Hola
Pues lo que intente fue ocupar los teoremas que dice
es isomorfismo si solo si es uno a uno y sobre
Y otros equivalentes pero no me ha salido
Eso está bien una vez que has demostrado que es lineal.
Uno a uno entiendo que te refieres a inyectiva (en realidad por uno a uno yo normalmente me refiero a biyectiva, es decir, inyectiva y sobreyectiva; pero entonces no tendría sentido comprobar de manera separada la sobreyectividad).
En realidad ambas cosas se prueban rápidamente con la inversa que te comenté. En cualquier caso:
1) Para ver que es inyectiva tienes que probar que si \( T(f(x))=T(g(x))) \) entonces \( f=g \).
Pero \( T(f(x))=T(g(x)) \) implica \( f(x-3)=g(x-3) \) para todo \( x\in [3,4] \). Tomando \( y=x-3 \), implica que \( f(y)=g(y) \) para todo \( y\in [0,1] \). Por tanto \( f=g \).
2) Para ver que es sobre, tienes que probar que dada \( h\in C[3,4] \), existe \( f(x)\in C[0,1] \) tal que \( T(f(x))=h \). Comprueba que \( f(x)=h(x+3) \) cumple esa condición.
Saludos.