[lex]

Buenas tengo muchas dudas con el siguiente ejercicio, si me pueden orientar lo agradecería mucho.

Si \( Y_1,\, Y_2, \cdots ,\, Y_{10} \) es una muestra aleatoria de una distribución normal con media cero y varianza uno.

• ¿Cuál es la distribución de \( W=\displaystyle\frac{(Y_1+Y_6)}{\sqrt[ ]{Y_{2}^{2}+Y_{3}^{2}}} \)?
• ¿Cuál es la distribución de \( U=\displaystyle\sum_{i=1}^5{(Y_i-\overline{Y_1})^2}+ \sum_{i=6}^{10}{(Y_i-\overline{Y_2})^2}  \)?, con \( \overline{Y_1}=\displaystyle\sum_{i=1}^{5}{Y_i} \)    y 
    \( \overline{Y_2}=\displaystyle\sum_{i=6}^{10}{Y_i} \)

[Masacroso]

Te doy una pista para la primera parte. Si defines \( X_1:=Y_1+Y_6 \) y \( X_2:=\sqrt{Y_2^2+Y_3^2} \) entonces tienes que

\( \displaystyle{
\Pr \left[\frac{X_1}{X_2}\leqslant c\right]=\Pr [X_1-cX_2\leqslant 0]=\int_{(-\infty ,0]}\int_{\mathbb{R} }f_{X_1}(t-s)f_{-cX_2}(s)\,ds \,d t
} \)

Las distribuciones tanto de \( X_1 \) y \( X_2 \) son sencillas de calcular, quizá la que revista algo más de dificultad es la de \( X_2 \) pero observa que

\( \displaystyle{
\Pr [X_2\leqslant a]=\Pr [(Y_2,Y_3)\in \mathbb{B}(0,a)]=\int_{\mathbb{B}(0,a)}f_{Y_2}(t)f_{Y_3}(s) d(s,t)
} \)

[lex]

Buenas Masacroso gracias por tu respuesta.
Se me esta haciendo muy dificil comprender este tema.