[julian403]

El teorema de stokes relaciona una integral simple con una doble, en particular una integral de linea con un flujo.

La integral de linea es del campo vectorial \(  F \) cuyo dominio es la curva \( C \). La integral doble al contrario es del rotacional de \( \vec{F} \) sobre la superficie \( S \), donde \( S \) es la superficie encerrada por la curba \( C \), la cual es cerrada y suave.
Pero para calcular la integral doble es necesario que el dominio de\( rot(\vec{F}) \) sea por lo menos \( S \). Y si el dominio de \( \vec{F} \) es \( C \) ¿no tendría que ser el dominio del \( rot(\vec{F}) \) el conjuntos de puntos \( C \)?

saludos.

[Carlos Ivorra]

Es que el teorema de Stokes requiere que el campo F esté definido en un abierto que contenga a la superficie S y en particular a su borde C.

Piensa en la regla de Barrow, que es un análogo en una dimensión:

\( \int_a^b F'(x)\,dx = F(b)-F(a) \)

Aquí la derivada es el equivalente al rotacional, el intervalo \( [a,b] \) el equivalente a la superficie S y los extremos \( a \) y \( b \) el equivalente al borde \( C \). No se trata de que tengas una función \( F \) definida en los puntos \( a \) y \( b \), sino que \( F \) debe estar definida en todo el intervalo \( [a,b] \) (el análogo exacto sería pedir que F estuviera definida y fuera derivable en un abierto que contuviera a \( [a,b] \), pero en este caso unidimensional se pueden refinar las hipótesis para pedir únicamente que F sea continua en el intervalo cerrado y derivable en el abierto, pero eso es excepcional).