[Quema]

Hola
Si tengo tres variables aleatorias \( X,Y,Z \) con sus respectivas funciones de distribución acumulada \( F_1,F_2,F_3 \). Dada una función real lineal en las probabilidades y cóncava respecto a su argumento es decir \( U(\displaystyle\sum_{i=1}^3{a_iF_i)}=\displaystyle\sum_{i=1}^3{a_iU(F_i)}=\displaystyle\int_{a}^{b}u(x)d(\displaystyle\sum_{i=1}^3{a_iF_i)}=\displaystyle\sum_{i=1}^3{a_i\displaystyle\int_{a}^{b}u(x)dF_i} \)
y \( u(x) \) cóncava es decir derivada segunda negativa.
Supongamos que \( Eu(\displaystyle\sum_{i=1}^2{a_iF_i)} \)\( \geq{} \)\( Eu(F_3) \).
Entonces por linealidad de \( U \), \( \displaystyle\sum_{i=1}^2{a_iEu(F_i)} \)\( \geq{Eu(F_3)} \)
Mi duda es no puedo decir que
\( Eu(a_1X+a_2Y) \)\( \geq{Eu(Z)} \)por concavidad de \( U \)
Creo que hay un error en este razonamiento

[Luis Fuentes]

Hola

 Ufff. No esta nada clara la notación que usas.

 Entiendo que U es... ¿un funcional lineal en el espacio de funciones de distribución?. Pero el conjunto de distribuciones no es un espacio vectorial...

 Por otro lado... ¿qué realación hay entre U (mayúscula) y u (minúscula)?. ¿Algo así?:

\( U(F)(x)=\displaystyle\int_{x}^{-\infty}u(x)dF \)

 En fin que no te estoy entendiendo muy bien. Quizá sea fallo mío.

Saludos.

P.D. Llevas varias preguntas un tanto extrañas que realcionan funciones de distribución, concavidad y convexidad. Tu aquí las planteas algo descontextualizadas. Eso no ayuda tampoco a aclararlas. ¿En que situación se te plantean estas cuestiones?.

[Quema]

\( U(F)=\displaystyle\int_{a}^{b}u(x)dF \). Yo digo si dado X,Y y Z variables aleatorias con distribución acumulada \( F_1,F_2,F_3 \)respectivamente. Si \( \displaystyle\int_{a}^{b}u(x)d(aF_1+(1-a)F_2)\geq{\displaystyle\int_{a}^{b}u(x)dF_3} \)
Es lo mismo que decir que \( Eu(aX+(1-a)Y)\geq{Eu(Z)} \) donde, por ejemplo,
\( Eu(X)=\displaystyle\int_{a}^{b}u(x)dF_1 \)
Para ser todavía más claro, si tengo una variable aleatoria \( W \)con función de distribución acumulada igual a \( aF_1+(1-a)F_2 \)con \( a\in{(0,1)} \)puedo decir que \( Eu(aX+(1-a)Y)\geq{Eu(W)} \)

[Luis Fuentes]

Hola

 Veamos. Denotaré en minúscula las funciones de densidad de las variables aleatorias. Entonces:

\( E(u(aX+(1-a)Y))=\displaystyle\int \displaystyle\int u(ax+(1-a)y)f_1(x)f_2(y)dxdy \)

 Si la función \( u \) es cóncava se tiene:

\(  u(ax+(1-a)y)\geq au(x)+(1-a)u(y) \)

luego:

\( E(u(aX+(1-a)Y))\geq \displaystyle\int \displaystyle\int au(x)f_1(x)f_2(y)dxdy+\displaystyle\int \displaystyle\int (1-a)u(y) f_1(x)f_2(y)dxdy= \)

\( \qquad = a \displaystyle\int u(x)f_1(x)dx+(1-a)\displaystyle\int u(y) f_2(y)dy= \)

\( \qquad =a E(u(X))+(1-a)E(u(Y)) \)

 Por tanto bajo la hipótesis de concavidad de \( u \) si que parece que es cierto que:

\( E(u(aX+(1-a)Y)\geq aE(u(X))+(1-a)E(u(Y)). \)

Saludos.