Buenas Masacroso gracias por tu respuesta.
Se me esta haciendo muy dificil comprender este tema.

Sea el intervalo \( [0,1) \) dotado de la medida de Lebesgue. Probar que si \( f \) esta en \( L^p([0,1)) \), \( p\in [1,\infty) \) existen \( f_k \in \bigcup_{n\geq{1}}{E_n} \) tal que:

Sea el intervalo \( [0,1) \) dotado con la medida de Lebesgue. Dado \( n\geq{1} \), denotamos como \( E_n \) al conjunto de funciones en \( [0,1) \) que son constantes en los intervalos diadicos de longitud \( 2^{-n} \), esto quiere decir que \( E_n \) son las funciones que se pueden escribir en la forma:
donde \( (\beta_m)_{m=1}^{2^n} \) son numeros reales. Definimos el conjunto
(o equivalente \( A_n \) es la unión de intervalos diadicos de longitud \( 2^{-n} \)).

a) Demuestre que \( E_n \) es un espacio vectorial en \( \mathbb{R} \) y dar su dimensión

b) Demuestre que \( \mathcal{A}_n \) es un álgebra


Para la primera parte tengo la idea que toda función puede ser escrita como una combinación lineal de funciones constantes en \( [m2^{-n},(m+1)2^{-n}] \) y dichas funciones son linealmente independientes, entonces la dimensión será \( 2^{n} \), no se si estoy por la vía correcta.

Buenas, todavía no veo bien como probar esto, alguna orientación sera de mucha ayuda.

Se considera el intervalo \( [0,1] \) dotado de la medida de Lebesgue. Dado \( \alpha \in \mathbb{R} \), considerese \( f_n^{(\alpha)} \) la sucesión de funciones en \( [0,1] \) definida por \( f_n^{(\alpha)}(x)= n^{\alpha}x^{n} \). Probar que para todo \( \alpha \in \mathbb{R} \), \( f_n^{(\alpha)} \) converge casi siempre en \( [0,1] \) e identificar el límite. Ahora para cada \( p \in [1, \infty] \), identificar los valores de \( \alpha \) para los cuales \( f_n^{(\alpha)} \) converge en \(  L^p ([0,1]) \)

Hola buenas, el inconveniente que tengo acá es al momento de definir los estados del siguiente planteamiento, creo que definiendo los estados podría responder las preguntas que se me plantean.

GG cuida del jardín de 4 personas. El último día de la semana GG llama a sus 4 clientes y les pregunta si desearán que trabaje en el jardín de sus casas durante la semana siguiente. De esta forma, GG asigna 1 día a cada uno de sus clientes. Con la idea de planificar mejor su tiempo durante el mes, GG ha decidido analizar su cuaderno de visitas de los últimos años. En base a lo anterior, obtuvo la siguiente información:

-Los clientes nunca contratan servicios 2 semanas consecutivas.
-Si un cliente no lo ha contratado durante la semana en que llama, 2/3 de las veces lo contratan para la semana siguiente.

GG desea responder las siguientes preguntas:

A) ¿Cómo puede estimar los días que trabajará durante una semana, tomando en cuenta los días que trabajó la semana anterior? (Tomar como ejemplo que trabajó 2 días la semana anterior)

B) Si en una semana no trabaja, no podría pagar sus cuentas si vuelve a no trabajar durante alguna de las 3 semanas siguientes ¿debe preocuparse de que esto pueda ocurrir?

C) Durante las semanas de 4 clientes, dado que tiene 3 días libres y un exceso de dinero, GG aprovecha su tiempo libre y gasta su dinero viajando al down town de Los Ángeles para ver partidos de los Lakers en el Staples Center. ¿Cada cuánto tiempo, en promedio, irá a GG a ver a los Lakers? Si durante una semana trabajo 3 días, ¿en cuantas semanas más podrá ver un partido de los Lakers?

D) Durante esta semana, que es la tercera del mes, trabajó 2 días. No tiene ahorros y debe pagar US\$500 de gastos de fin de mes más US\$100 para mantenerse. ¿Cuánto debería cobrar a los clientes para esperar poder pagar la deuda?

E) GG desea ir a pasar una semana a Kirkwood, CA. Para esto debe esperar a tener libre una semana completa. La semana pasada tuvo 1 cliente. ¿En cuantas semanas más se espera que pueda visitar el centro de ski?

F) Durante la primera semana del mes de febrero del año 2025 se realizará el Super Bowl XLVII en la ciudad de New Orleans. Los tickets han salido hoy a la venta y se sabe que dentro de un mes ya estarán agotados. GG calcula que necesitará al menos 5 días libres para realizar el viaje ¿Debería comprar los tickets?

Buenas veamos como va quedando la cosa.

En un futuro no muy lejano usted se quiere sumar a una tendencia eco-social denominada "Foros del Rincón", que consiste en comer sólo frutas que han caído naturalmente (por sí solas) de los árboles.

Para emprender en ese mundo, usted quiere hacer uso de los árboles frutales que hay en una parcela de una región a la que se tiene acceso, y que ya están en temporada de cosecha.

Primeramente, se quiere analizar en vender al estilo "Foros del Rincón" las frutas de sus manzanos y perales. Usted estima que las manzanas caen naturalmente siguiendo un proceso de Poisson de tasa de 10 manzanas por hora, mientras que las peras caen siguiendo un proceso de Poisson de tasa 5 peras por hora.

Spoiler

Para Resolver este tipo de Problema se define lo siguiente:

\( N_m \): Cantidad de manzanas que caen \( \sim{Poisson}(10) \) [Manzanas/Hora]

\( N_p \): Cantidad de peras que caen \( \sim{Poisson}(5) \) [Peras/Hora]

\( N \): Cantidad de frutas que caen \( \sim{Poisson}(15) \) [frutas/Hora]

\( T_m \): Tiempo entre caídas de las manzanas \( \sim{Exponencial}(10) \) [manzanas/Hora]

\( T_p \): Tiempo entre caídas de las peras \( \sim{Exponencial}(5) \) [peras/Hora]

\( T \): Tiempo entre caídas de las frutas \( \sim{Exponencial}(15) \) [frutas/Hora]

[cerrar]

a) ¿cuál es la probabilidad que la primera fruta que caiga sea una manzana?

Spoiler

Sean \( T_m, T_p \), 2 variables exponenciales de parámetros \( \lambda_m, \lambda_p \) e independientes entre si. Se define la V.A \( S \) como el tiempo Transcurrido hasta que ocurra alguno de los eventos \( m, p \):

\( S=\min(T_m,T_p) \)

Entonces se tiene que \( S \) también se distribuye de forma exponencial con parámetro:

\( \lambda= \lambda_m+\lambda_p \)

Además, se tiene que, \( \mathbb{P}(S=T_m)=\displaystyle\frac{\lambda_m}{\lambda} \), corresponde a la probabilidad de que el evento \( m \), sea el primero de los 2 eventos en ocurrir. Por tanto

\( \mathbb{P}(S=T_m)=\displaystyle\frac{10}{10+5}=\displaystyle\frac{10}{15}\approx{0,66} \)

[cerrar]

b) ¿cuál es la probabilidad que la primera fruta caiga después de 5 minutos?

Spoiler

Sean \( T_m, T_p \), 2 variables exponenciales de parámetros \( \lambda_m, \lambda_p \) e independientes entre si. Se define la V.A \( S \) como el tiempo Transcurrido hasta que ocurra alguno de los eventos \( m, p \):

\( S=\min(T_m,T_p) \)

Entonces se tiene que \( S \) también se distribuye de forma exponencial con parámetro:

\( \lambda= \lambda_m+\lambda_p \)

Ahora, se tiene que \( \mathbb{P}(S>\displaystyle\frac{5}{60}) \), será la probabilidad de que ocurra que luego de 5 minutos caiga una manzana o una pera. Por tanto

\( \mathbb{P}(S>\displaystyle\frac{5}{60})=\mathbb{P}(T_m>\displaystyle\frac{5}{60}, T_p>\displaystyle\frac{5}{60})=
\mathbb{P}(T_m>\displaystyle\frac{5}{60})\mathbb{P}(T_p>\displaystyle\frac{5}{60})=e^{-(\lambda_m+\lambda_p)(5/60)}=e^{-15(5/60)}=e^{-5/4}\approx{0,2865}
 \)

[cerrar]

c) ¿cuál es la probabilidad que la segunda manzana caiga despues de 10 minutos?

Spoiler

\( \mathbb{P}(T_m>(10/60) | T_m>0)=\displaystyle\frac{e^{-10(10/60)}}{e^{-10(0)}}=e^{-10(10/60)}=e^{-10/6}\approx{0,1888} \)

[cerrar]

d) Si se sabe que cayeron exactamente 9 manzanas en 1 hora, ¿ cuál es la probabilidad que hayan caído exactamente 2 manzanas en los primeros 10 minutos de dicha hora?

Spoiler

Se quiere calcular \( \mathbb{P}(N_m(10)=2 | N_m(60)=9) \)
Luego:
\( \mathbb{P}(N_m(10)=2 | N_m(60)=9)=\displaystyle\frac{\mathbb{P}(N_m(10)=2, N_m(60)=9)}{\mathbb{P}(N_m(60)=9)}=
\displaystyle\frac{\mathbb{P}(N_m(10)=2, N_m(60)-N_m(10)=7)}{\mathbb{P}(N_m(60)=9)}=\displaystyle\frac{e^{-10(10/60)}[10(10/60)]^{2}}{2!}\displaystyle\frac{e^{-10(50/60)}[10(50/60)]^{7}}{7!}\displaystyle\frac{9!}{e^{-9(1)}[10(1)]^{9}}

 \)

[cerrar]

La fruta que cae de los árboles se almacena inmediatamente en cajas con capacidad de 48 frutas (indistintas)

e) ¿En cuánto tiempo se espera llenar una caja ?


f) Considere que a medio día ya ha llenado 2 cajas y la tercera caja tiene 20 peras y 25 manzanas . ¿cuál es la probabilidad que la tercera caja se termine de llenar sólo con peras?

g) El proceso que cuenta las cajas llenas de fruta, ¿es un proceso de Poisson?

Todavía no encuentro de verdad como plantear los otros, estoy un poco desorientado.

Buenas Estoy por acá un poco dudoso con este ejercicio a ver si me puedes ayudar.

En un futuro no muy lejano usted se quiere sumar a una tendencia eco-social denominada "Foros del Rincón", que consiste en comer sólo frutas que han caído naturalmente (por sí solas) de los árboles.

Para emprender en ese mundo, usted quiere hacer uso de los árboles frutales que hay en una parcela de una región a la que se tiene acceso, y que ya están en temporada de cosecha.

Primeramente, se quiere analizar en vender al estilo "Foros del Rincón" las frutas de sus manzanos y perales. Usted estima que las manzanas caen naturalmente siguiendo un proceso de Poisson de tasa de 10 manzanas por hora, mientras que las peras caen siguiendo un proceso de Poisson de tasa 5 peras por hora.


a) ¿cuál es la probabilidad que la primera fruta que caiga sea una manzana?


b) ¿cuál es la probabilidad que la primera fruta caiga después de 5 minutos?


c) ¿cuál es la probabilidad que la segunda manzana caiga despues de 10 minutos?


d) Si se sabe que cayeron exactamente 9 manzanas en 1 hora, ¿ cuál es la probabilidad que hayan caído exactamente 2 manzanas en los primeros 10 minutos de dicha hora?


La fruta que cae de los árboles se almacena inmediatamente en cajas con capacidad de 48 frutas (indistintas)

e) ¿En cuánto tiempo se espera llenar una caja ?

f) Considere que a medio día ya ha llenado 2 cajas y la tercera caja tiene 20 peras y 25 manzanas . ¿cuál es la probabilidad que la tercera caja se termine de llenar sólo con peras?

g) El proceso que cuenta las cajas llenas de fruta, ¿es un proceso de Poisson?

Hola si Masacroso, hice lectura rápida y no me di cuenta que dices un proceso de Poisson, voy a tratar de montarlo a ver que resulta.

Buenas tengo dudas con el siguiente planteamiento, si alguien me puede orientar agradezco la ayuda.

Se tiene 3 libros disponibles en una biblioteca, cada libro prestado dura un tiempo de una semana en devolverse, si los libros se solicitan en un tiempo promedio de 5 días. Encontrar la probabilidad de que en una semana haya al menos 2 libros disponibles.

Saludos, Gracias Luis