Buenas, alguien podría ayudarme con el siguiente problema:
Se considera en $$\mathbb{R}^2$$, con coordenadas polares $$(p, \theta)$$, el campo vectorial $$F$$ cuyas componentes contravariantes son:
\[ F^1(p, \theta) = 2p \cdot \cos(\theta) \cdot \sin(\theta), \quad F^2(p, \theta) = 2 \cos(\theta)^2 - 1. \]
¿Coinciden las componentes covariantes de $$F$$ con sus componentes contravariantes? No olvides justificar la respuesta.
Mensaje de la moderación: se ha corregido el \( \LaTeX \). En este foro en vez de un solo símbolo de $ para escribir \( \LaTeX \) hay que usar dos.
Depende de la base vectorial que estés usando para denotar a \( F \). Por ejemplo puede ser que \( F=F^1 \frac{\partial}{\partial p}+F^2\frac{\partial}{\partial \theta } \), o que \( F=F^1\hat p+F^2 \hat \theta \), o que \( F=F^1\frac{\partial}{\partial x}+F^2\frac{\partial}{\partial y} \), supongo será una de las dos primeras, pero tienes que especificar cuál. También hay que conocer la métrica que estás usando, aunque supongo será la métrica euclídea.
En cualquier caso, usando la notación de Einstein, la forma para pasar de un vector a su dual es \( F_j=g_{ij}F^i \) donde \( g_{ij}:=g(e_i,e_j) \) siendo \( g \) la métrica del espacio y \( e_1,e_2,\ldots ,e_n \) la base vectorial del espacio tangente que estés usando, que en este caso seguramente sea \( \hat p, \hat \theta \). Siendo así tendrías que \( g_{i,j}=\delta _{i,j} \) ya que la base \( \hat p,\hat \theta \) es ortonormal en la métrica euclídea, quedando por tanto \( F_1=F^1 \) y \( F_2=F^2 \), es decir, tendría los mismos componentes en su versión covariante.
