[lolhio]

Hola! Como están? Necesito saber si esta afirmación está correcta. Nos definieron una métrica de Matrices, de manera que en la transformación lineal de \( {M_2}\left( \mathbb{R} \right) \) a \( {\mathbb{R}^4} \) se tiene que \( T\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
  a&b \\
  c&d
\end{array}} \right] = \left( {a,b,c,d} \right) \), donde \( d\left( {M,N} \right) = {d_2}\left( {T\left( M \right),T\left( N \right)} \right) \), con M,N matrices.

Considere \( K = {\left[ {{x_{ij}}} \right]_{1 \leq i,j \leq p}} \) una matriz en \( {\mathbb{M}_p}\left( \mathbb{R} \right) \) y una sucesión de matrices \( {\left\{ {{K_n}} \right\}_{n \in \mathbb{N}}} \) en \( {\mathbb{M}_p}\left( \mathbb{R} \right) \), con \( {K_n} = \left[ {x_{ij}^n} \right] \), donde \( x_{ij}^n \) corresponde a la entrada en la posición \( \left( {i,j} \right) \) de \( K_n \). Se tiene que \( {K_n} \to K \) si y solo sí \( x_{ij}^n \to {x_{ij}} \) para todo \( 1 \leq i,j \leq n \)

Si es cierto, cómo puedo demostrarlo?

Saludos y gracias de antemano

[Luis Fuentes]

Hola

Hola! Como están? Necesito saber si esta afirmación está correcta. Nos definieron una métrica de Matrices, de manera que en la transformación lineal de \( {M_2}\left( \mathbb{R} \right) \) a \( {\mathbb{R}^4} \) se tiene que \( T\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
  a&b \\
  c&d
\end{array}} \right] = \left( {a,b,c,d} \right) \), donde \( d\left( {M,N} \right) = {d_2}\left( {T\left( M \right),T\left( N \right)} \right) \), con M,N matrices.

Considere \( K = {\left[ {{x_{ij}}} \right]_{1 \leq i,j \leq p}} \) una matriz en \( {\mathbb{M}_p}\left( \mathbb{R} \right) \) y una sucesión de matrices \( {\left\{ {{K_n}} \right\}_{n \in \mathbb{N}}} \) en \( {\mathbb{M}_p}\left( \mathbb{R} \right) \), con \( {K_n} = \left[ {x_{ij}^n} \right] \), donde \( x_{ij}^n \) corresponde a la entrada en la posición \( \left( {i,j} \right) \) de \( K_n \). Se tiene que \( {K_n} \to K \) si y solo sí \( x_{ij}^n \to {x_{ij}} \) para todo \( 1 \leq i,j \leq n \)

Si es cierto, cómo puedo demostrarlo?

Es cierto. Fíjate que al final la métrica consiste simplemente en colocar todos los elementos de la matriz en un sólo vector y trabajar con la métrica usual en \( \Bbb R^N \) con \( N=p^2 \).

Pero en \( \Bbb R^N \) es cierto que si tienes una sucesión \( x_n=((x_n)_1,(x_n)_2,\ldots,(x_n)_N) \) converge si y sólo si converge cada componente. Para probarlo solo hay que tener en cuenta dos cosas.

Dado \( a=(a_1,a_2,\ldots,a_N)\in \Bbb R^N \), para cualquier \( j=1,2,\ldots,N \)

\( d((x_n)_j,a_j)^2=|(x_n)_j-a_j|^2\leq \displaystyle\sum_{i=1}^N{}|(x_n)_i-a_i|^2=d(x_n,a)^2 \)

y

\( d(x_n,a)^2=\displaystyle\sum_{i=1}^N{}|(x_n)_i-a_i|^2=\displaystyle\sum_{i=1}^N d((x_n)_j,a_j)^2 \)

Saludos.

[lolhio]

Genial! Agradecido, de verdad...

Saludos!