[mvm]

Hola a todos, a continuación les planteo un problema muy interesante y que no acabo de resolver, dice así:

"Un matrimonio planifica su descendencia considerando los siguientes esquemas :

a) Tener 3 varones
b) Tener varones hasta que nazca la primera hembra o ya tengan tres niños (lo que pase primero)
c) Tener niños hasta que tengan una pareja de ambos sexos, o ya tengan tres niños (lo que pase primero)

Sea Bi el suceso han nacido i niños (i=1,2,3) y C el suceso tener más varones que hembras

1) Calcular p(B1) y P(C) en cada uno de los tres esquemas
2) Calcular p(B2) y p(B3) en cada uno de los tres esquemas
3) Sea E el suceso que la familia completa tenga igual número de varones que de hembras. Encontrar
    p(E) en cada uno de los tres esquemas.

Muchas gracias y saludos.

[Fernando Revilla]

Sigamos la pista al matrimonio. Habiendo tenido un hijo/a, tienen la capacidad de querer tener uno/a más o no. El matrimonio de común acuerdo solo acepta tres esquemas, no pudiendo decidir cual de ellos se cumplirá, pero si puede decir que se cumplirá uno de ellos.

El esquema \( a \) se verifica si y solo si ocurre \( \left\{{VVV}\right\} \).
El esquema \( b \) se verifica si y solo si ocurre \( \left\{{VVV, VVH, VH, H}\right\} \).
El esquema \( c \) se verifica si y solo si ocurre \( \left\{{VVV, VVH, VH, HV}\right\} \).
(aquí interpreto en el apartado c) que niño significa varón o hembra)

Según esto, y llamando \( E_a,\;E_b,\;E_c \) a los sucesos ha ocurrido el esquema \( a,b,c \) respectivamente, tenemos:

1) \( p(B_1|E_a)=0 \), \( p(C|E_a)=1 \)

\( p(B_1|E_b)=p(VH)=\displaystyle\frac{1}{4}} \), \( p(C|E_b)=p(VVV)+p(VVH)=\displaystyle\frac{1}{8}+\displaystyle\frac{1}{8}=\displaystyle\frac{1}{4} \)

\( p(B_1|E_c)=p(VH)+p(HV)=\displaystyle\frac{1}{2}} \), \( p(C|E_c)=p(VVV)+p(VVH)=\displaystyle\frac{1}{8}+\displaystyle\frac{1}{8}=\displaystyle\frac{1}{4} \)

2) \( p(B_2|E_a)=0,\;p(B_3|E_a)=1 \)
\( p(B_2|E_b)=p(VVH)=\displaystyle\frac{1}{8},\;p(B_3|E_b)=p(VVV)=\displaystyle\frac{1}{8} \)
\( p(B_2|E_c)=p(VVH)=\displaystyle\frac{1}{8},\;p(B_3|E_c)=p(VVV)=\displaystyle\frac{1}{8} \)

3) \( p(E|E_a)=0,\;p(E|E_b)=p(VH)=\displaystyle\frac{1}{4},\;p(E|E_c)=p(VH)+p(HV)=\displaystyle\frac{1}{2} \)

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 En el apartado (c), ¿no faltan los casos HHV,HHH?

Saludos.

[Fernando Revilla]

¿Me estaré volviendo machista?. En el propio mensaje digo que interpreto en el problema que la palabra niño significa varón o hembra. Luego, tal vez influido por ese extraño matrimonio hice el apartado c) considerando la palabra niño, como equivalente a varón.

Saludos.

P:D. Insisto en lo dicho por mi en otro mensaje. La Psiquiatría necesita especialistas en matemáticos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Perdona, no te había leído que en c) intepretas niño=varón. Yo incluso diría que más allá de brotes machistas ( ), así no le veo sentido al enunciado. Donde dice ¿"tener niños hasta que..." debe de leerse "tener varones hasta que..."?. No le veo "xeito" que decimos en Galicia. Como dices al principio la pareja sólo puede decidir cuando para de tener hijos. Me reafirmo en que el esquema (c) DEBE de referirse a los casos:

\( \{VVV,VVH,VH,HV,HHV, HHH\} \)

 Eso modificaría la probabilidad:

\(  p(B_1|E_c)=P(VH)+P(HV)+P(HHV)=1/4+1/4+1/8=5/8 \)

 Por otro lado tampoco tengo muy claro a que se refiere en el esquema (a). Basándome de nuevo en que ellos sólo pueden decicir cuando parar de tener hijos yo entendí que se trataba más bien de que tienen hijos/as hasta conseguir tres varones. En cualquier caso:

\( P(B_1|E_a)=P(B_2|E_a)=0,\quad P(B_3|E_a)=1 \)

pero

\( P(C|E_a)=P(VVV)+P(\mbox{1 hembras y 3 varones con el \'ultimo var\'on})+ \)
             \( + P(\mbox{2 hembras y 3 varones con el \'ultimo var\'on}) \)

donde

\( P(\mbox{1 varones y 3 hembras siendo el \'ultimo var\'on})=3\cdot 1/16 \)

\( P(\mbox{2 varones y 3 hembras siendo el \'ultimo var\'on})=\displaystyle\binom{4}{2}\cdot 1/32 \)

y finalmente:

\( P(E|E_a)=\displaystyle\binom{5}{2}\cdot 1/32 \)

ya que hay igual número de hembras que de varones en el esquema (a) (exactamente 3 en este caso) si entres los cinco primeros hay 3 hembras y 2 varones, y sexto es varón. Las distintas formas de distribuir los dos varones entre los cinco primeros puestos son combinaciones sin repetición de 5 elementos tomados de 2 en 2 \( \displaystyle\binom{5}{2} \).

Saludos.

P.D. Último párrafo modificado.

[Fernando Revilla]

El apartado c) (copio textualmente) dice:

"c) Tener niños hasta que tengan una pareja de ambos sexos, o ya tengan tres niños (lo que pase primero)"

Supongamos que niño equivale a varón o hembra. Hagamos un análisis temporal de los acontecimientos.

Primer hijo. Tanto si es hembra como si es varón, el matrimonio ha de tener necesariamente un hijo más para que se cumpla el esquema c).

Segundo hijo. Nacido este segundo hijo solo pueden haber ocurrido cuatro casos:\( VV,VH,HV,HH \). En los casos \( VH,HV \) el esquema está cumplido, en consecuencia y debido a la proposición "hasta",  el matrimonio debe decidir no tener más hijos para que se cumpla el esquema c).

Tercer hijo (condicional). Solo deciden tenerlo habiendo ocurrido \( VV \) o \( HH \). Después de nacer el tercer hijo, ha ocurrido \( VVV \) o \( VVH \) o \( HHV \) o \( HHH \). El esquema está cumplido pues ya tienen tres niños.

Por tanto el esquema c) corresponde a los casos \( VH,HV,VVV,VVH,HHV,HHH \) que es exactamente al esquema que tú has indicado.

Saludos.