[petras]

En un triángulo \( ABC  \) existe un ángulo \( ACB  \) que es el doble del ángulo \( BAC \). Se construye un triángulo \( ABP \), rectangular en \( B \), con \( P  \) fuera del triángulo \( ABC \), de modo que \( CP  \) corta a \( AB \), si \( PÂB  \) es la mitad del ángulo \( ACB  \) y \( AP = 12 \). ¿Cuál es el valor del segmento \( BC \)? (R:\( 6 \))

[Luis Fuentes]

Hola

En un triángulo \( ABC  \) existe un ángulo \( ACB  \) que es el doble del ángulo \( BAC \). Se construye un triángulo \( ABP \), rectangular en \( B \), con \( P  \) fuera del triángulo \( ABC \), de modo que \( CP  \) corta a \( AB \), si \( PÂB  \) es la mitad del ángulo \( ACB  \) y \( AP = 12 \). ¿Cuál es el valor del segmento \( BC \)? (R:\( 6 \))

En el triángulo rectángulo \( ABP \), \( AB=AP\cdot cos(a) \).

En el triángulo \( ABC \) por el Teorema de los Senos:

\( \dfrac{AB}{sin(2a)}=\dfrac{BC}{sin(a)} \)

De donde:

\( BC=\dfrac{AB\cdot sin(a)}{sin(2a)}=\dfrac{AP\cdot cos(a)\cdot sin(a)}{2sin(a)cos(a)}=\dfrac{AP}{2} \)

Saludos.

[Pie]

Llamando \( \alpha \) al ángulo \( \angle BAC = \angle BAP \) se tiene:

\( \angle ACB = 2\alpha \)
\( \angle APB = 90^o - \alpha \)

Entonces por el teorema del seno:

\[ \dfrac{BC}{\sin(\alpha)} = \dfrac{AB}{\sin(2\alpha)} \]

Por otro lado:

\[ AB = 12 \sin(90^o-\alpha) \]

Por tanto:

\[ \dfrac{BC}{\sin(\alpha)} = \dfrac{12\sin(90^o-\alpha)}{\sin(2\alpha)} \Rightarrow{} \]

\[ BC = \dfrac{12\sin(\alpha)\sin(90^o-\alpha)}{\sin(2\alpha)} = \dfrac{12\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\sin(2\alpha)} = \dfrac{6\sin(2\alpha)}{\sin(2\alpha)} = 6 \]

Saludos.

Se adelantó Luis.

[petras]

Hola

En un triángulo \( ABC  \) existe un ángulo \( ACB  \) que es el doble del ángulo \( BAC \). Se construye un triángulo \( ABP \), rectangular en \( B \), con \( P  \) fuera del triángulo \( ABC \), de modo que \( CP  \) corta a \( AB \), si \( PÂB  \) es la mitad del ángulo \( ACB  \) y \( AP = 12 \). ¿Cuál es el valor del segmento \( BC \)? (R:\( 6 \))

En el triángulo rectángulo \( ABP \), \( AB=AP\cdot cos(a) \).

En el triángulo \( ABC \) por el Teorema de los Senos:

\( \dfrac{AB}{sin(2a)}=\dfrac{BC}{sin(a)} \)

De donde:

\( BC=\dfrac{AB\cdot sin(a)}{sin(2a)}=\dfrac{AP\cdot cos(a)\cdot sin(a)}{2sin(a)cos(a)}=\dfrac{AP}{2} \)

Saludos.

Grato

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Otra forma sólo midiendo ángulos y con algún trazo auxiliar. La descripción se ve en el propio dibujo avanzando en la barra de construcción:


Saludos.

[Pie]

Hola

 Otra forma sólo midiendo ángulos y con algún trazo auxiliar. La descripción se ve en el propio dibujo avanzando en la barra de construcción:


Saludos.

 

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

Saludos

[petras]

Hola

 Otra forma sólo midiendo ángulos y con algún trazo auxiliar. La descripción se ve en el propio dibujo avanzando en la barra de construcción:


Saludos.

Grato

Saludos