Insisto en que estoy de acuerdo con el planteamiento, pero si no existiera forma de demostrar (que estoy seguro de que tiene que existir) que la diagonal SIN RETOCAR de TODOS los listados de Q es NECESARIAMENTE un irracional, sin recurrir al argumento de la propia naturaleza numerable de Q, al menos para mí resultaría algo insatisfactorio.
Pedro, si hablas de "la diagonal sin retocar de los
listados de Q" estas suponiendo la numerabilidad de Q, puesto que el hecho de que
exista un listado de cierto conjunto no es mas que la forma coloquial de decir que ese conjunto es numerable.
No sé si lo que sucederá es que malinterpretas el argumento diagonal, que es muy conciso y en ningún momento se expide sobre la 'diagonal sin retocar': dice que si puedes listar un conjunto de números entre 0 y 1 -o sea, el conjunto es numerable- entonces te puedes construir otro número entre 0 y 1 que seguro no está en el listado. Eso demuestra que el conjunto de todos los números (reales) entre 0 y 1 no es numerable.
Como subproducto de ese resultado y con un pequeño razonamiento más, sale el ejercicio 3 que propone Narun: si listas los racionales entre cero y uno y tomas 'la diagonal in retocar' también de ahi resulta un irracional. Pero esto es una curiosidad, no es parte de lo que se llama normalmente el 'argumento diagonal de Cantor'.
Ten en cuenta que este argumento de Cantor no demuestra que los racionales sean numerables, eso recibe otras demostraciones: Los racionales sí se pueden listar y los racionales que están entre 0 y 1 también, de eso hay muchas diferentes demostraciones constructivas que no dejan dudas (tu mismo las mencionas, pero si dudas de ellas podemos discutir alguna).
Si puedo contestar SI a esta pregunta, de la misma o similar manera que se llega a la conclusión de que la diagonal SIN RETOCAR debe contener los 10 dígitos del sistema decimal (es decir sin pronunciarme previamente sobre si los racionales son enumerables o no lo son), entonces uniendo ambas conclusiones puedo llegar también a la conclusión de que la diagonal RETOCADA también necesariamente es un irracional [...]
No entiendo por qué quieres razonar en ese orden: es mucho mas fácil ver directamente que la 'diagonal retocada' de un listado de Q no está en Q (es irracional) con el argumento clásico... ¿porqué razonar indirectamente?.
[...], ya que si modifico todas y cada una de las cifras de un irracional que contiene todas los dígitos del sistema decimal, el resultado es necesariamente un irracional, [...]
Pero esto no es cierto. Por contraejemplo piensa primero en un irracional cuya escritura decimal use infinitas veces todos los dígitos decimales menos el 1 (para fijar ideas, suponte que comienza, 0,023456789077... pero no es difícil construir uno). Ahora insértale 1 en todas las posiciones pares (quedaría algo como 0,1012131415161718191017171... no es difícil demostrar que este número también es irracional si el otro lo era. Ahora, ahí tienes "un irracional que contiene todos los dígitos del sistema decimal", modifiquemos todas las cifras de la siguiente manera: transforma los 1 en ceros y todas las posiciones impares en unos: queda 0,010101...=1/99 que es racional.
...con lo que habríamos llegado por un razonamiento independiente de la naturaleza numerable de los Q, a la conclusión de que que el planteamiento de Cantor TAMBIÉN se puede aplicar con coherencia a los racionales, ya que la conclusión es que puesto que la diagonal retocada de cualquier listado completo de los Q, obtenida por el método de Cantor, no puede estar en el listado.
Como te digo mas arriba, para utilizar elargumento diagonal tienes que suponer ya (y ya está demostrado) que Q es numerable: es que sólo se pueden 'listar' los conjuntos numerables.
Espero que esto te aclare el asunto.
