[RDC]

Empecemos considerando la expresión[0]:

\( a^3-b^3=c^3 \), con \( a,b,c \) siendo coprimos entre sí.

Entonces podemos hacer esto:

\( [a^3-b^3]^2=c^6 \) y desarrollamos:

Spoiler

\( a^6+b^6-2b^3a^3=c^6 \)

\( a^3[a^3-2b^3]=c^6-b^6 \)

[cerrar]

Y obtenemos esto:

\( a^3[a^3-2b^3]=c^6-b^6 \)

Ahora consideremos que  \( c,b\neq 7m \), por tanto:

\( a^3[a^3-2b^3]=c^6-1-(b^6-1)=7m \), por el pequeño teorema de Fermat,  siendo \( m \) un natural cualquiera coprimo de \( c,b \).

Ante este resultado se nos abren 2 opciones:

OPCIÓN A

Consideramos que \( [a^3-2b^3]=7x \), con \( x \) un natural cualquiera coprimo de \( a,b,c \).

OPCIÓN B

Consideramos que \( a^3=7x \), con \( x \) un natural cualquiera coprimo de \( b,c \)


DESARROLLAMOS OPCIÓN A

\( a^3-2b^3=7x \)

\( a^3-b^3=7x+b^3 \), hecho que implica que \( 7x+b^3=c^3=a^3-b^3 \), expresión [1]

Entonces hacemos lo siguiente:

\( a^3-b^3=c^3 \Longleftrightarrow{a^3=c^3+b^3} \), expresión [2]     

Y tomando esta expresión hacemos:

\( (a^3)^2=[c^3+b^3]^2 \) Y desarrollamos:

\( a^6=c^6+b^6+2c^3b^3 \)


\( (a^6-1)=(c^6-1)+b^3(b^3+2c^3) \), siendo \( c^3=7x+b^3 \) por la expresión [1], \( (a^6-1)=7w \), \( (c^6-1)=7p \) por el pequeño teorema de Fermat. Con lo cual:

\(  7w=7p+b^3(2·7x+3b) \), pero ya que \( b \) no es múltiplo de 7, entonces esta igualdad es imposible:

\(  7w\neq 7p+b^3(2·7x+3b) \)

Con lo cual asumimos que la opción A no es posible.

Spoiler

Si cambiamos de signo la expresión

• [/b] y tomamos ahora:
  
  \( a^3+b^3=c^3 \), con \( a,b,c \) siendo coprimos entre sí.
  
  se aprecia que da el mismo resultado, dado que las expresiones son equivalentes.
  
  

[cerrar]

DESARROLLAMOS OPCIÓN B:

Si \( a^3=7x\Longleftrightarrow{a=7y} \), siendo \( y \) un natural cualquiera,  entonces por la expresión [2]:

\( (7y)^3=c^3+b^3 \), siendo \( c,b \) números coprimos con \( 7y \)

Y hacemos esto:

\( [(7y)^3]^{p_1}=[c^3+b^3]^{p_1} \), siendo \( p_1 \) un número primo. Y desarrollamos:

\( [(7y)^3]^{p_1}=c^{3·p_1}+b^{3·p_1}+p_1c^3b^3(c^3+b^3)[D_{p_1}] \)

Y dado que, por la expresión [2], tenemos que: \( c^3+b^3=(7y)^3 \):

\( (7y)^{3p_1}=c^{3p_1}+b^{3p_1}+(p_1)c^3b^3(7y)^3[D_{p_1}] \), siendo \( [D_{p_1}] \) el carro restante del desarrollo del binomio. Expresión [3]

Spoiler

Por ejemplo, aquí, en \( n=3 \), tendríamos:

\( [D_{3}]=1 \)

\( [D_{5}]=(c^3+b^3)^2-(cb)^3 \)

etc...

[cerrar]

Y podemos acomodarnos la expresión [3] de este modo:

\( c^{3p_1}+b^{3p_1}+(p_1)c^3b^3(7y)^3[D_{p_1}]-(7y)^{3p_1}=0 \)

Y dado que \( p_1 \), en principio, puede ser un número primo cualquiera entonces, dados un \( 7y, c, b \) cualquiera, podemos iterar indefinidamente:

\( c^{3p_1}+b^{3p_1}+(p_1)c^3b^3(7y)^3[D_{p_1}]-(7y)^{3p_1}=0 \)
\( c^{3p_2}+b^{3p_2}+(p_2)c^3b^3(7y)^3[D_{p_2}]-(7y)^{3p_2}=0 \)
\( c^{3p_3}+b^{3p_3}+(p_3)c^3b^3(7y)^3[D_{p_3}]-(7y)^{3p_3}=0 \)
\( c^{3p_4}+b^{3p_4}+(p_4)c^3b^3(7y)^3[D_{p_4}]-(7y)^{3p_4}=0 \)
...

siendo \( p_1<p_2<p_3<p_4<... \)

Y haciendo eso podemos, luego, escoger (en seguida se detalla como) tantas parejas de ecuaciones como queramos para restarlas entre sí del siguiente modo:

\( c^{3p_2}+b^{3p_2}+(p_2)c^3b^3(7y)^3[D_{p_2}]-(7y)^{3p_2}=c^{3p_1}+b^{3p_1}+(p_1)c^3b^3(7y)^3[D_{p_1}]-(7y)^{3p_1} \)

\( c^{3p_2}+b^{3p_2}+(p_2)c^3b^3(7y)^3[D_{p_2}]-(7y)^{3p_2}-[c^{3p_1}+b^{3p_1}+(p_1)c^3b^3(7y)^3[D_{p_1}]-(7y)^{3p_1}]=0 \)

Y desarrollamos:

Spoiler

\( [c^{3p_2}-c^{3p_1}]+[b^{3p_2}-b^{3p_1}]+(p_2)c^3b^3(7y)^3[D_{p_2}]-(p_1)c^3b^3(7y)^3[D_{p_1}]=(7y)^{3p_2}-(7y)^{3p_1}] \)

\( c^{3p_1}[c^{3(p_2-p_1)}-1]+b^{3p_1}[b^{3(p_2-p_1)}-1]+c^3b^3(7y)^3[p_2[D_{p_2}]-p_1[D_{p_1}]]=(7y)^{3p_1}[(7y)^{3(p_2-p_1)}-1] \)

Y que finalmente podemos ajustar del siguiente modo:

\( c^3b^3(7y)^3[p_2[D_{p_2}]-p_1[D_{p_1}]]=(7y)^{3p_1}[(7y)^{3(p_2-p_1)}-1]-c^{3p_1}[c^{3(p_2-p_1)}-1]-b^{3p_1}[b^{3(p_2-p_1)}-1] \)

 

[cerrar]

Y obtenemos:

\( c^3b^3(7y)^3[p_2[D_{p_2}]-p_1[D_{p_1}]]=(7y)^{3p_1}[(7y)^{3(p_2-p_1)}-1]-c^{3p_1}[c^{3(p_2-p_1)}-1]-b^{3p_1}[b^{3(p_2-p_1)}-1] \) . Expresión [4]

Apreciamos que en el lado derecho tenemos 3 términos sobre los cuales podemos aplicar el pequeño teorema de Fermat, y al ser todos del mismo exponente sacaremos, de este lado derecho, una serie de factores comunes según sea el exponente.

Entonces, estos factores comunes de la derecha deberían des ser, también, factores del lado izquierdo de la ecuación; si todas nuestras premisas y desarrollos son correctos. Por tanto, atacaremos ese punto.

Ante de nada cabe fijarse que este lado izquierdo puede dividirse, a grosso modo, en dos factores, por así decirlo:

a) \( [c^3b^3(7y)^3] \)

b) \( [p_2[D_{p_2}]-p_1[D_{p_1}]] \).

Por tanto, para empezar, la idea consiste en escoger parejas de \( p_1 \) y \( p_2 \) tales que luego el exponente de los 3 términos del lado derecho, \( 3(p_2-p_1) \), sea tal que nos permita generar factores comunes que, como mínimo, no estén en el factor a) del lado derecho: \( c^3b^3(7y)^3 \), y luego tampoco en el factor b) \( [p_2[D_{p_2}]-p_1[D_{p_1}]] \). Ello demostraría que la expresión \( (7y)^3=c^3+b^3 \) no tiene soluciones naturales.

Escoger un exponente del tipo \( 3(p_2-p_1) \)

A partir de un \( p_1 \) cualquiera buscaremos un \( p_2 \) tal que:

\( p_2-p_1=n(p_1-1) \), con \( n \) un natural cualquiera

Entonces:

\( p_1+(p_1-1)n=p_2 \)

Y con \( p_1 \) y \( p_2 \) generamos el exponente:

\( exponente=3(p_2-p_1) \)

Nota: ello nos garantiza que el exponente, por el pequeño teorema de Fermat, nos generará, como mínimo, el propio \( p_1 \) como factor común del lado derecho.

Ejemplo tomando \( p_1=5 \):

\( 5+4=9 \)  , dado que \( 9 \) no es primo entonces se pasa a otro.
\( 5+4·2=13 \), dado que \( 13 \) es primo entonces se emplean los primos \( 5 \) y \( 13 \) para generar el exponente.

\( Exponente= 3(13-5)=3·8=24 \)

Por tanto podemos escribir la expresión [4] empleando esta exponenciación:

\( c^3b^3(7y)^3[13[D_{13}]-5[D_{5}]]=(7y)^{15}[(7y)^{24}-1]-c^{15}[c^{24}-1]-b^{15}[b^{24}-1] \).

Vemos que los 3 términos de la derecha tendrán por factores comunes: 2,3,5,7,13. Siendo 2,3,7 ya factores del lado izquierdo. Faltaría por ver si también lo son el 5 y el 13.

Analicémoslo: si suponemos que \( y \) no es múltiplo ni de 5 ni de 13, entonces el factor a), \( c^3b^3(7y)^3 \), no tiene estos dos factores. Faltaría mirar si los tiene el factor b), \( [13[D_{13}]-5[D_{5}]] \). Y este factor sólo los podría tener si \( [D_{13}] \) es múltiplo de 5 y, además, \( [D_{5}] \) es múltiplo de 13.

Pero supongamos que se diera alguna de estas 3 situaciones:

1) \( y \) es múltiplo de 5 y 13

2)\( y \) es múltiplo de 5, mientras \( [D_{13}] \) es múltiplo de 5.

3) \( y \) es múltiplo de 13, mientras \( 5[D_{5}] \) es múltiplo de 13.

Si se diera alguno de estos 3 casos, simplemente buscamos otro exponente.

Para buscar otro exponente, podemos seguir considerando \( p_1=5 \) o bien, podemos cambiarlo por el primo siguiente, el 7. Probemos de seguir con \( p_1=5 \).

Venimos de \( 5+4·2=13 \), entonces:

\( 5+4·3=17 \), al salir un primo podemos generar el siguiente exponente:

\( 3(17-5)=3·12=36 \)

Y con este exponente generamos la siguiente expresión [4]:

\( c^3b^3(7y)^3[17[D_{17}]-5[D_{5}]]=(7y)^{15}[(7y)^{36}-1]-c^{15}[c^{36}-1]-b^{15}[b^{36}-1] \)

Vemos como los 3 términos de la derecha compartirán por factores comunes: 2,3,5,7,13,19,37

El 2,3,7 están ya en el término de la derecha. Ahora habría que ver si los demás también están.

Supongamos que estén. Entonces buscamos otro exponente tomando \( p_1=5 \):

Venimos de \( 5+4·3=17 \Longrightarrow{3(17-5)=3·12=36} \)

\( 5+4·4=21 \), no es primo por tanto, pasamos a otro

\( 5+4·5=25 \),  no es primo por tanto, pasamos a otro

\( 5+4·6=29 \), es primo, por tanto generamos el exponente pertinente.

¿Y hasta cuando podemos hacer esto tomando \( p_1=5 \)? Parece ser que indefinidamente, puesto que la distribución de los primos es prácticamente aleatoria y nosotros vamos buscando un primo nuevo empleando un ciclo concreto de forma repetida.

Pero esto no acaba aquí. Después de probar las infinitas combinaciones posibles para hallar exponentes válidos con \( p_1=5 \), podemos hacer lo mismo tomando \( p_1=7 \)

\( 7+6=13 \), al ser primo podemos generar un exponente:

\( 3(13-7)=3·6=18 \)

Y bajo esta exponenciación obtenemos la siguiente expresión [4]:

\( c^3b^3(7y)^3[13[D_{13}]-7[D_{7}]]=(7y)^{21}[(7y)^{18}-1]-c^{21}[c^{18}-1]-b^{21}[b^{3(18}-1] \)

En este caso los 3 términos de la derecha tendrán por factores comunes el 2,3,7,19. Sin embargo, el 2,3,7 ya están en el lado derecho, con lo cual sólo faltaría mirar el 19. Y si el 19 también estuviera, entonces podemos pasar al siguiente exponente posible tomando \( p_1=7 \), sabiendo que hay infinitos exponentes posibles con \( p_1=7 \) ¡O si queremos ya pasamos a \( p_1=11 \)!expresiones [4].



En definitiva: parece ser, si no he cometido errores, que podemos generar infinitas expresiones [4] al poder generar infinitos exponentes distintos a partir de cada uno de los infinitos números primos.

Y si entre todas estas infinitas expresiones [4] posibles encontramos, tan solo, una única en la cual uno de los factores en común que tienen sus 3 términos de la derecha no se encuentra en la izquierda, ello demostraría el teorema de Fermat para n=3.

Ante la infinitud de exponenciaciones posibles con las que podemos "someter" a cualquier trío de números \( x,c,b \) me parece claro que no sólo debe de haber una sola expresión [4] que demuestre el teorema para n=3, sino infinitas.

Spoiler

Si el desarrollo de esta OPCIÓN B es correcto, parece que con ella sola ya se puede demostrar el teorema para n=3 (y en realidad no haría falta plantear la Opción A), y luego se puede generalizar sin problemas para n=cualquier número primo mayor que 2.

[cerrar]

Un saludo

[Luis Fuentes]

Hola

 Dando por buenas las cuentas, no acabo de ver la idea del argumento; no acabo de ver el porqué todo esto habría de servir para probar el Teorema de Fermat. Dices:

Y si entre todas estas infinitas expresiones [4] posibles encontramos, tan solo, una única en la cual uno de los factores en común que tienen sus 3 términos de la derecha no se encuentra en la izquierda, ello demostraría el teorema de Fermat para n=3.

¿Y por qué habríamos de encontrar alguna expresión de esa en la que los factores de la derecha no se encuentran en los de la izquierda?

Lo que estás diciendo se parece mucho a considera la ecuación \( a^3=b^3+c^3 \) mod \( k \) para distintos valores de \( k \); y decir que si para alguno de esos infinitos valores de \( k \) encontramos alguno para el cuál la ecuación no tiene soluciones hemos probado el Teorema. ¿Pero por qué habría de ser así? (en esa analogía que te pongo es trivial probar que la ecuación de Fermat tiene solución módulo cualquier \( k \)).

Saludos.

[RDC]

Hola

 Dando por buenas las cuentas, no acabo de ver la idea del argumento; no acabo de ver el porqué todo esto habría de servir para probar el Teorema de Fermat. Dices:

Y si entre todas estas infinitas expresiones [4] posibles encontramos, tan solo, una única en la cual uno de los factores en común que tienen sus 3 términos de la derecha no se encuentra en la izquierda, ello demostraría el teorema de Fermat para n=3.

¿Y por qué habríamos de encontrar alguna expresión de esa en la que los factores de la derecha no se encuentran en los de la izquierda?

Lo que estás diciendo se parece mucho a considera la ecuación \( a^3=b^3+c^3 \) mod \( k \) para distintos valores de \( k \); y decir que si para alguno de esos infinitos valores de \( k \) encontramos alguno para el cuál la ecuación no tiene soluciones hemos probado el Teorema. ¿Pero por qué habría de ser así? (en esa analogía que te pongo es trivial probar que la ecuación de Fermat tiene solución módulo cualquier \( k \)).

Saludos.

Hola Luís, como estás.

Antes de nada, una petición: sería posible enviar este post al subforo de "teorema de Fermat". No sé porqué lo terminé colgando aquí por error; ahora me doy cuenta.

Sobre aclarar mi argumento... La idea es ir utilizando la propiedad que nos muestra el pequeño teorema de Fermat según la cual \( a^{p_1-1}-1=p_1·m \), siendo \( a \) coprimo con \( p_1 \) y \( m \) un natural cualquiera coprimo con \( a \).

Por tanto, es un ir aplicando de diferentes formas esta propiedad hasta que la suposición de que \( a^3\pm{b^3}=c^3 \) peta claramente.

En el desarrollo de la primera opción, la A, al menos para n=3, basta con tomar \( a^3\pm{b^3}=c^3 \), elevar los dos lados al cuadrado, y entonces se aprecia que aplicando el pequeño teorema de Fermat tal y como he hecho (\( (a^6-1)=(c^6-1)+b^3(b^3+2a^3) \)), la suposición peta, dado que ni \( b^3 \) ni \( (b^3+2a^3) \) serían múltiplos de 7, tal y como sí lo son \( (a^6-1) \) y \( (c^6-1) \). -Este procedimiento se puede generalizar para cualquier \( n=p_i \) tal que \( 2·p_1+1=p_j \). Si no es el caso, entonces no funciona. Por tanto, por ejemplo, funciona para n=3, n=5, n=7, n=11, pero no para n=13, n=17. 

En el desarrollo de la opción B la idea de fondo sigue siendo la misma: intentar transformar la suposición \( a^3\pm{b^3}=c^3 \) en una expresión basada en términos donde se pueda aplicar el PTF y comprobar que no puede ser.

Por tanto, hacemos lo siguiente:

si suponemos que \( a^3+b^3=c^3 \) es cierta (dejemos de lado que \( c \) pueda ser múltiplo de 7, como he expuesto en el post, porque ya tengo claro que ni hace falta)

Esto significa que cualquier transformación que hagamos sobre esta ecuación debe darnos una expresión que es cierta.

Así pues, si es cierto que \( a^3+b^3=c^3 \), entonces debe ser cierto que \( [a^3+b^3]^{p_1}=(c^3)^{p_1} \); y consiguiente, también, que \( [a^3+b^3]^{p_1}-[c^3]^{p_1}=0 \)

Entonces, entiendo que si encontramos una sola y única transformación, siendo correcta y lícita esa transformación, en la que la expresión obtenida no es cierta, ello significa, necesariamente, que \( a^3+b^3=c^3 \) no es cierta.

Para ello cogemos, precisamente, esta transformación expuesta:

De \( a^3+b^3=c^3 \) pasamos a \( [a^3+b^3]^{p_1}=(c^3)^{p_1} \), y de esta a \( [a^3+b^3]^{p_1}-[c^3]^{p_1}=0 \)

Pero también podemos hacer esta otra transformación:

De \( a^3+b^3=c^3 \) pasar a \( [a^3+b^3]^{p_2}=(c^3)^{p_2} \), y de esta a \( [a^3+b^3]^{p_2}-[c^3]^{p_2}=0 \)

Y también podemos hacer esta otra transformación:

De \( a^3+b^3=c^3 \) pasar a \( [a^3+b^3]^{p_3}=(c^3)^{p_3} \), y de esta a \( [a^3+b^3]^{p_3}-[c^3]^{p_3}=0 \)

Y así indefinidamente, siendo \( p_1, p_2,p_3,... \) números primos cualquiera; y en todo caso \( p_1< p_2<p_3<... \)

Por tanto si la suposición \( a^3+b^3=c^3 \) es cierta, también lo deberían ser las infinitas expresión que hemos postulado. Y también debería serlo las expresiones que podemos ahora sacar de la siguiente transformación:

-Dado que todas estas infinitas expresión son iguales a cero, podemos hacer la siguiente igualación entre ellas:

\( [a^3+b^3]^{p_3}-[c^3]^{p_3}=[a^3+b^3]^{p_1}-[c^3]^{p_1}=0 \)

O bien, esta otra:

\( [a^3+b^3]^{p_3}-[c^3]^{p_3}=[a^3+b^3]^{p_2}-[c^3]^{p_2}=0 \)

o bien esta otra:

\( [a^3+b^3]^{p_2}-[c^3]^{p_2}=[a^3+b^3]^{p_1}-[c^3]^{p_1}=0 \)

Con cada una de estas igualaciones, una vez desarrolladas, obtenemos esta expresión [4] general (si no me he equivocado operando en el desarrollo):

\( a^3b^3c^3[p_2[D_{p_2}]-p_1[D_{p_1}]]=c^{3p_1}[c^{3(p_2-p_1)}-1]-a^{3p_1}[a^{3(p_2-p_1)}-1]-b^{3p_1}[b^{3(p_2-p_1)}-1] \)
 
Por tanto, podemos hacer infinitas combinatorias. Y todas deben ser ciertas.

Ahora la idea es escoger, de entre todas estas infinitas combinaciones posibles, ciertas de especiales y ver si al menos hay una sola de ellas pueda petar:

En concreto, buscamos esas expresiones donde podamos obtener por exponente, \( 3(p_2-p_1) \), un número tal que al aplicar el PTF a la forma \( x[x^{3(p_2-p_1}-1] \), siendo\(  x \) la variable \( a,b \) o bien, \( c \), nos dé un múltiplo, precisamente, de \( p_1 \).

Esto parece suceder siempre que \( p_2=p_1+n(p_1-1) \), siendo \( n \) un natural cualquiera.

Es cierto, pero, que siempre encontraremos valores de \( n \) para los cuales no existe ningún primo, \( p_2 \), que cumpla tales condiciones. Ahora bien, también parece ser cierto que siempre habrá valores de \( n \) para los cuales sí existe un primo, \( p_2 \), que las cumpla. En otras palabras, parece ser que hay siempre infinitos exponentes \( 3(p_2-p_1) \) posibles que aplicar para cada \( p_1 \) dado.

Por ejemplo, tomemos \( p_1=5 \)

\( 5+4·1=9 \), no es primo por tanto nada
\( 5+4·2=13 \), es primo, por tanto podremos generar un exponente
\( 5+4·3=17 \), es primo, por tanto podremos generar un exponente
\( 5+4·4=21 \), no es primo por tanto nada
\( 5+4·5=25 \), no es primo por tanto nada
\( 5+4·6=29 \), es primo, por tanto podremos generar un exponente
\( 5+4·1=33 \), no es primo por tanto nada
\( 5+4·2=37 \), es primo, por tanto podremos generar un exponente
\( 5+4·3=41 \), es primo, por tanto podremos generar un exponente
\( 5+4·4=45 \), no es primo por tanto nada
\( 5+4·5=49 \), no es primo por tanto nada
\( 5+4·6=53 \), es primo, por tanto podremos generar un exponente
...

Así pues, en  estos ejemplos de \( p_1=5 \), podemos generar un exponente sólo cuando obtenemos un primo. Y cada exponente generará una expresión [4]:

Cuando obtenemos por primo el 13 generamos el exponente:\( 3(13-5)=24 \). Y obtenemos la expresión [4] siguiente:

\(  a^3b^3c^3[13[D_{13}]-5[D_5]]=c^{15}[c^{24}-1]-a^{15}[a^{24}-1]-b^{15}[b^{24}-1]=y \)

Suponemos, pues, que esta expresión es cierta. Y tomando el lado izquierdo de la igualdad vemos que el número \( y \) se puede expresar mediante 2 factores:
a)\( a^3b^3c^3 \)
b)\( [13[D_{13}]-5[D_5]] \)

Por tanto, \( y=a^3b^3c^3[13[D_{13}]-5[D_5]] \)

En cambio, mediante el lado derecho el número \( y \) es expresado a través de la suma de 3 términos, donde podemos aplicar el PTF en cada uno de ellos. Y al tener todos el mismo exponente, sabemos que compartirán unos mismos factores comunes. Por tanto, valgan lo que valgan a,b,c la suma de los 3 términos nos dará un valor del tipo siguiente:

\( c^{15}[c^{24}-1]-a^{15}[a^{24}-1]-b^{15}[b^{24}-1]=y=2·3·5·7·13·m \), siendo \( m \) un natural cualquiera.

Por tanto, si \( y=2·3·5·7·13·m \) entonces \( y=a^3b^3c^3[13[D_{13}]-5[D_5]]=2·3·5·7·13·m \)

Esto significa que los valores \( a,b,c \), \( [13[D_{13}]-5[D_5]]  \) deben ser, entre todos, múltiplos de 2,3,5,7,13

Por ejemplo, para que \( a^3b^3c^3[13[D_{13}]-5[D_5]] \) sea múltiplo de 5, o lo es \( a,b \) o \( c \), o bien, lo es la suma \( [13[D_{13}]-5[D_5]] \), con lo cual lo debería ser \( [D_{13}] \)

Si \( a,b \) o \( c \) son múltiplos de 5, entonces simplemente pasamos a buscar exponentes cuyo \( p_1>5 \) y, además, ese \( p_1 \) no sea un factor ni de \( a \) ni de \( b \) ni de \( c \). Y siendo estos 3 valores siempre números finitos, habrá siempre infinitos números primos que no sean factores de ninguno de esos 3 valores.

Ahora bien, si ni \( a \) ni \( b \) ni \( c \) son múltiplos de 5 y lo fuera \( [D_{13}] \), entonces podemos pasar al siguiente caso del ejemplo que hemos tomado \( p_1=5 \):

Cuando \( 5+4·3=17 \)

Entonces tomando por primos 5 y 17 podemos generar el exponente: 3(17-5)=36 y con este exponente obtenemos la expresión [4] siguiente:

\(  a^3b^3c^3[17[D_{17}]-5[D_5]]=c^{15}[c^{36}-1]-a^{15}[a^{36}-1]-b^{15}[b^{36}-1]=y \)

Donde \( y \) vale, por el PTF, \( y=2·3·5·7·13·19·37=c^{15}[c^{36}-1]-a^{15}[a^{36}-1]-b^{15}[b^{36}-1] \)

De hecho, ya no nos hace ni falta analizar si los nuevos factores que ahora aparecen en el lado derecho también aparecen en \( a^3b^3c^3[17[D_{17}]-5[D_5]] \), nos basta con analizar si \( [D_{17}] \) es múltiplo de 5.

Si lo es, no pasa nada, vamos a otro caso de \( p_1=5 \), por ejemplo \( 5+4·6=29 \).

Este caso nos permite generar el exponente: \( 3(29-5)=72 \), el cual genera la expresión [4] siguiente:

\(  a^3b^3c^3[29[D_{29}]-5[D_5]]=c^{15}[c^{72}-1]-a^{15}[a^{72}-1]-b^{15}[b^{72}-1]=y \)

Donde ahora \( y \) vale, por el PTF, \( y=2·3·5·7·13·19·23·37·73=c^{15}[c^{36}-1]-a^{15}[a^{36}-1]-b^{15}[b^{36}-1] \)

Nos basta, pues, mirar si \( [D_{29}] \) es múltiplo de 5. Si no lo es ya lo hemos petado, porque ni \( a,b,c \) lo eran.  Si lo es pasamos a otro caso, por  ejemplo \( 5+4·2=37 \).

En este caso generamos el exponente \( 3(37-5)=96 \), el cual genera la expresión [4] siguiente:

\(  a^3b^3c^3[37[D_{37}]-5[D_5]]=c^{15}[c^{96}-1]-a^{15}[a^{96}-1]-b^{15}[b^{96}-1]=y \)

Donde ahora \( y \) vale, por el PTF, \( y=2·3·5·7·13·17·19·23·37·73·97=c^{15}[c^{36}-1]-a^{15}[a^{36}-1]-b^{15}[b^{36}-1] \)

Y miramos si el factor \( [D_{37}] \), es múltiplo de 5. Si no lo es ya lo hemos petado, si lo es miramos otro caso del ejemplo \( p_1=5 \). Y así indefinidamente.

Llegados hasta aquí entiendo que tarde o temprano encontraremos un \( [D_{p_n}] \) que no será múltiplo de 5 y por tanto, lo habremos petado.

Ahora bien, imaginemos que no sé porque motivo no lo encontrásemos. Está claro que \( y \) cada vez tendrá más \( y \) más factores en la medida que \( p_2 \) es más grande. Esto sólo podría ser compensado por \( [p_2[D_{p_2}]-p_1[D_{p_1}]] \), que siempre expresaría los factores de \( y \). Ahora bien, ¿no es esto imposible? No sé... en cualquier caso vayamos a suponer que pudiera suceder.

Entonces podemos pasar a otro primo \( p_1>5 \), y que además no sea factor de \( a,b,c \). Acaso \( p_1=13 \). Por ejemplo:

13+24=37, que me genera el exponente 3(37-13)=72, el cual me genera la expresión [4] siguiente:

\(  a^3b^3c^3[37[D_{37}]-13[D_{13}]]=c^{15}[c^{72}-1]-a^{15}[a^{72}-1]-b^{15}[b^{72}-1]=y \)

Donde ahora \( y \) vale, por el PTF, \( y=2·3·5·7·13·17·19·37·73=c^{15}[c^{36}-1]-a^{15}[a^{36}-1]-b^{15}[b^{36}-1] \)

Tenemos que ahora \( [D_{37}] \) no sólo debe ser múltiplo de 5, sino también de 13. Esto parece que sucederá siempre que consideramos que:

\( 5+n4=x=13+12m \), que nos lleva a \( n=2+3m \).

En tales casos, si \( x \) es un número primo eso sucede. Y parece que siempre habrá algún \( n \) con el que obtenemos \( x \) como número primo.

Pero es que, además, parece ser que siempre habrá primos, \( p_x, p_y,... p_z,... \), tales que:

\( 5+n4=p_x=p_y+12m=...=p_z+2z=... \).

Con lo cual, dados un \( a,b,c \) parece ser que siempre podemos petar alguna expresión [4] porque el término \( [D_{p_x}] \), cuando tenemos el factor \( [p_x[D_{p_x}]-p_z[D_{p_z}]] \), siempre será múltiplo, sólo, de un número finito de primos.   

Pongamos un ejemplo directo:

a=43
b=12

\( 43^3+12^3=c^3 \)

Buscamos una expresión [4] para estos valores de a,b:

\(  43^312^3c^3[13[D_{13}]-5[D_5]]=c^{15}[c^{24}-1]-a^{15}[a^{24}-1]-b^{15}[b^{24}-1]=y \)

Donde \( y=2·3·5·7·13·m \)

Donde \( [D_{13}]=11275797122109659380420555367900049382834082491849 \)

Salta a la vista, si no me he equivocado al hacer los cálculos, que este \( [D_{13}] \) para \( a=43 \) y \( b=12 \), no es múltiplo de 5. Con lo cual, la suposición de que \( 43^3+12^3=c^3 \) peta.

Y además, se constata que ante el factor \( [p_2[D_{p_2}]-p_1[D_{p_1}]] \) de cualquier expresión [4] no tiene porqué dar múltiplos de \( p_1 \),con lo cual se demostraría que el UTF porque la infinidad de combinaciones que se puede hacer de \( [p_2[D_{p_2}]-p_1[D_{p_1}]] \) alguna termina petando, con lo cualquier \( a^3+b^3 \) posible.

Bueno, esa sería la idea...

Un saludo!




 

[Luis Fuentes]

Hola

 No se que decirte. Me has vuelto a repetir lo mismo. Cuando hablas de "petar" te refieres a que un momento dado y por cuestiones de divisibilidad, lleguemos a que una determinada es imposible.

 El problema es que no veo que muestres que esto ocurre. Simplemente hablas de ir probando con potencias cada vez más alta con la esperanza o la creeencia de que llegarás a una igualdad que "pete" porque crees que tendría que ser así.

 Si no DEMUESTRAS que efectivamente es así no tienes nada; y en nada de lo que has escrito está DEMOSTRADO tal cosa. Ni siquiera veo indicios de que uno pueda llegar a una conclusión al respecto. Cada vez que tomas un exponente nuevo aparecen nuevas igualdades con nuevos factores \( D_5,D_13,D_29,\ldots....
 \) que tendrás sus nuevas propiedades de divisibilidad.

Saludos.

[RDC]

Hola

 Dando por buenas las cuentas, no acabo de ver la idea del argumento; no acabo de ver el porqué todo esto habría de servir para probar el Teorema de Fermat. Dices:

Y si entre todas estas infinitas expresiones [4] posibles encontramos, tan solo, una única en la cual uno de los factores en común que tienen sus 3 términos de la derecha no se encuentra en la izquierda, ello demostraría el teorema de Fermat para n=3.

¿Y por qué habríamos de encontrar alguna expresión de esa en la que los factores de la derecha no se encuentran en los de la izquierda?

Lo que estás diciendo se parece mucho a considera la ecuación \( a^3=b^3+c^3 \) mod \( k \) para distintos valores de \( k \); y decir que si para alguno de esos infinitos valores de \( k \) encontramos alguno para el cuál la ecuación no tiene soluciones hemos probado el Teorema. ¿Pero por qué habría de ser así? (en esa analogía que te pongo es trivial probar que la ecuación de Fermat tiene solución módulo cualquier \( k \)).

Saludos.

He vuelto a leerme este comentario del otro día, Luís.

Con lo azul no estoy de acuerdo, en el sentido que haciendo eso nunca vas a ver si la suposición \( c^3=a^3+b^3 \) es cierta o no, porque eso no afecta para nada al factor \( c^3 \). Y pienso que la cuestión es demostrar, precisamente, que la suma de cubos da, en efecto, un cubo; no que la suma de \( a^3+b^3 \) me da un c. Pues para la congruencias \( c\equiv{c^3} \) para cualquier módulo. Como bien dices plantear eso es fútil.

Creo que la idea, aquí planteada, es muy diferente: consiste en aplicar transformaciones específicas que sólo tengan sentido si  la suma de dos cubos da por resultado otro cubo. Entonces, logrado eso, intentaremos evaluar si estas transformaciones son ciertas.

Así pues, la idea es transformar la expresión \( c^3=a^3+b^3 \) hasta alcanzar una expresión que sólo se puede llegar si c, en efecto, es un cubo. Y es verdad que sólo se puede alcanzar la expresión [4] si c es un cubo ¿O me equivoco?

Expresión [4] general para n=3:

\( a^3b^3c^3[p_2[D_{p_2}]-p_1[D_{p_1}]]=c^{3p_1}[c^{3(p_2-p_1)}-1]-a^{3p_1}[a^{3(p_2-p_1)}-1]-b^{3p_1}[b^{3(p_2-p_1)}-1] \)


Tenemos, pues, que esta expresión [4] existe como suposición de que \( c^3=a^3+b^3 \) es cierta. Es importante fijarse que si se hubiera supuesto que \( c^2=a^3+b^3 \), o que \( c=a^3+b^3 \), o que \( c^5=a^3+b^3 \), etc, no se llega a ella. Por eso me parece muy diferente a lo que me planteaste con compararlo con las congruencias.

Con esta expresión [4] ya entre manos, ahora hay que valorar si ella es posible o no. Para ello seguimos suponiendo que \( c^3=a^3+b^3 \) es cierta. Y si se toma por cierta ello implica, obviamente, que al menos existen unos valores concretos de \( a,b \) y \( c \) que la cumplen.

Sean los que sean estos hipotéticos valores de \( a,b,c \), de un principio sabemos que:

1) \( a,b,c \) son corpimos y por tanto no comparten factores comunes.

2) \( a,b \) y \( c \) están formados por un número de factores (números primos) finito y delimitado.

3) Por el punto 2, sabemos que por grande que sea el número de primos que compongan \( a,b \) o \( c \) el número de primos posibles que son corpimos con ellos es infinito. En otras palabras, la lista de primos que no son factores ni de \( a \) ni de \( b \)  ni \( c \) no termina nunca.

La idea es, pues, usar esta superioridad numérica abrumadora de los primos sobre la cantidad de factores que siempre tendrán cualquier trio \( a,b,c \) que pudiera cumplir la suposición de que \( c^3=a^3+b^3 \) es cierta, para hacer petar alguna expresión [4] de ese trio. Pues se ha mostrado como cada trio \( a,b,c \) debería de tener infinitas expresiones [4] perfectamente equivalentes entre sí

Por tanto, supongamos que existiera un trio \( a,b,c \) para el cual \( c^3=a^3+b^3 \) fuera cierta. Acaso:

\( a=11 \)
\( b=4 \)
\( c=19 \)

Por tanto, vamos a suponer que \( 19^3=11^3+4^3 \) es cierto. Entonces debería ser posible generar la siguiente expresión [4] general de nuestra suposición:

\( 11^34^319^3[p_2[D_{p_2}]-p_1[D_{p_1}]]=19^{3p_1}[19^{3(p_2-p_1)}-1]-11^{3p_1}[a^{3(p_2-p_1)}-1]-4^{3p_1}[b^{3(p_2-p_1)}-1]=y \)

Está claro, al observar el lado izquierdo, que \( y=11·4·19·m \), siendo \( m \) un natural cualquiera. Sin embargo, sin determinar unos \( p_1 \) y \( p_2 \) no podemos saber si el lado derecho también posee o no estos factores. Supuestamente debería, independientemente de los valores de \( p_1 \) y \( p_2 \) escogidos, porque asumimos que \( 19^3=11^3+4^3 \) es cierto.

Y aquí es donde me parece que peta la cosa. Que no sucede así; llega a un punto donde el lado derecho tiene factores que no tiene el lado izquierdo.

Hay que tener en cuenta, por ejemplo, que si \( 19^3 = 11^3+4^3 \) es falso, como dice el UTF, entonces el término \( 19^{3p_1}[19^{3(p_2-p_1)}-1] \) de la derecha de la expresión [4] no existe, con lo cual la propia expresión general [4] no existe para ese trio de valores a,b,c.

Si este término no existe, entonces, en el lado derecho no podemos obtener los factores de \( y \) empleando, simplemente, el PTF. En vez de tener el término \( c^{3p_1}[c^{3(p_2-p_1)}-1]  \) tendremos otra cosa muy diferente que no tendrá mucho en común con \( 11^{3p_1}[a^{3(p_2-p_1)}-1]-4^{3p_1}[b^{3(p_2-p_1)}-1] \).

Ahora bien, si \( 19^3 = 11^3+4^3 \) es cierto, entonces, toda las infinitas expresiones [4] de este trio de valores (11,4,19) deberían de existir y ser ciertas por equivalentes.

Pero sabemos que en la medida que los exponentes de las expresiones [4] de este trio de valores va creciendo necesariamente va creciendo el número de factores comunes que presenta, por el PTF, la suma de los 3 términos de la derecha:

\( 19^{3p_1}[19^{3(p_2-p_1)}-1]-11^{3p_1}[a^{3(p_2-p_1)}-1]-4^{3p_1}[b^{3(p_2-p_1)}-1]=y \)

En cambio, el término de la izquierda,\( 11^34^319^3[p_2[D_{p_2}]-p_1[D_{p_1}]] \), compuesto por:

a) \( 11^34^319^3 \), siempre se mantiene con el mismo valor por más que crezca el lado derecho.

b) \( [p_2[D_{p_2}]-p_1[D_{p_1}]] \), que depende de los primos escogidos cada vez para generar los exponentes.

La cuestión es, pues, que, \( [p_2[D_{p_2}]-p_1[D_{p_1}]] \) del lado izquierdo parece mostrar un comportamiento completamente independiente de lo que haga el lado derecho, de modo que más pronto que tarde se aprecia como hay factores en el lado derecho de la expresión [4] que no estarán en el lado izquierdo, violando la igualdad supuesta y que proviene de suponer que \( 19^3 = 11^3+4^3 \) es cierto. 

Es decir, para cualquier \( p_1 \) y \( p_2 \) que utilicemos para generar un exponente que nos dé una expresión [4] es evidente que siempre es posible que el factor \( [p_2[D_{p_2}]-p_1[D_{p_1}]] \) que obtengamos ni tan siquiera sea múltiplo, al menos, de \( p_1 \). En el caso de \( 19^3 = 11^3+4^3 \), si generamos la expresión [4] siguiente:

\( 11^34^319^3[17[D_{17}]-5[D_{5}]]=19^{15}[19^{36}-1]-11^{15}[a^{36}-1]-4^{15}[b^{36}-1]=y \)

Se puede calcular que su \( 17[D_{17}] \) no es múltiplo de 5, y dado que tampoco lo son a,b,c entonces la expresión [4] peta y con ello se demuestra que suponer \( 19^3 = 11^3+4^3 \) es falso.

De todos modos, admito que habría que mejorar este paso final, y mostrar sin dudas que el factor \( [p_2[D_{p_2}]-p_1[D_{p_1}]] \) del lado izquierdo de las expresiones [4] es independiente de lo que salga en el lado derecho y por eso, más pronto que tarde siempre petará al generar expresiones [4] para cualquier trío posible de \( a,b,c \).

igual, Luís, se te ocurre algo...

un saludo!
 









   

[Fernando Moreno]

Hola RDC

\( 11^34^319^3[17[D_{17}]-5[D_{5}]]=19^{15}[19^{36}-1]-11^{15}[a^{36}-1]-4^{15}[b^{36}-1]=y \)

Te he leído un poco por encima, pero para eso está el comodín de las preguntas. Entiendo que lo que he citado lo analizas utilizando el Pequeño Teorema de Fermat, luego es una congruencia. Es:

\( 11^34^319^3[17[D_{17}]-5[D_{5}]]\equiv 19^{15}[19^{36}-1]-11^{15}[a^{36}-1]-4^{15}[b^{36}-1] \) mod \( 3 \)

¿Es así?

Si es así no es cierto que los mismos primos de la izquierda tengan que aparecer a la derecha. Por ejemplo:  \( 5^3\cdot 2^3\equiv 7^3 \) mod \( 3 \) .

No sé si te estoy entendiendo bien. Mi impresión por ahora es la que ha expresado Luis.


PD. Un consejo meta matemático: Este es un Foro que tiene a matemáticos serios con mucho nivel detrás, por deferencia a ellos no me parece conveniente emplear decisivamente (más de una vez) en lo que se quiere expresar matemáticamente la palabra "petar", aunque la entendamos todos.

[RDC]

Hola RDC

\( 11^34^319^3[17[D_{17}]-5[D_{5}]]=19^{15}[19^{36}-1]-11^{15}[a^{36}-1]-4^{15}[b^{36}-1]=y \)

Te he leído un poco por encima, pero para eso está el comodín de las preguntas. Entiendo que lo que he citado lo analizas utilizando el Pequeño Teorema de Fermat, luego es una congruencia. Es:

\( 11^34^319^3[17[D_{17}]-5[D_{5}]]\equiv 19^{15}[19^{36}-1]-11^{15}[a^{36}-1]-4^{15}[b^{36}-1] \) mod \( 3 \)

¿Es así?

Si es así no es cierto que los mismos primos de la izquierda tengan que aparecer a la derecha. Por ejemplo:  \( 5^3\cdot 2^3\equiv 7^3 \) mod \( 3 \) .

No sé si te estoy entendiendo bien. Mi impresión por ahora es la que ha expresado Luis.


PD. Un consejo meta matemático: Este es un Foro que tiene a matemáticos serios con mucho nivel detrás, por deferencia a ellos no me parece conveniente emplear decisivamente (más de una vez) en lo que se quiere expresar matemáticamente la palabra "petar", aunque la entendamos todos.

Hola Fernando, como estás! gracias por tu pregunta, faltaría más.

Quizás sea yo que me pierdo, pero si bien a nivel de congruencias es cierto lo que me dices, que \( 5^3\cdot 2^3\equiv 7^3 \) mod \( 3 \) a nivel de igualdades no es cierto que \( 5^3\cdot 2^3= 7^3 \)

Por otro lado, la expresión que has copiado y expuesto debería de ser congruente con modulo 3, pero también con cualquier modulo, porque si partimos de la suposición de que \( a^3+b^3=c^3 \) es cierta, eso implica que esa expresión también se suponga congruente. Pero, ¿Acaso eso no es solo una suposición? Luego cuando analizas si realmente esa suposición es congruente con cierto módulos, parece ser que no lo es, con lo cual se demostraría que la suposición inicial no es cierta, no?

Por curiosidad, ¿cómo sabes qué congruencia tiene el factor \( [17[D_{17}]-5[D_{5}]] \)? ¿Puedes saber sin más si \( [17[D_{17}]-5[D_{5}]]\equiv{0}  \) MOD(5)? Por que el lado derecho sí lo es. 


Y ok, en cuanto a lo de petar!

un saludo!

[Fernando Moreno]

Hola Fernando, como estás! gracias por tu pregunta, faltaría más.

Quizás sea yo que me pierdo, pero si bien a nivel de congruencias es cierto lo que me dices, que \( 5^3\cdot 2^3\equiv 7^3 \) mod \( 3 \) a nivel de igualdades no es cierto que \( 5^3\cdot 2^3= 7^3 \)

Por otro lado, la expresión que has copiado y expuesto debería de ser congruente con modulo 3, pero también con cualquier modulo, porque si partimos de la suposición de que \( a^3+b^3=c^3 \) es cierta, eso implica que esa expresión también se suponga congruente. Pero, ¿Acaso eso no es solo una suposición? Luego cuando analizas si realmente esa suposición es congruente con cierto módulos, parece ser que no lo es, con lo cual se demostraría que la suposición inicial no es cierta, no?

Por curiosidad, ¿cómo sabes qué congruencia tiene el factor \( [17[D_{17}]-5[D_{5}]] \)? ¿Puedes saber sin más si \( [17[D_{17}]-5[D_{5}]]\equiv{0}  \) MOD(5)? Por que el lado derecho sí lo es. 

Ok, no es una congruencia. No te había entendido/leído bien. Respecto de la pregunta si  \( [17[D_{17}]-5[D_{5}]]\equiv{0}  \) mod \( 5 \) ,  eso sólo tiene solución si  \( [D_{17}] \)  es múltiplo de 5.

Volvamos entonces á  \( 11^34^319^3[17[D_{17}]-5[D_{5}]]=19^{15}[19^{36}-1]-11^{15}[a^{36}-1]-4^{15}[b^{36}-1]=y \) .

¿Por qué  \( D_{17} \)  no es múltiplo de 5?

Sdos

[RDC]

Hola Fernando, como estás! gracias por tu pregunta, faltaría más.

Quizás sea yo que me pierdo, pero si bien a nivel de congruencias es cierto lo que me dices, que \( 5^3\cdot 2^3\equiv 7^3 \) mod \( 3 \) a nivel de igualdades no es cierto que \( 5^3\cdot 2^3= 7^3 \)

Por otro lado, la expresión que has copiado y expuesto debería de ser congruente con modulo 3, pero también con cualquier modulo, porque si partimos de la suposición de que \( a^3+b^3=c^3 \) es cierta, eso implica que esa expresión también se suponga congruente. Pero, ¿Acaso eso no es solo una suposición? Luego cuando analizas si realmente esa suposición es congruente con cierto módulos, parece ser que no lo es, con lo cual se demostraría que la suposición inicial no es cierta, no?

Por curiosidad, ¿cómo sabes qué congruencia tiene el factor \( [17[D_{17}]-5[D_{5}]] \)? ¿Puedes saber sin más si \( [17[D_{17}]-5[D_{5}]]\equiv{0}  \) MOD(5)? Por que el lado derecho sí lo es. 

Ok, no es una congruencia. No te había entendido/leído bien. Respecto de la pregunta si  \( [17[D_{17}]-5[D_{5}]]\equiv{0}  \) mod \( 5 \) ,  eso sólo tiene solución si  \( [D_{17}] \)  es múltiplo de 5.

Volvamos entonces á  \( 11^34^319^3[17[D_{17}]-5[D_{5}]]=19^{15}[19^{36}-1]-11^{15}[a^{36}-1]-4^{15}[b^{36}-1]=y \) .

¿Por qué  \( D_{17} \)  no es múltiplo de 5?

Sdos

Hola Fernando, después de contestarte me preguntaba lo mismo: "¿Por qué  \( D_{17} \)  no es múltiplo de 5?"

Había comentado que si se diera la casualidad de que \( D_{17} \)  es múltiplo de cinco entonces se puede buscar otro exponente, que implica otro primo. Y así indefinidamente. Y pensaba que sería imposible que para infinitos primos \( D_{p_2} \) fuera siempre múltiplo de 5.

Luego he hecho lo siguiente:

dado a,b tales que:

\( (a^3+b^3) ^17= a^{51}+b^{51}+17a^3b^3(a^3+b^3)[D_{17}] \)

\( (a^3+b^3) ^17 - a^{51}-b^{51} = 17a^3b^3(a^3+b^3)[D_{17}] \)

\( (a^3+b^3) ^17 -(a^3+b^3) - a^3(a^{48}-1)-b^3(b^{48}-1)=17a^3b^3(a^3+b^3)[D_{17}] \)

\( (a^3+b^3)[(a^3+b^3) ^16-1] - a^3(a^{48}-1)-b^3(b^{48}-1)=17a^3b^3(a^3+b^3)[D_{17}] \)


Si, a,b y \( (a^3+b^3) \) no son múltiplos de 5, entonces siempre lo será \( [D_{17}] \).

He visto que esto sucede en general y no me lo esperaba. Por tanto, Luís y tu estabais en lo cierto: es una forma de congruencia. EN fin, muy curioso y no era lo que pretendía hacer, porqeu tengo claro que en ese sentido no se puede encontrar mucho.

Por cierto, en el post muestro dos opciones, esta era la segunda. ¿La primera opción la veis correcta?

[Fernando Moreno]

Por cierto, en el post muestro dos opciones, esta era la segunda. ¿La primera opción la veis correcta?

Si te refieres por la Opción A á que no puede ser que  \( 7 \)  no divida á  \( abc \)  entonces es correcta. Fíjate, todo número al cubo es congruente con  \( \pm 1 \)  módulo 7. Luego nunca puedo construir  \( c^3=a^3+b^3 \)  como  \( \pm 1=\pm 1\pm 1 \)  si una de las letras no es  \( 0 \) .

Un saludo