[Michel]

En una circunferencia de centro O sean AB = 2r un diámetro y OC el radio perpendicular a AB. M es el punto medio del arco AC y MN la cuerda paralela a AB. MN y MB cortan a OC respectivamente en H y en P.
1º Demostrar que el triángulo MPC es isósceles y que los tres puntos A, P y C pertenecen a una circunferencia cuyo centro se pide.
2º Deducir que CM es la media proporcional de CP y CO.
3º ¿Qué clase de triángulo es el OMH?

[Michel]

1º Por ser inscrito, áng CMP=(arc CB)/2=45º

Por ser inscrito, áng MCP=(arc MA+arc AC')/2=135º/2

Por ser interior, áng MPC=(arc MC+arc BC')/2=135º/2

Por tanto, el triángulo MPC  es isósceles, con MC=MP.

Como los tres segmentos MC, MP y MA son iguales, los puntos A, P y C equidistan del punto M y, por tanto, están en una circunferencia de centro M.

2º Los triángulos MPC y OMC son isósceles y tienen un ángulo de 45º, luego son semejantes:

\( \frac{CM}{CP}=\frac{CO}{CM}\Rightarrow{CM^2=CP.CO} \)

3º El triángulo rectángulo OMH tiene ángulos agudos de 45º, luego es isósceles y HM=HO.