[mapa]

Hola! Tengo un ejercicio que no he logrado demostrar. Dice: Sea A un dominio entero.  Pruebe que A es dominio de factorización única si, y sólo si cada ideal principal no trivial de A es el producto de un número finito de ideales principales maximales,  y estos ideales son únicos salvo el orden en el que aparezcan.

Para la suficiencia sé que para probar que A es dominio de factorización única debo tomar cualquier \( x\in{A}-\{0\} \) no unidad y verificar que éste se expresa como un producto finito de elementos irreducibles donde la descomposición es única salvo orden y asociados. Considero I=<x> es ideal principal no trivial de A y por ello usando la hipótesis se escribe como \( I=\displaystyle\prod_{k=1}^{k=n}{I_{k}} \) con cada \( I_{k} \) ideal principal maximal. Por ser principales son generados por un único elemento, digamos \( I_{k}=<a_k> \) luego \( <x>=<a_1>\ldots<a_k> \)

Me podrían apoyar para continuar con el resto de la demostración por favor?

[Luis Fuentes]

Hola

 Continúa deduciendo que \( x=ua_1a_2\ldots a_k \) donde u es una unidad.

Saludos.

[mapa]

Gracias!
Entonces tendría que \( x\in{<x>} \) luego \( x\in{<a_i>}\Rightarrow{x=a_i^{n_i}=a_i^{n_i-1}a_i} \) pero \( a_i^{n_i-1} \) es invertible. De aquí obtendría entonces la expresión que mencionas considerando la unidad como el producto \( u=\displaystyle\prod_{i=1}^{i=k}{}a_i^{n_i-1} \) Como los ideales son maximales entonces son ideales primos y por ello cada \( a_i \) es primo; pero ser elemento primo implica ser elemento irreducible y concluyo. Es correcto? ...

Todavía no sé cómo mostrar la suficiencia, supongo que A es Dominio de factorización única entonces todo elemento no cero y no unidad se expresa como \( x=ua_1\ldots a_k \) con u unidad y los demás factores son elementos irreducibles. Luego considero el ideal <x>  el cual es ideal principal no trivial de A, tengo que es producto de un número finito de ideales principales;  pero qué me asegura que son maximales?

[EnRlquE]

Hola mapa.

 Estoy asumiendo que al anillo \( A \) en el que trabajamos es conmutativo. Recuerda que se tenemos un ideal principal \( (y), \) entonces \( (y)=\{ay:\,a\in A\}. \) Luego si \( (x)=(a_{1})(a_{2})\dots(a_{k}) \) tenemos que \( x\in(a_{1})\dots(a_{k}). \) Esto quiere decir que existen \( b_{1},\dots,b_{k}\in A \) tales que

\( x=b_{1}a_{1}b_{2}a_{2}\dots b_{k}a_{k}=(b_{1}b_{2}\dots b_{k})a_{1}a_{2}\dots a_{k}. \)

 Por otro lado, \( a_{1}a_{2}\dots a_{k}\in (x), \) luego existe \( b\in A \) tal que \( a_{1}\dots a_{k}=bx. \) Reemplazando esto en lo anterior, deducimos que \( x=(b_{1}\dots b_{k})bx. \) De donde, usando que \( A \) es un dominio entero, podemos concluir que \( b_{1}\dots b_{k} \) es una unidad.

 Trata de continuar y si tienes dudas, pregunta.

Saludos,

Enrique.

[mapa]

Muchas gracias Enrique!  Ahora veo cuál es la forma correcta de deducir la expresión que me mencionaba el_manco y a partir de ahí uso que

 Trata de continuar y si tienes dudas, pregunta.

Saludos,

Enrique.

Sí.  Muchas gracias Enrique!  La recíproca (suficiencia) aún no logro mostrarla. Me podrían orientar por favor?  Tenía que al suponer que A es Dominio de factorización única entonces todo elemento no cero y no unidad se expresa como \( x=a_1\ldots a_k \) donde cada uno de los factores son elementos irreducibles
 

Luego considero el ideal <x>  el cual es ideal principal no trivial de A, tengo que es producto de un número finito de ideales principales;  pero qué me asegura que son maximales?

En cuanto a la necesidad,  continuo a partir de lo que has desarrollado en el mensaje anterior
uso que

Como los ideales son maximales entonces son ideales primos y por ello cada \( a_i \) es primo; pero en un dominio entero ser elemento primo implica ser elemento irreducible y concluyo. Es correcto? ...

[EnRlquE]

Hola.

 Siento la tardanza, estos días ando algo corto de tiempo. Me parece que tus dudas son más bien conceptuales o de entender qué es lo que se trata de probar, así que trataré de responderte rápidamente y si tienes más dudas, pregunta. Por cierto, parece que estás confundiendo necesidad con suficiencia y viceversa.

 Sobre esto:

En cuanto a la necesidad,  continuo a partir de lo que has desarrollado en el mensaje anterior
uso que

Como los ideales son maximales entonces son ideales primos y por ello cada \( a_i \) es primo; pero en un dominio entero ser elemento primo implica ser elemento irreducible y concluyo. Es correcto? ...

Está bien, pero para probar que se trata de un dominio de factorización única (DFU) todavía hace falta probar que la factorización es única.

 Sobre tu primera duda, suponiendo que \( A \) es un DFU, lo que hay que probar es que cada ideal principal, digamos \( (x) \), es el producto de ideales principales maximales. Para esto, a partir de la descomposición (de la definición de DFU) \( x=ua_{1}\dots a_{k} \) trata de probar que \( (x)=(a_{1})(a_{2})\dots(a_{k}) \) donde cada \( (a_{k}) \) es maximal.

Saludos,

Enrique.

[mapa]

Hola.

 Siento la tardanza, estos días ando algo corto de tiempo.

No te preocupes Enrique,  al contrario te agradezco por tomarte el tiempo para responderme.

Me parece que tus dudas son más bien conceptuales o de entender qué es lo que se trata de probar, así que trataré de responderte rápidamente y si tienes más dudas, pregunta. Por cierto, parece que estás confundiendo necesidad con suficiencia y viceversa.

 Sobre esto:

En cuanto a la necesidad,  continuo a partir de lo que has desarrollado en el mensaje anterior
uso que

Como los ideales son maximales entonces son ideales primos y por ello cada \( a_i \) es primo; pero en un dominio entero ser elemento primo implica ser elemento irreducible y concluyo. Es correcto? ...

Está bien, pero para probar que se trata de un dominio de factorización única (DFU) todavía hace falta probar que la factorización es única.

 Sobre tu primera duda, suponiendo que \( A \) es un DFU, lo que hay que probar es que cada ideal principal, digamos \( (x) \), es el producto de ideales principales maximales. Para esto, a partir de la descomposición (de la definición de DFU) \( x=ua_{1}\dots a_{k} \) trata de probar que \( (x)=(a_{1})(a_{2})\dots(a_{k}) \) donde cada \( (a_{k}) \) es maximal.

Saludos,

Enrique.

Gracias por las explicaciones! Necesito  tomarme un tiempo más de reflexión porque ando algo confundida aún, creo que es porque no he descansado bien. Tal vez mas adelante me de cuenta de que le he dado vueltas a un asunto que no es tan complicado como me ha sucedido en varias ocasiones; pero sino ya estaré molestando de nuevo con mas preguntas.