[thadeu]

Hola a todos
El siguiente hecho lo ví en una solución de ecuaciones pero sin una prueba rigurosa
Simplemente se limitan a decir "una función convexa tiene como máximo dos soluciones"
Es por ello que les comparto mi inquietud.
Y conocer los diferentes puntos de vista para demostrarlo.
Sea $$f(x)$$  una función de variable real continua,derivable y convexa
Pruebe que $$f(x)$$ tiene a lo sumo dos raices reales

[Masacroso]

Hola a todos
El siguiente hecho lo ví en una solución de ecuaciones pero sin una prueba rigurosa
Simplemente se limitan a decir "una función convexa tiene como máximo dos soluciones"
Es por ello que les comparto mi inquietud.
Y conocer los diferentes puntos de vista para demostrarlo.
Sea $$f(x)$$  una función de variable real continua,derivable y convexa
Pruebe que $$f(x)$$ tiene a lo sumo dos raices reales

El teorema es falso para funciones convexas, sean diferenciables o no. Por ejemplo dos funciones convexas diferenciables con infinitas raíces son \( f(x)=0 \) y

\( \displaystyle{
g(x)=\begin{cases}
x^2,& x\geqslant 0\\
0,& x<0
\end{cases}
} \)

Sin embargo el teorema es cierto para funciones estrictamente convexas, aunque la demostración es algo tediosa y larga de escribir, aunque se simplifica un poco el caso en que la función es diferenciable, en ese caso se cumple que una función es estrictamente convexa si y solo si su función derivada es estrictamente creciente, y por tanto la derivada tiene, a lo sumo, una raíz, lo que implica que la función original tiene a lo sumo un mínimo absoluto de donde se sigue que, a lo sumo, tiene dos raíces.

[thadeu]

Hola Masacroso
Gracias por tu respuesta la verdad me ha hecho ver con más claridad el asunto.
Mi prueba no es tediosa es algo simple, mas tarde con calma lo escribo a ver que te parece.
Pero no me habia percatado lo de convexidad estricta muchas gracias por hacerlo notar y la verdad me gustaria ver  tu solución.

[Luis Fuentes]

Hola
 
 Simplemente si tenemos tres raíces \( x_1<x_2<x_3 \) por definición de estrictamente convexa, la función estaría en el intervalo \( ]x_1,x_3[ \) estrictamente por debajo del segmento que une los puntos \( (x_1,0) \) y \( (x_3,0) \) y por tanto es imposible que \( x_2 \) sea otra raíz.

Saludos.

[Masacroso]

Hola
 
 Simplemente si tenemos tres raíces \( x_1<x_2<x_3 \) por definición de estrictamente convexa, la función estaría en el intervalo \( ]x_1,x_3[ \) estrictamente por debajo del segmento que une los puntos \( (x_1,0) \) y \( (x_3,0) \) y por tanto es imposible que \( x_2 \) sea otra raíz.

Saludos.

¡Una demostración muy simple y elegante! 

[thadeu]

Trabajaremos bajo la condición de que $$(x)$$ es estrictamente convexa
Supongamos que $$f(x)$$ tiene más de dos raices
Sean $$a_1<a_2<...<a_n$$ dichas raices  donde n es un natural mayor de dos
Entonces se cumple que
$$f(a_1)=f(a_2)=...f(a_n)=0$$
Escojemos tres raices spdg $$a_1<a_2<a_3$$
Entonces como
$$f(x)$$ es continua en los intervalos $$[a_1,a_2]$$ y $$[a_2,a_3]$$
Es diferenciable en dichos intervalos abiertos
Además
$$f(a_1)=f(a_2)=f(a_3)=0$$
Entonces por el Teorema de Rolle
Existen
 $$c_1$$ en $$(a_1,a_2)$$
y
$$c_2$$ en $$(a_2,a_3)$$
Tales que
$$f^{\prime}(c_1)=f^{\prime}(c_2)=0$$

Pero por otro lado
La convexidad de f implica que

$$f^{\prime}(x)$$  es creciente por lo tanto

$$f^{\prime}(c_1)<f^{\prime}(c_2)$$
lo que contradice el Teorema de Rolle

 

[Masacroso]

Trabajaremos bajo la condición de que $$(x)$$ es estrictamente convexa
Supongamos que $$f(x)$$ tiene más de dos raices
Sean $$a_1<a_2<...<a_n$$ dichas raices  donde n es un natural mayor de dos
Entonces se cumple que
$$f(a_1)=f(a_2)=...f(a_n)=0$$
Escojemos tres raices spdg $$a_1<a_2<a_3$$
Entonces como
$$f(x)$$ es continua en los intervalos $$[a_1,a_2]$$ y $$[a_2,a_3]$$
Es diferenciable en dichos intervalos abiertos
Además
$$f(a_1)=f(a_2)=f(a_3)=0$$
Entonces por el Teorema de Rolle
Existen
 $$c_1$$ en $$(a_1,a_2)$$
y
$$c_2$$ en $$(a_2,a_3)$$
Tales que
$$f^{\prime}(c_1)=f^{\prime}(c_2)=0$$

Pero por otro lado
La convexidad estricta de f implica que

$$f^{\prime}(x)$$  es estrictamente creciente por lo tanto

$$f^{\prime}(c_1)<f^{\prime}(c_2)$$
lo que contradice el Teorema de Rolle

 

Está esencialmente correcta la demostración, aunque entiendo que has olvidado poner lo puesto en verde, aunque es evidente que estás asumiendo que \( f' \) es estrictamente creciente. Ten en cuenta que el término "creciente" a secas se suele entender como la condición de que \( x<y\implies f(x)\leqslant f(y) \).

[thadeu]

Muchas gracias Masacroso y Luis
Me gusta intercambiar soluciones por que considero que de ello he aprendido lo poquito que sé.
Gracias por su tiempo y observaciones es invaluable lo que me sirve ello.
Cualquier duda o inquetud que tenga lo estare escribiendo en el grupo.
Saludos.