[simpleimpar]

Hola:
El caso n>2 primo  de la ecuación de Fermat \( m^n = a^n + b^n \) lo he considerado en el archivo pdf adjunto, en los supuestos b par, a par y m par, mediante aritmética y álgebra ordinarias. Creo que se llega a contradicciones que indicarían ,salvo error u omisión, que no existen soluciones enteras y positivas m, a, b para la  ecuación.  en esos supuestos
Si se me hace saber donde están los errores de la supuesta demostración os quedaré sumamente agradecido.
Saludos cordiales

[aureodd]

Hola.
¿Estás indicando que \( m \), \( a \) y \( b \) son los 3 pares?
Puedes reducir entonces el UTF a que los tres son coprimos y solo uno de ellos debe ser par.
¿Tu prueba se adaptaría a este supuesto/caso?
Saludos

[simpleimpar]

Hola aureodd
Las soluciones posibles de la ecuación de Fermat de existir, estrían formadas por un número par y dos impares. Cuando considero los casos b par, a par y m par, es porque solo uno de los números b, a, m, puede ser par y se deben considerar estos tres supuestos independientemente. Esto da lugar al desarrollo que hago en el que creo demostrar que en esos supuestos se llega a la contradicción de que los números impares \( (b,(m-a))/2^p, (a,(m-b))/2^q, (m,(a+b))/2^r  \) para los caso b par, a par y m par respectivamente, deben ser iguales a 1 y diferentes de 1 con lo que concluyo que la ecuación de Fermat carece de soluciones enteras y positivas.
Saludos cordiales

[aureodd]

Hola.
Sin perdida de generalidad puedes partir del supuesto de que uno de ellos es par, por ejemplo \( b \), y si lo demuestras para eso caso no es necesario demostrarlo para los otros 2 (que \( a \) sea par o \( m  \) sea par).
Para el caso que \( b \) sea par indicas que \( (b,(m-a))/2^p \).
¿Con esta notación quieres decir que \( 2^p \) divide a \( b \) y a \( m-a \) o que \( b/2^p \) y \( (m-a)/2^p \) son iguales a \( 1 \) y diferentes de  \( 1 \) luego es una contradicción?
Gracias.
Saludos

[simpleimpar]

Hola de nuevo aureodd
Los supuestos \( b \) par y \( a \) par en la ecuación \( m^n = a^n + b^n \) se pueden tratar de la misma manera, de forma que basta cambiar \( b \) por \( a \) en el desarrollo del caso \( b \)  par para obtener lo  correspondiente al caso \( a \) par. Eso es lo que digo y expongo de manera sucinta al tratar el supuesto \( a \) par, a fin de poner de manifiesto tal semejanza.
En el caso \( m \) par no se puede hacer lo mismo y debe ser demostrado con independencia de los otros dos supuestos.
El simbolo \( (b,(m-a)) \)es la notación corriente para "máximo común divisor" de \( b \) y \( m-a \).
Saludos y gracias por tu seguimiento.

[simpleimpar]

La notación correcta para el máximo común divisor de \( b \) y \( m-a \) no es \( (b,(m-a)) \) como le dije a aureodd en mi último mensaje, es la que está en el pdf que envié en mi primer mensaje, o sea \( (b,m-a) \) y análogamente para los demás mcd. Lamento estos fallos de notación cometidos en mis anteriores mensajes.
Saludos y mis mejores deseos para todos en 2019

[aureodd]

Hola.
Con respecto a la paridad de las tres variables que manejas y tratando con números enteros evitaría el caso de \( m \) par. Además para cuestiones sobre paridad, el signo no debería afectar.
Para la cuestion sobre la notación creo que sería mas claro si incluyeras algo del tipo \( mcd(b,m-a) \).
Donde aparece \( 4k+1 \) entiendo no es el mismo \( k \) que utilizas después. Es correcto?
Donde aparece \( \beta \) debería ser \( \beta_0 \)?
Revisando la página 2 del doc, y tomando por ejemplo \( n=3 \)
\( b^3=m^3-a^3=(m-a)(m^2+ma+a^2) \) 
y \(  b^3=2^3B^3 \) con \( b=2B \), \( B=CM \) y \( m-a=2^3M^3 \)
No se podría dar \( C^3=(m^2+ma+a^2) \)
Y según tu notación sería entonces \( k=1 \)?
Saludos

[simpleimpar]

Hola aureodd y demás foreros.
Como veo que se presta a confusión la notación que empleo, he hecho una revisión de todo el archivo y el resultado es un nuevo pdf que solo se diferencia del original en que utilizo solo símbolos en cursiva y no repito los mismos símbolos, es decir, si pongo \( a \) no utilizaré \( \mbox{a} \) en el documento para evitar confusiones en los mensajes.
Empleo la notación \( (a,b) \) para representar el mcd de \( a \) y \( b \) tal y como se hace comúnmente.
El k de 4k +1 y 4k - 1, representa un número que recorre los números naturales y no es el k de la fórmula (3') de aquí una posible confusión que he tratado de corregir en el nuevo documento pdf.
Para que \( \beta  \) sea igual a \( \beta_0 \) es preciso que \( P_0 \) sea igual a \( 2^\varphi \), ahora bien, la "gracia" de esta posible demostración está precisamente en que el mcd \( P_0 \) no es potencia de 2 y \( r \) es un impar mayor que 1. Lo mismo cabe decir de \( Q_0 \) y \( s \) y \( R_o \) y \( t \).
Hay que considerar el caso \( m \) par independientemente de los otros dos, porque si uno de los números de la terna solución es par, e impares los otros dos por consiguiente, se deben considerar los tres casos \( a \) par, \( b \)  par y \( m \) par. De hecho las formas de los impares \( m \)  y \( a \) para el caso \( b \) par y las de los impares \( m \) y \( b \) del caso \( a \) par son las mismas, mientras que en el caso  \( m \) par las formas de los impares \( a \) y \( b \) par son distintas.
Espero que con esta nueva versión las cosas queden más claras.
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 No he tenido mucho tiempo para mirar con calma tu propuesta.

 Pero a vuelapluma le veo un error de bulto; una afirmación gratuita (sin justificar y muy gruesa) que no entiendo de donde sale y que es clave en tu conclusión final.

 Dices en la página 2:

Para el impar \( k \) de (4) resultará, \( k=r^j \), e introduciendo este valor de \( k  \)en (3') será,

\( b^n/(m-a)=r^j\beta_0^n,\qquad\qquad (j=1,2,\ldots,n-1) \)

relación que debe ser cierta para todos los valores de \( j \) especificados, pues todos ellos determinan el carácter impar del número \( k \).

 Lo que me parece gratuito es lo que he marcado en rojo: que digas que esa relación es cierta para TODOS los valores de \( j \). De todo lo que has ido deduciendo aun admitiéndolo correcto (hay algunos errores, más sutiles) en todo caso se deduciría que esa igualdad es cierta par un valor concreto de \( j \). ¡Cómo va a ser cierta para TODOS los valores de \( j, \) si las variables implicadas son números fijos!.

Saludos.

[simpleimpar]

Hola Luis
Debe entenderse "para todos y cada uno de los valores de \( j \)"
No se si explicitando esto se puede resolver el error de bulto Tu me dirás.
Saludos.