[lex]

Buenas Estoy por acá un poco dudoso con este ejercicio a ver si me puedes ayudar.

En un futuro no muy lejano usted se quiere sumar a una tendencia eco-social denominada "Foros del Rincón", que consiste en comer sólo frutas que han caído naturalmente (por sí solas) de los árboles.

Para emprender en ese mundo, usted quiere hacer uso de los árboles frutales que hay en una parcela de una región a la que se tiene acceso, y que ya están en temporada de cosecha.

Primeramente, se quiere analizar en vender al estilo "Foros del Rincón" las frutas de sus manzanos y perales. Usted estima que las manzanas caen naturalmente siguiendo un proceso de Poisson de tasa de 10 manzanas por hora, mientras que las peras caen siguiendo un proceso de Poisson de tasa 5 peras por hora.

Spoiler

Para Resolver este tipo de Problema se define lo siguiente:

\( N_m \): Cantidad de manzanas que caen \( \sim{Poisson}(10) \) [Manzanas/Hora]

\( N_p \): Cantidad de peras que caen \( \sim{Poisson}(5) \) [Peras/Hora]

\( N \): Cantidad de frutas que caen \( \sim{Poisson}(15) \) [frutas/Hora]

\( T_m \): Tiempo entre caídas de las manzanas \( \sim{Exponencial}(10) \) [manzanas/Hora]

\( T_p \): Tiempo entre caídas de las peras \( \sim{Exponencial}(5) \) [peras/Hora]

\( T \): Tiempo entre caídas de las frutas \( \sim{Exponencial}(15) \) [frutas/Hora]

[cerrar]

a) ¿cuál es la probabilidad que la primera fruta que caiga sea una manzana?

Spoiler

\( \mathbb{P}(N_m | N_p=0)= \displaystyle\frac{\mathbb{P (N_m=1 \wedge N_p=0)}}{\mathbb{P (N_p=0)}} \)

Aquí tengo mis dudas no se si este del todo correcto.

[cerrar]

b) ¿cuál es la probabilidad que la primera fruta caiga después de 5 minutos?

Spoiler

\( N\sim{Poisson}(15) [frutas/60 min] \)

\( \mathbb{P}(N(5 min)\geq{1})=1- \mathbb{P}(N(5 min)=0)=1-e^{-5(15/60)} \)

[cerrar]

c) ¿cuál es la probabilidad que la segunda manzana caiga despues de 10 minutos?

Spoiler

\( \mathbb{P}(N_m(10min)\leq{1})= e^{-10(10/60)} \)

[cerrar]

d) Si se sabe que cayeron exactamente 9 manzanas en 1 hora, ¿ cuál es la probabilidad que hayan caído exactamente 2 manzanas en los primeros 10 minutos de dicha hora?

Spoiler

\( \mathbb{P}(N_m(10)=2 | N_m(60)=9) \)

[cerrar]

La fruta que cae de los árboles se almacena inmediatamente en cajas con capacidad de 48 frutas (indistintas)

e) ¿En cuánto tiempo se espera llenar una caja ?

Spoiler

\( T\sim{Exponencial}(15)[Frutas/hora] \)

\( E[T_m + T_p]=E(T_m)+E[T_p]= 2E(T_p)=2(60/15) horas \)

[cerrar]

f) Considere que a medio día ya ha llenado 2 cajas y la tercera caja tiene 20 peras y 25 manzanas . ¿cuál es la probabilidad que la tercera caja se termine de llenar sólo con peras?

g) El proceso que cuenta las cajas llenas de fruta, ¿es un proceso de Poisson?

[Masacroso]

Si no me equivoco, tienes todos los planteamientos mal, es decir, desde el a) hasta el e). Por ejemplo, para el a) tú has escrito \( P(N_m=1|N_p=0) \), pero eso es la probabilidad de que en una hora, habiendo caído cero peras, caiga exactamente una manzana. Como la caída de las frutas es independiente eso es lo mismo que \( P(N_m=1) \), pero eso no tiene nada que ver con lo que te preguntan.

Para que te aclares: las variables \( N_m \) y \( N_p \) cuentan cuántas frutas caen (de cada tipo) en una hora, y las variables \( T_m \) y \( T_p \) cuentan cuánto tiempo pasa (contado en horas), dado un instante cualquiera, hasta que cae una fruta. Entonces en el a) te piden calcular \( P(T_m<T_p) \). Para el b) te piden \( P(\min\{T_m,T_p\}>5/60) \), etc... Intenta replantear el resto, a ver si ahora das con la tecla.

[lex]

Gracias Masacroso, Como dices tu intentare de nuevo a ver si doy con la tecla.

[lex]

Buenas veamos como va quedando la cosa.

En un futuro no muy lejano usted se quiere sumar a una tendencia eco-social denominada "Foros del Rincón", que consiste en comer sólo frutas que han caído naturalmente (por sí solas) de los árboles.

Para emprender en ese mundo, usted quiere hacer uso de los árboles frutales que hay en una parcela de una región a la que se tiene acceso, y que ya están en temporada de cosecha.

Primeramente, se quiere analizar en vender al estilo "Foros del Rincón" las frutas de sus manzanos y perales. Usted estima que las manzanas caen naturalmente siguiendo un proceso de Poisson de tasa de 10 manzanas por hora, mientras que las peras caen siguiendo un proceso de Poisson de tasa 5 peras por hora.

Spoiler

Para Resolver este tipo de Problema se define lo siguiente:

\( N_m \): Cantidad de manzanas que caen \( \sim{Poisson}(10) \) [Manzanas/Hora]

\( N_p \): Cantidad de peras que caen \( \sim{Poisson}(5) \) [Peras/Hora]

\( N \): Cantidad de frutas que caen \( \sim{Poisson}(15) \) [frutas/Hora]

\( T_m \): Tiempo entre caídas de las manzanas \( \sim{Exponencial}(10) \) [manzanas/Hora]

\( T_p \): Tiempo entre caídas de las peras \( \sim{Exponencial}(5) \) [peras/Hora]

\( T \): Tiempo entre caídas de las frutas \( \sim{Exponencial}(15) \) [frutas/Hora]

[cerrar]

a) ¿cuál es la probabilidad que la primera fruta que caiga sea una manzana?

Spoiler

Sean \( T_m, T_p \), 2 variables exponenciales de parámetros \( \lambda_m, \lambda_p \) e independientes entre si. Se define la V.A \( S \) como el tiempo Transcurrido hasta que ocurra alguno de los eventos \( m, p \):

\( S=\min(T_m,T_p) \)

Entonces se tiene que \( S \) también se distribuye de forma exponencial con parámetro:

\( \lambda= \lambda_m+\lambda_p \)

Además, se tiene que, \( \mathbb{P}(S=T_m)=\displaystyle\frac{\lambda_m}{\lambda} \), corresponde a la probabilidad de que el evento \( m \), sea el primero de los 2 eventos en ocurrir. Por tanto

\( \mathbb{P}(S=T_m)=\displaystyle\frac{10}{10+5}=\displaystyle\frac{10}{15}\approx{0,66} \)

[cerrar]

b) ¿cuál es la probabilidad que la primera fruta caiga después de 5 minutos?

Spoiler

Sean \( T_m, T_p \), 2 variables exponenciales de parámetros \( \lambda_m, \lambda_p \) e independientes entre si. Se define la V.A \( S \) como el tiempo Transcurrido hasta que ocurra alguno de los eventos \( m, p \):

\( S=\min(T_m,T_p) \)

Entonces se tiene que \( S \) también se distribuye de forma exponencial con parámetro:

\( \lambda= \lambda_m+\lambda_p \)

Ahora, se tiene que \( \mathbb{P}(S>\displaystyle\frac{5}{60}) \), será la probabilidad de que ocurra que luego de 5 minutos caiga una manzana o una pera. Por tanto

\( \mathbb{P}(S>\displaystyle\frac{5}{60})=\mathbb{P}(T_m>\displaystyle\frac{5}{60}, T_p>\displaystyle\frac{5}{60})=
\mathbb{P}(T_m>\displaystyle\frac{5}{60})\mathbb{P}(T_p>\displaystyle\frac{5}{60})=e^{-(\lambda_m+\lambda_p)(5/60)}=e^{-15(5/60)}=e^{-5/4}\approx{0,2865}
 \)

[cerrar]

c) ¿cuál es la probabilidad que la segunda manzana caiga despues de 10 minutos?

Spoiler

\( \mathbb{P}(T_m>(10/60) | T_m>0)=\displaystyle\frac{e^{-10(10/60)}}{e^{-10(0)}}=e^{-10(10/60)}=e^{-10/6}\approx{0,1888} \)

[cerrar]

d) Si se sabe que cayeron exactamente 9 manzanas en 1 hora, ¿ cuál es la probabilidad que hayan caído exactamente 2 manzanas en los primeros 10 minutos de dicha hora?

Spoiler

Se quiere calcular \( \mathbb{P}(N_m(10)=2 | N_m(60)=9) \)
Luego:
\( \mathbb{P}(N_m(10)=2 | N_m(60)=9)=\displaystyle\frac{\mathbb{P}(N_m(10)=2, N_m(60)=9)}{\mathbb{P}(N_m(60)=9)}=
\displaystyle\frac{\mathbb{P}(N_m(10)=2, N_m(60)-N_m(10)=7)}{\mathbb{P}(N_m(60)=9)}=\displaystyle\frac{e^{-10(10/60)}[10(10/60)]^{2}}{2!}\displaystyle\frac{e^{-10(50/60)}[10(50/60)]^{7}}{7!}\displaystyle\frac{9!}{e^{-9(1)}[10(1)]^{9}}

 \)

[cerrar]

La fruta que cae de los árboles se almacena inmediatamente en cajas con capacidad de 48 frutas (indistintas)

e) ¿En cuánto tiempo se espera llenar una caja ?


f) Considere que a medio día ya ha llenado 2 cajas y la tercera caja tiene 20 peras y 25 manzanas . ¿cuál es la probabilidad que la tercera caja se termine de llenar sólo con peras?

g) El proceso que cuenta las cajas llenas de fruta, ¿es un proceso de Poisson?

Todavía no encuentro de verdad como plantear los otros, estoy un poco desorientado.

[Luis Fuentes]

Hola

 Tengo ciertas dudas. A ver que te parece...

e) ¿En cuánto tiempo se espera llenar una caja ?

\( E[48T] \)

f) Considere que a medio día ya ha llenado 2 cajas y la tercera caja tiene 20 peras y 25 manzanas . ¿cuál es la probabilidad que la tercera caja se termine de llenar sólo con peras?

Dado que cada suceso (caida de fruta) es independiente de los anteriores. Ahí lo único que te preguntan es la probabilidad de que las tres próximas frutas sean peras. Esto es la probabilidad de que el tiempo que tardan en caer tres peras sea menor que el tiempo que tarda en caer una manzana.

Saludos.

[lex]

Hola Luis, siempre al leerte todo parece sencillo, pero de verdad no veía como plantearlo, me parece que si esta correcto.