Sea \( I=[a,b] \) Probar que una condicion necesaria y supficiente para que un conjunto \( E\subset{I} \) sea medible es que \( m_e(I)=m_e(E)+m_e(I-E) \)
Demostración: Debo probar que E es medible\( \Longleftrightarrow{m_e(I)=m_e(E)+m_e(I-E)} \)
Pruebo la vuelta: sea \( \left\{{K_s}\right\} \) una particion finita de \( I-E \) tal que \( I-E=\displaystyle\bigcup_{s=1}^{s=p}{K_s } \)
Si a \( \left\{{K_s}\right\} \) le agrego \( I\cap{E} \) obtenemos una particion finita de I
Entonces... \( m_e(E\cap{I})+m_e(I-E)=m_e(E\cap{I})+m_e(\displaystyle\bigcup_{s=1}^{s=p}{K_s })\leq{m_e(E\cap{I})+\displaystyle\sum_{s=1}^p{K_s}}=m_e(I) \)
Así E es medible...
Pruebo la ida:
Como \( E\subset{I} \) se tiene que \( I=E\cap{I}\cup{I-E} \) unión de conjuntos disjuntos por propiedad de medida exterior se tiene lo que queremos demostrar! Ahora mi pregunta a demás de saber si está bien, en que me sirve la hipótesis de que E es medible para demostrar la ida?
Gracias
