No sé si estas indicaciones te ayudarán o te despistarán, pero se me ocurre lo siguiente: Si f(x) es la continua, entonces existe  \( f(b)=\lim_{x \to {b}}{f(x)}=c \)  y si g(x) es igual a f pero no continua en "b", entonces, \( c=f(b)=\lim_{x \to {b}}{f(x)}=\lim_{x \to {b}}{g(x)}\neq{g(b)}=k \)  (porque "g" está definida en "b")

Pues bien, si elegimos una partición del intervalo, las sumas superiores e inferiores de f y de g sólo se van a diferenciar por el intervalo que contiene a "b".

Una forma de atacar puede ser la siguiente:
Toma la función (g-f) y comprueba que es integrable Riemann y calcuila su integral (las sumas superiores e inferiores resultan muy sencillas.
Como f también lo es, entonces la suma de ambas debe serlo y por tanto........

Como siempre, había cometido un error

Seguiré intentándolo

Gracias Nineliv

Podríamos aprovechar que las abcisas "avanzan" de 1 en 1 para "buscar regularidades" en la secuencia de ordenadas. (¿Cómo varía la secuencia 2, 5, 8, 11, 14....?)
Pero si estos "ensayos y errores" no dan buenos frutos, podemos "pintar los puntos en el plano" y, aunque no sea del todo correcto, unirlos mediante una curva. De este modo, aparecerán los gráficos de funciones que seguramente nos resulten "familiares".

Un saludo

Hola Carlos:
No quiera el azar que tu primer corte sea por ejemplo la décima parte de la vara (que es efectivamente menor que la mitad) y tu segundo corte deje un pedazo que sea la novena parte de la pieza restante ya que tu fortuna se vería menguada en un euro.

Un saludo

Puede parecer "una tontería" pero no lo es: Aunque la forma de razonar es correcta, los intervalos de crecimiento y decrecimiento no están bien. Recuerda que al determinar el dominio aparecen "dos puntos molestos" (Esto hace que la respuesta "se parezca", pero es distinta)

Por otro lado, como la función es perfectamente derivable en todo su dominio, los (el) mínimos o máximos relativos los encuentras "igualando la derivada a cero.
Como solo obtienes un punto, será suficiente analizar el "crecimiento" alrededor de dicho punto para ver si es mínimo o máximo. (o bien, analizar las derivadas sucesivas como indica Leonardog

Saludos

Hola Juana:
Para poder comparar, ¿podrías "subir" tus dibujos y desigualdades?
Lo que yo obtengo es P = 0,25 (Haciendo el cociente de áreas que dijiste antes)

Para hacer el dibujo, yo distingo dos casos (que resultan muy simétricos)

Primero: \( y \geq{}x \)

0|_________x____________y____________________|1

Los tres segmentos miden por tanto  \( x ; (y-x) ; (1-y) \)

Con estos tres segmentos, construimos las tres desigualdades que han de verificarse simultaneamente (unidas a \( y \geq{}x \))

Después, "pintamos las rectas asociadas a las desigualdades" y la "intersección de los semiplanos que correspondan". El resultado que obtengo es un "triangulito" dentro del cuadrado de lado 1.

El otro caso \( x \geq{}y \) es simétrico respecto de la recta  \( y = x \) (bisectriz del primer cuadrante)

¿Tu has hecho algo similar u otra cosa distinta?

En cualquier caso, espero que te sirva.
Sería bueno que "colgaras" tus esquemas. (Y si quieres, yo los mios para comparar, discutir, etc...)

Lo dicho, saludos.

Hola Juana
Para no hacer "tripodología felina", aclararé primero que estoy intentando formar triángulos cuyos lados son los segmentos de marras.

Ahora, para "graficar el problema" podemos ver primero lo siguiente:

Nuestro "espacio muestral" va a estar compuesto por cualquier par de puntos "x" e "y" del intervalo [0,1] (Ya que eligiendo 2 puntos tenemos los tres trozos. Es decir, lo que en los casos discretos serían los "casos posibles" en este son el conjunto de puntos (x,y) del cuadrado \( \[\begin{array} 0, & 1 \end{array}\] \) x \( \[\begin{array} 0, & 1 \end{array}\] \) (Mejor, dibujito en el plano cartesiano).

Por otro lado, las desigualdades que tenías te describen el conjunto de "casos favorables"

Para empezar a graficar, representemos la/s  región/ones que describen las desigualdades.

Espero que te sirva de ayuda

Un saludo

Insisto en que estoy de acuerdo con el planteamiento, pero si no existiera forma de demostrar (que estoy seguro de que tiene que existir) que la diagonal SIN RETOCAR de TODOS los listados de Q es NECESARIAMENTE un irracional, sin recurrir al argumento de la propia naturaleza numerable de Q, al menos para mí resultaría algo insatisfactorio.

¿Cómo podemos "listar" los racionales sin suponer que son numerables?. Si los tienes TODOS preparados en una lista de forma que puedas construir algo a lo que llamar diagonal, entonces estás usando su numerabilidad.
Si primero quieres ver que son numerables, entonces no puedes usar ningún "listado" para comenzar (ya que estarías usando precisamente lo que quieres demostrar, y esto no tiene sentido)
Por tanto, no puedes "hacer un listado de todos" sin haber probado previamente (o al menos supuesto) la numerabilidad de Q (o de lo que sea).

Sin usar ese hecho no podrías asegurar que los estás listando todos. Y si no están todos, entonces nada puedes decir de la naturaleza de la diagonal. Ni de la retocada ni de la "sin-retocar". (De hecho, si no exigimos que estén todos, podemos construir listados en los que la diagonal sea lo que nos de la gana, y lo único que podremos seguir manteniendo es que la retocada no estaba en nuestra lista original)

Nota: Como dice Leon, lo que dije de la irracionalidad de la diagonal no tiene nada que ver con el argumento de Cantor. Simplemente lo puse porque me parecía que dentro de este, se desgajaba otro hilo sobre lo que sucede al cambiár todos los dígitos de un irracional (si resultaba otro irracional siempre, o nunca, o a veces.....) Por eso lo de los ejercicios 3 y 4. Como ya se había visto que algunos si se pueden "transformar" en un racional, estos dos ejercicios concluyen que no siempre. Pero en fin, eso es otra canción.

Saludos

Yo lo veo así:
Por un lado tenemos un resultado que nos asegura que todo racional tiene una expresión decimal "periódica" (Incluye anteperiodos y periodo "cero")
Por otro, tenemos un resultado que nos asegura que los racionales se pueden colocar en un "listado infinito". De hecho, lo hace dando una forma de colocarlos (Usando la expresión como "cociente de enteros")
Después está claro que teniendo una, podemos "reordenarla" de un montón de formas y seguiremos teniendo listados todos los números. Cada reordenación podrá expresarse de múltiples maneras (En forma de cociente, en forma decimal, como solución de distintas ecuaciones, en chino, en gallego...)
¿Existen otras maneras de ordenarlos que sean tan sencillas de describir como la inicial? Pues eso depende. Por ejemplo no se pueden ordenar de modo que la correspondiente diagonal (si lo escribimos en forma decimal) esté compuesta sólo por ceros. (Ejercicio: ¿Por qué?)
De hecho, lo anterior nos lleva a concluir que dado un listado de los racionales (el que sea), podemos asegurar que en su diagonal están todos los dígitos del cero al 9 (en sistema decimal)

Además, yo creo (en contra de lo que sugiere pedrovega) que nada te obliga a colocar los racionales según el famoso criterio "zigzagueante". Símplemente, elige una colocación (sabemos que se puede y que al menos existe una), después exprésala en el "idioma" apropiado (base decimal) y por último juega con su diagonal.

Por otro lado, el argumento tampoco habla de "la naturaleza de la diagonal", sino de la "diagonal retocada" ya que es ésta la que podemos asegurar que no está en nuestro listado por haber modificado todos y cada uno de sus dígitos.

Es decir, se tiene lo siguiente:
Ejercicio 2:
Dada una "colocación" cualquiera de los racionales, y su correspondiente expresión decimal, el número que se obtiene al modificar todos y cada uno de los dígitos de la diagonal (espero que esto no requiera más precisión) es necesariamente irracional.

Ejercicio 3: La naturaleza de "la diagonal decimal" de cualquier colocación de los racionales (sin retocar) es irracional

Ejercicio 4: Existen irracionales que tienen todos los dígitos en su expresión decimal y tales que si se modifican todos los dígitos de dicha expresión decimal, el número obtenido es también írracional

Un saludo

Otro programa bastante atractivo de esos que llaman "de geometría dinámica" es Cinderella. (Y pasa lo mismo que con Cabri, es de pago pero .....)

Si sólo se quiere pintar triángulos con "angulos concretos" eso lo hacen programas como Photoshop y otros similares y para "medir ángulos" puedes usar programas como "Corel Draw". Supongo que la variedad será enorme.

¿Has probado a buscar en Google o algo así?