Hola.
Con gusto michel, aquí va el esbozo de lo que hice para dar con la respuesta. Consideremos el siguiente gráfico
En donde la figura de la derecha muestra la circunferencia inscrita al triángulo \( ABC \) de radio \( R \) tangente a los lados del triángulo en \( D' \), \( E' \) y \( F' \). Si \( p \) es el semiperímetro del triángulo \( ABC \), como \( p=r+r'+r'' \), por la relación de Herón entre el área de un triángulo y las longitudes de sus lados, tenemos que si \( S \) es el área del triángulo \( ABC \),
\( S=\sqrt{(r+r'+r'')rr'r''} \);
por otro lado, de la figura de la derecha se deduce que \( S=Rp=R(r+r'+r'') \); de estas dos relaciones concluimos que
\( \boxed{R=\dfrac{S}{r+r'+r''}=\dfrac{\sqrt{(r+r'+r'')rr'r''}}{r+r'+r''}=\sqrt{\dfrac{r\,r'\,r''}{r+r'+r''}}} \).
Spoiler
Como curiosidad, más o menos importante de notar, observamos del dibujo de la izquierda que si \( p \) es el semiperímetro del triángulo \( ABC \) se verifica la igualdad \( p=r+r'+r''=AB+CD \); mientras que de la figura de la derecha se deduce que \( p=AB+CD' \). De esto se concluye que \( D=D' \) y del mismo modo tendremos que \( E=E' \) y \( F=F' \).
Saludos.
P.D: Por más que quise, al final no pude escapar de recurrir a Herón para evitar que la prueba se tornara bastante más operativa y menos elegante
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