Dices exactamente que conclusión se debe extraer.., dije en su día que \( p \) aún pudiéndose factorizar, sus factores no se pueden utilizar en la resolución de la ecuación propuesta so pena de desvirtuarla o que pierda su significado en contra de lo que en su día propusiste.
Pusiste un contra ejemplo que no es sino hacer que \( x = 2 + 3t \) y \( p \) de la misma forma, lo que corrobora mi argumentario.
Voy a continuar con el mismo ejemplo intentando aclarar conceptos. Veamos para \( x = 28 \) que corresponde a \( x = 1 + 3t \), como \( p \) ha de tener la misma forma que \( x \), los valores que puede tomar \( p \), sabiendo que \( p \) ha de ser menor que \( x \), son: \( 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25 \), de estos valores solo \( 1, 4, 7, 16 \), cumplen con la condición de hacer que la expresión \( \displaystyle\frac{x^3 - p^3}{3p} \) sea un número entero. Los valores de \( p \) que son susceptibles de factorización son \( 4, 16 \), consideramos \( p = 4 \), su factor:\( 2 \), trasladado a: \( \displaystyle\frac{28^3 - 2^3}{6} \), no es entero, luego en este caso \( p \) no admite factorización. Consideremos \( p = 16 \), sus factores: \( 2, 4, 8 \), descartado \( 2 \), actuamos sobre el \( 4 \), \( \displaystyle\frac{28^3 - 4^3}{12} \), es entero, luego \( 16 \), admite como factor \( 4 \), si hacemos lo mismo con \( 8 \), vemos que la expresión no es entera, podemos afirmar que los únicos factores que hacen que la expresión propuesta se a un número entero es que tengan la misma forma que \( p \). Bien ahora veamos que ocurre con los valores de \( y \), cuando variamos \( p \), como el valor de \( x \) es el mismo necesariamente el valor de \( y \) también varia, lo que hace que la ecuación de referencia pierda su significado. Saludos.
