Hola.
Sean \( X \) e \( Y \) dos espacios topológicos, y \( f:X\longrightarrow{Y} \) un homeomorfismo.
Demostrar que \( \forall{A}\subset{X},f(\overline{A})=\overline{f(A)} \).
\( \Rightarrow{} \) Demostramos primero que \( f(\overline{A})\subset{\overline{f(A)}} \).
Al ser \( f \) continua (es homeomorfismo), sabemos que si \( A\subset{Y} \) es cerrado en \( Y \), entonces \( f^{-1}(A) \) es cerrado en \( X \).
Entonces, trivialmente temenos que \( A\subset{f^{-1}(f(A))}\subset{f^{-1}(\overline{f(A)})} \).
Como el conjunto \( \overline{f(A)} \) es cerrado, si tomamos clausuras, temenos que \( \overline{A}\subset{\overline{f^{-1}(f(A))}}\subset{f^{-1}(\overline{f(A)})} \), por lo que \( f(\overline{A})\subset{\overline{f(A)}} \) (el penúltimo contenido no lo entiendo, es es mismo que el del final del post).
\( \Leftarrow{} \) Demostramos ahora que \( \overline{f(A)}\subset{ f(\overline{A})} \).
No podía completarla y el libro me dice lo siguiente:
Sea \( B\subset{X} \). Al ser \( f \) un homeomorfismo, tenemos que \( f^{-1} \) es continua, por lo que \( f^{-1}(\overline{B})\subset{\overline{f^{-1}(B)}} \) (misma demostración que antes). Hasta aquí entendido. Pero ahora dice:
la demostración se completa haciendo \( B=f(A) \).
Aquí es donde tengo la duda. Si hago \( B=f(A) \), tenemos que \( f^{-1}(\overline{B})\subset{\overline{f^{-1}(B)}} \), es decir,
\( f^{-1}(\overline{f(A)})\subset{\overline{f^{-1}(f(A))}} \).
Por un lado, temenos que \( f(f^{-1}(\overline{f(A)})\subset{\overline{f(A)}}\subset{\overline{f^{-1}(f(A))}} \).
Para terminar la demostración, tendríamos que tener \( \overline{f^{-1}(f(A))}\subset{f^{-1}(\overline{f(A)})} \).
Claro, al aplicar \( f \) a la izquierda, sería \( f(\overline{f^{-1}(f(A))})\subset{\overline{f(A)}} \).
De ser así, que lo es porque lo hemos usado en la demostración anterior, no lo veo, no entiendo el último contenido.
Es decir, ¿para todo \( A\subset{X} \), \( \overline{f^{-1}(f(A))}\subset{f^{-1}(\overline{f(A)})} \)?.
Besos.
