[David MS]

Buenas a todos

Me gustaría saber si que el baricentro, circuncentro y ortocentro de un triángulo coincidan en un mismo punto es condición NECESARIA y SUFICIENTE para que un triángulo sea equilátero.

Supongo que en caso afirmativo existirá algún teorema que lo confirme.

Se que el recíproco es cierto, pero desconozco si se trata de una doble implicación.

[ancape]

Buenas a todos

Me gustaría saber si que el baricentro, circuncentro y ortocentro de un triángulo coincidan en un mismo punto es condición NECESARIA y SUFICIENTE para que un triángulo sea equilátero.

Supongo que en caso afirmativo existirá algún teorema que lo confirme.

Se que el recíproco es cierto, pero desconozco si se trata de una doble implicación.

Hola David MS. Bienvenido al foro

Basta que Baricentro y Ortocentro coincidan para que el triángulo sea equilátero. Supongo que también será cierto para cualquier par de centros.

Mira la figura adjunta. Si \( AB \) es uno de los lados, el punto \( E \) Baricentro y Ortocentro a la vez tiene que estar en la mediatriz de \( AB \). El tercer vértice \( D \) estará sobre tal mediatriz de forma que \( E \) quede situado a \( 1/3 \) de la base y \( 2/3 \) del vértice, esto es \( ED=2EC \). La recta \( AE \) debe ser perpendicular al lado \( DB \) y como  \( Sin\widehat{(DEF)}=1/2 \) tendremos \( \widehat{DEF}=60º \), \( \widehat{CDB}=30º \) y el triángulo \( ABD \) es equilátero.
                                                             
Saludos

[David MS]

Muchas gracias!!

En cualquier triángulo se cumple que la distancia del baricentro al ortocentro es el doble que la distancia del baricentro al circuncentro. Por tanto si dos de los tres coinciden el tercero también coincide.

Concluimos pues que si cualquier par de puntos (baricentro, circuncentro y ortocentro) coinciden, el triángulo ha de ser equilatero.

De nuevo, muchas gracias!!