[Michel]

Sobre los lados de un triángulo ABC rectángulo en A, se construyen los cuadrados ACDE, BAFG y CBHI, y se trazan  los segmentos GH, ID y EF.
Demostrar:
a) Los triángulos BGH, CID y AEF son equivalentes al triángulo ABC.
b) La suma de los cuadrados de los lados del hexágono DEFGHI es igual a ocho veces el cuadrado de la hipotenusa.

[Michel]

a) El triángulo AEF es igual al ABC, por tanto son equivalentes.

La perpendicular por H a la prolongación de GB corta a ésta en M, formándose el triángulo BMH, que es igual al ABC, por tener iguales las hipotenusas y un ángulo agudo (lados respectivamente perpendiculares).

Por otra parte, los triángulos BMH y GBH son equivalentes,  por tener bases iguales c y la misma altura b; por tanto, los triángulos BGH y ABC son equivalentes.

Análogamente se demuestra para el triángulo CID.

b) Como el triángulo GMH es rectángulo en M, se verifica

\( GH^2=GM^2+HM^2=4c^2+b \)
 
Análogamente será     \( ID^2=4b^2+c^2+ \)

Entonces :    \( GH^2+ID^2+EF^2=5c^2+5b^2+a^2 \)

La suma pedida valdrá:     \( 6(c^2+b^2)+2a^2=8a^2 \)