[petras]

\( ABC  \) es un triángulo equilátero de lado \(  l \) y \( P \) es un punto interior del triángulo \( ABC  \) tal que \( PA, PB \) y \( PC \) son las raíces de \(  t^3 - 18t^2 + 91t - 89 = 0 \). Calcular \( l^2 \)

Creo que los valores de las raíces no ayudan mucho pero la suma de las raíces quizás sería el camino a seguir ya que da un número entero. No estoy seguro si existe algún teorema con la suma de las distancias desde un punto. a los vértices

\(  S_r: -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-18}{1} = 18 \)

[ani_pascual]

Hola:

\( ABC  \) es un triángulo equilátero de lado \(  l \) y \( P \) es un punto interior del triángulo \( ABC  \) tal que \( PA, PB \) y \( PC \) son las raíces de \(  t^3 - 18t^2 + 91t - 89 = 0 \). Calcular \( l^2 \)

Creo que los valores de las raíces no ayudan mucho pero la suma de las raíces quizás sería el camino a seguir ya que da un número entero. No estoy seguro si existe algún teorema con la suma de las distancias desde un punto. a los vértices

\(  S_r: -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-18}{1} = 18 \)

Quizás esté relacionado con el hilo Demostrar en un triangulo equilátero  en cuyo caso sería

Spoiler

\( l^2=\dfrac{4}{5}\cdot(PA^2+PB^2+PC^2) \)

[cerrar]

Saludos

[petras]

Hola:

\( ABC  \) es un triángulo equilátero de lado \(  l \) y \( P \) es un punto interior del triángulo \( ABC  \) tal que \( PA, PB \) y \( PC \) son las raíces de \(  t^3 - 18t^2 + 91t - 89 = 0 \). Calcular \( l^2 \)

Creo que los valores de las raíces no ayudan mucho pero la suma de las raíces quizás sería el camino a seguir ya que da un número entero. No estoy seguro si existe algún teorema con la suma de las distancias desde un punto. a los vértices

\(  S_r: -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-18}{1} = 18 \)

Quizás esté relacionado con el hilo Demostrar en un triangulo equilátero  en cuyo caso sería

Spoiler

\( l^2=\dfrac{4}{5}\cdot(PA^2+PB^2+PC^2) \)

[cerrar]

Saludos

La dificultad es que P es cualquier punto y no está en la circunferencia inscrita.

Saludos

[Pie]

Igual te sirve esto, vale para cualquier punto siempre que se conozcan las distancias a los vértices, pero con esas raices tan feas sólo te serviria para hacer una aproximación..

Saludos.

[petras]

Grato a todos

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Si \( P \) es un punto interior de un triángulo equilátero a distancia de los vértices \( a,b,c \) puede verse que el lado \( l \) del triángulo equilátero cumple:

\( l^2=\dfrac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)+2\sqrt{3}\text{area}(abc) \)
 
 donde \( abc \) es el triángulo de lados \( a,b,c \).

 La prueba puede verse aquí:

https://math.stackexchange.com/questions/2758901/edge-length-of-an-equilateral-triangle-if-distances-from-a-point-p-to-its-vert
 
 Por la fórmula de Herón:

\( \text{area}(abc)=\dfrac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)} \)

 No sabemos \( a,b,c \) pero si que son las raíces de \( t^3 - 18t^2 + 91t - 89 = 0 \) y así:

\(  a+b+c=18 \)
\(  ab+bc+ac=91 \)
\(  abc=89 \)

 y

 \( a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)=18^2-2\cdot 91=142 \).

 \( (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)=-8 a b c - (a + b + c)^3 + 4 (a + b + c) (a b + a c + b c)=-8\cdot 89-18^3+4\cdot 18\cdot 89=8 \)

 Por tanto:

\( \text{area}(abc)=\dfrac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)}=\dfrac{1}{4}\sqrt{18\cdot 8}=3 \)

 y

\( l^2=\dfrac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)+2\sqrt{3}\text{area}(abc)=71+6\sqrt{3} \)

Saludos.

P.D. Es falso con esos datos que el punto sea interior al triángulo equilátero. En realidad esta es la posición:

[ani_pascual]

Hola:

\( l^2=\dfrac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)+2\sqrt{3}\text{area}(abc)=71+6\sqrt{3} \)

 

Saludos

[Pie]

Hola

 Si \( P \) es un punto interior de un triángulo equilátero a distancia de los vértices \( a,b,c \) puede verse que el lado \( l \) del triángulo equilátero cumple:

\( l^2=\dfrac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)+2\sqrt{3}\text{area}(abc) \)
 
 donde \( abc \) es el triángulo de lados \( a,b,c \).

 La prueba puede verse aquí:

https://math.stackexchange.com/questions/2758901/edge-length-of-an-equilateral-triangle-if-distances-from-a-point-p-to-its-vert
 
 Por la fórmula de Herón:

\( \text{area}(abc)=\dfrac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)} \)

 No sabemos \( a,b,c \) pero si que son las raíces de \( t^3 - 18t^2 + 91t - 89 = 0 \) y así:

\(  a+b+c=18 \)
\(  ab+bc+ac=91 \)
\(  abc=89 \)

 y

 \( a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)=18^2-2\cdot 91=142 \).

 \( (a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)=-8 a b c - (a + b + c)^3 + 4 (a + b + c) (a b + a c + b c)=-8\cdot 89-18^3+4\cdot 18\cdot 89=8 \)

 Por tanto:

\( \text{area}(abc)=\dfrac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)}=\dfrac{1}{4}\sqrt{18\cdot 8}=3 \)

 y

\( l^2=\dfrac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)+2\sqrt{3}\text{area}(abc)=71+6\sqrt{3} \)

Saludos.

P.D. Es falso con esos datos que el punto sea interior al triángulo equilátero. En realidad esta es la posición:

Buenísimo!

PD. Tiene pinta de que habia alguna errata en el polinomio y que la idea era hacerlo con alguno más "manejable" (o bueno, al menos con el punto dentro  ), aunque con tu método valdría para cualquiera (cuyas raices cumplan la desigualdad triangular) y sin necesidad de resolverlo.   

Editado. Que me quedó una afirmación demasiado alegre. 

Saludos.

[ancape]

 Si \( P \) es un punto interior de un triángulo equilátero a distancia de los vértices \( a,b,c \) puede verse que el lado \( l \) del triángulo equilátero cumple:

\( l^2=\dfrac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)+2\sqrt{3}\text{area}(abc) \)
 
 donde \( abc \) es el triángulo de lados \( a,b,c \).

 ........

Hola
No lo he comprobado, pero parece que en la prueba que presentas no es necesario que el punto \( P \) sea interior al triángulo. Tú mismo ves luego que en el caso que petras propone, el triángulo solución no encierra al punto \( P \). Tomo la pertenencia o no como problema menor, así que doy por demostrado que el lado \( l \) del triángulo equilátero buscado verifica tex]l^2=\dfrac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)+2\sqrt{3}\text{area}(abc)[/tex] independiente de que \( P \) sea o no interior a este. Lo que no me queda claro es que esta fórmula sea válida en cualquier caso. ¿Qué pasa si el polinomio de tercer grado dado tiene unas raíces \( a,b,c \) que no forman un triángulo. Por ejemplo, las raíces de la ecuación \( t^3-16t^2+68t-80=0 \) son \( 2,4,10 \) y claramente con tres segmentos de longitudes \( 2,4,10 \) no se puede formar ningún triángulo. He hecho varias pruebas y parece que cuando \( a,b,c \) no forman triángulo, NO EXISTE ningún triángulo equilátero cuyos vértices disten de \( P \) \( a,b,c \) pero todavía no he conseguido una demostración elegante. Planteo pues el siguiente problema:

Obtener condiciones necesarias y suficientes en los coeficientes de la ecuación \( f(t)=t^3+pt^2+qt+r=0 \) para que dado un punto \( P\in{\mathbb{R^2}} \) exista un triángulo equilátero \( T \) de forma que las raíces de \( f(t) \) sean las distancias de \( P \) a los vértices de \( T \)

Saludos

[Pie]

 Si \( P \) es un punto interior de un triángulo equilátero a distancia de los vértices \( a,b,c \) puede verse que el lado \( l \) del triángulo equilátero cumple:

\( l^2=\dfrac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)+2\sqrt{3}\text{area}(abc) \)
 
 donde \( abc \) es el triángulo de lados \( a,b,c \).

 ........

Hola
No lo he comprobado, pero parece que en la prueba que presentas no es necesario que el punto \( P \) sea interior al triángulo. Tú mismo ves luego que en el caso que petras propone, el triángulo solución no encierra al punto \( P \). Tomo la pertenencia o no como problema menor, así que doy por demostrado que el lado \( l \) del triángulo equilátero buscado verifica tex]l^2=\dfrac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)+2\sqrt{3}\text{area}(abc)[/tex] independiente de que \( P \) sea o no interior a este. Lo que no me queda claro es que esta fórmula sea válida en cualquier caso. ¿Qué pasa si el polinomio de tercer grado dado tiene unas raíces \( a,b,c \) que no forman un triángulo. Por ejemplo, las raíces de la ecuación \( t^3-16t^2+68t-80=0 \) son \( 2,4,10 \) y claramente con tres segmentos de longitudes \( 2,4,10 \) no se puede formar ningún triángulo. He hecho varias pruebas y parece que cuando \( a,b,c \) no forman triángulo, NO EXISTE ningún triángulo equilátero cuyos vértices disten de \( P \) \( a,b,c \) pero todavía no he conseguido una demostración elegante. Planteo pues el siguiente problema:

Obtener condiciones necesarias y suficientes en los coeficientes de la ecuación \( f(t)=t^3+pt^2+qt+r=0 \) para que dado un punto \( P\in{\mathbb{R^2}} \) exista un triángulo equilátero \( T \) de forma que las raíces de \( f(t) \) sean las distancias de \( P \) a los vértices de \( T \)

Saludos

Si las raices no cumplieran la desigualdad triangular en la fórmula de Herón quedaría la raiz cuadrada de un número negativo. Así que diria que bastaría con que cumplieran eso.. Pero a ver qué dicen los expertos.

Saludos.