Problemita Olímpico:
En cierto idioma, el alfabeto consta únicamente de dos letras: A y B. Una palabra es “periódica” si es del tipo  PPP….P, siendo P una palabra.
Por ejemplo: ABAABAABAABA, es de tipo PPPP  con P = ABA
Se forma la siguiente sucesión de palabras:
•   La primera palabra es A y la segunda  palabra es B
•   Para cada k > 2, la palabra k se forma escribiendo la palabra k-1 a la derecha de la palabra k-2
Así, las primeras serían: A ; B; AB ; BAB; ABBAB;….

¿Hay en esa sucesión alguna palabra “periódica”?

(no sé si éste es el sitio donde colgar el problema, pero me pareció curioso)

Una tontería más relacionada con este problema.....

¿Qué sucede en el caso general con "n" variables?

¿En cuántos puntos se alcanza el máximo?

La "función" con la que trabajamos es continua y está definida en un compacto, por tanto alcanza su máximo.
Creo recordar que, como además es derivable, si se alcanzase en el interior, su gradiente se anularía en dicho punto y me parece que esto sucede en xj=1/2 para todo j. Pero ahí, f = 25  (Fue la primera y contundente respuesta) y sabemos que toma valores superiores e inferiores (Porque se han dado varios ejemplos).
Por tanto, el máximo se alcanza en la frontera (La cual queda determinada por "cosas" del tipo xj=0 ó xj=1.

Pues bién, la idea es empezar probando que de hecho en x1=0 hay un punto de máximo.   

Muchas gracias Teeteto. Es cierto que no lo necesito pero mi cabeza lo primero que hizo fue ver que f(0) = 0 y supongo que, por no hacer trabajo baldío, después sintió la necesidad de usar ese dato.( Mi cabeza suele elegir caminos demasiado extraños)

En otro orden de cosas, no sé si ya todos resolvieron los 5 problemas, pero ahí va una "pista" para el segundo. Probar primero que hay dos subconjuntos que suman lo mismo. (Es decir, olvidarse de que sean disjuntos)

Y tal vez una para el tercero (Que creía que ya había escrito): ¿En cuantos números aparece por ejemplo un 1 en las unidades? ¿Y en cuántas un 2?

Una observación:
Es sencillo ver que f(0) = 0. D Con esto, si ya probaste que f es monótona no necesitas derivar, ya que se obtiene "facilmente" una contradicción.

No sé si esto es una pista o más bien despista, pero depués de vender la cesta ¿Qué parte del total son huevos de pato?

¿Qué cestas pueden venderse entonces para que esa "división" tenga sentido?

Sí es una buena aproximación. Además, la misma le sirve en la luna o dando vueltas al ecuador de una naranja. ¿No?  (Estamos aproximando la diferencia de distancias)

Y para terminar, después de desbarrar con los dibujitos, efectivamente se puede 2-colorear. ¿Cómo? siguiendo las indicaciones dadas por Champion9999 justo al principio. ¿Dónde queda pués el entretenimiento?, en probar que

...Como en cada vértice confluyen una cantidad par de estados, dos vecinos de E no son vecinos entre si...

Para probarlo, supóngase que E, A y B son vecinos entre sí. Constrúyase un camino simple cerrado que pase por los tres y atraviese exactamente tres aristas y tendremos un subgrafo (dentro de la curva) que tiene exactamente 3 vértices de grado impar, o tal vez 1 vértice de grado impar, o, en el caso más "degenerado", encontraremos un vértice de G con grado impar.

Los dos primeros casos no son posibles y el tercero contradice las condiciones iniciales de G.

Cierto Juana!!

Esas son las dos soluciones. En el archivo adjunto añado lo que pasé por alto

Aquí va un intento para los números borrados de Pablo.