Hola amigos podrían ayudarme con el siguiente ejercicio. Sinceramente no sé como hacerlo. Muchas gracias
En el diagrama se muestra dos círculos idénticos y un rectángulo 𝐴𝐵𝐶𝐷. Los puntos 𝐴 y 𝐵
están sobre la circunferencia de los dos círculos; y los puntos 𝐶 y 𝐷 son los centros de los dos
círculos respectivamente. El radio de los círculos es 20 𝑐𝑚 y el área del
rectángulo es 200𝜋 𝑐𝑚^2. Verificar que las dos áreas sombreadas tienen
igual magnitud
Hola:
Se me ocurre lo siguiente:
El rectángulo \( ABCD \) tiene dimensiones \( 20\,cm \times 10\pi\,cm \).
Por tanto, el segmento \( \overline{FG} \) mide \( 2\sqrt{20^2-25\pi^2} \) y el ángulo \( \alpha=\widehat{FCG}=2\arccos\dfrac{5\pi}{20} \). Así, el área del segmento circular correspondiente a dicho ángulo es \( \dfrac{\alpha 20^2}{2}-5\pi\sqrt{20^2-25\pi^2} \).
Finalmente, por simetría, el área pedida es la mitad de la siguiente suma: área del rectángulo \( ABHI \) menos el área de dos semicírculos de radio \( 20\,cm \) más seis veces el área del segmento circular hallado antes, es decir,
la mitad de \( A \) donde es\( A=400\pi-400\pi +6\left(\dfrac{\alpha 20^2}{2}-5\pi\sqrt{20^2-25\pi^2}\right)=2400\arccos\dfrac{5\pi}{20}-30\pi\sqrt{20^2-25\pi^2}\simeq 435,13\,cm^2 \) con \( \alpha \) expresado en radianes.
Saludos
Corregido y completado. Gracias ancapePor tanto, el área de la parte superior de la zona sombreada es \( \dfrac{400\pi-400\pi+2\left(\dfrac{\alpha 20^2}{2}-5\pi\sqrt{20^2-25\pi^2}\right)}{2}=\dfrac{\alpha 20^2}{2}-5\pi\sqrt{20^2-25\pi^2} \) y el área de la parte inferior de la zona sombreada es la misma, pues coincide con la del segmento circular.
