Sea el intervalo \( [0,1) \) dotado con la medida de Lebesgue. Dado \( n\geq{1} \), denotamos como \( E_n \) al conjunto de funciones en \( [0,1) \) que son constantes en los intervalos diadicos de longitud \( 2^{-n} \), esto quiere decir que \( E_n \) son las funciones que se pueden escribir en la forma:
\( f:= \displaystyle\sum_{m=1}^{2^{n}} \beta_m \mathbb{1}_{[(m-1)2^{-n}, m2^{-n}]} \)
donde \( (\beta_m)_{m=1}^{2^n} \) son numeros reales. Definimos el conjunto
\( \mathcal{A}:=\left\{{ A \subset{[0,1) }: \mathbb{1}_A \in E_n}\right\} \)
(o equivalente \( A_n \) es la unión de intervalos diadicos de longitud \( 2^{-n} \)).
a) Demuestre que \( E_n \) es un espacio vectorial en \( \mathbb{R} \) y dar su dimensión
b) Demuestre que \( \mathcal{A}_n \) es un álgebra
Para la primera parte tengo la idea que toda función puede ser escrita como una combinación lineal de funciones constantes en \( [m2^{-n},(m+1)2^{-n}] \) y dichas funciones son linealmente independientes, entonces la dimensión será \( 2^{n} \), no se si estoy por la vía correcta.
