Hola, simpleimpar.
Ya sé que la respuesta va dirigida a Luis, pero por comentar una cosa (si esto ya te lo hubiera comentado él en algún hilo, pues no me hagas ni caso).
La primera proposición dice, «Si “n” mayor que 2, el número \( (a^{3}+b^{3})^{1/n}
\) con “a,b” enteros positivos es irracional».
Bien. Entonoces, si al número ése le damos un nombre, por ejemplo, \( (a^{3}+b^{3})^{1/n}=c
\), que implica \( (a^{3}+b^{3})=c^{n}
\), con n= 3 la primera proposición ya demostraría por sí sola el caso particular n=3 (sin pensar en inducciones ni nada de lo que sigue). Supongo que de esa implicación te das cuenta, pues, si “a,b,c” fueran racionales
no enteros (
enteros o no) es fácil ver que implicaría que también existiera la igualdad para enteros; luego demostrando que alguno tiene que ser irracional por fuerza, ya estaría demostrado el caso.
Este caso, n=3, no es tan complicado ni mucho menos como el caso general, pero las demostraciones existentes para él tampoco es que sean unas simplezas. ¿Has probado primero a intentar este caso paritcular? Simplmente supondría escribir 3 en vez de “n” e intentar demostrar la misma proposición que haces.
Aquí en el foro ha habido muchos intentos del caso n=3 (yo mismo lo intenté una vez) y nadie ha conseguido una demostración distinta de las que ya existen. Sí que se ha conseguido con el caso n=4, que es más sencillo. Si lo lograras sería todo un éxito (un éxito en el foro, no para salir en la tele).
Y si, además, consiguieras que fuera una demostración muy sencilla y corta, a lo mejor hasta sí alcanzaría popularidad más allá del foro.
*Un apunte para que se vea lo fácil que es meter la pata al hablar y decir cosas ilógicas sin querer, cosas que no tienen por qué ser verdad (en lo cual soy un maestro)Spoiler
Digo en ahí arriba:
«si “a,b,c” fueran racionales es fácil ver que implicaría que también existiera la igualdad para enteros; luego demostrando que alguno tiene que ser irracional por fuerza, ya estaría demostrado el caso»
Aunque es cierto que eso ocurre, no es verdad por lo que he dicho, no está ahí la razón (no debería haber usado la palabra “luego” sin que le siga una coma) pues sí es cierto (porque digo directamente que es algo sabido) que siempre, en todos los casos en que los tres fueran racionales, existirán tres enteros, pero la consecuencia que saco después, ésta, “luego demostrando que alguno tiene que ser irracional por fuerza, ya estaría demostrado el caso”, no tiene por qué ser verdad; es verdad por una definición que no menciono, por la propiedad de cerradura, que consiste en que la suma o resta de dos racionales da siempre otro racional, no puede dar un irracional:
Para enteros a,b,c,d distintos de cero \( \dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad+cb}{bd}
\): debajo tenemos bd, y el producto de enteros también da un entero por definición; como la suma de enteros también es cerrada, igualmente será entero el numerador y, por tanto, la suma de dos racionales es otro racional.
Bueno, digo “por fuerza”, ahora que lo veo, entonces sí estoy diciendo que no existiría otra posibilidad, pero si no dejara claro eso, no (es que me fío muy poco de lo que digo y ya hasta me desdigo)
Saludos.
