)\sen\left(\theta\right)\cos\left(\theta\right)d\theta+\displaystyle\frac{r^2}{2}\,\displaystyle\int_{0}^{\pi}\theta^2\sen^2\left(\theta\right)d\theta-\displaystyle\frac{r^2}{2}\displaystyle\int_{\pi r}^{0}dy+\displaystyle\frac{r^2}{2}\,\displaystyle\int_{\pi}^{0}\sen^2\left(\theta\right)d\theta+\displaystyle\frac{r^2}{2}\,\displaystyle\int_{\pi}^{0}\cos^2\left(\theta\right)d\theta \)

Aquí dos integrales se cancelan y la solución de las restantes es muy sencilla empleando integración por partes e identidad trigonométrica del seno y coseno cuadrado. Dándo como resultado:
\( A_1=\left(5.1685\right)\,r^2 \)
\( A_2=\left(\displaystyle\frac{\pi^3}{2}\right)\,r^2 \)
\( A_T=2\,A_1+A_2=\left(\displaystyle\frac{5}{6}\,\pi^3\right)\,r^2 \)

Muy útil el Teorema de Green aplicado para calcular áreas de recintos cerrados.

Si tomamos el campo vectorial \( \overrightarrow{F}=(M,N)=(-y,x) \)

Por el Teorema: \( \displaystyle\oint _{\partial D}\overrightarrow{F}\cdot{}\overrightarrow{dr}=\iint _D\left({\frac{{\partial N}}{{\partial x}}-\frac{{\partial M}}{{\partial y}}}\right)dA \)

Entonces queda: \( 2A=\displaystyle\oint _{\partial D}-ydx+xdy=\iint _D 2dA \)

 Te comiste el \( \displaystyle\frac{1}{2} \) en (*) que te marqué en rojo, pero que en los cálculos ya si lo pusiste.

También se puede utilizar para el cálculo del área otras expresiones como usar el campo vectorial por ejemplo \( \overrightarrow{F}=(-y,0) \)  o \( \overrightarrow{F}=(0,x) \)

Saludos desde España.

P.D.: Por cierto me ha gustado bastante el problema que has propuesto y las diferentes maneras de abordar el problema por los compañeros también.

Sí es muy facil utilizando esta integral curvilínea a partir de Green, reduce considerablemente los cálculos.
Cuando escribimos con LaTeX hay que poner los cinco sentidos para no enredarte. Yo aprendí la semana pasada cuando ingresé a este Foro, núnca lo había utilizado, entonces es muy frecuente que se queden algunos detalles. Por eso hay que revisar más al final de la escritura. Saludos cordiales desde Cuba.
Noel.