[Enrique Rosas]

Determine los valores de \( p \) para los cuales la integral
\(
\displaystyle\int_1^{\infty}\frac{sen(x^p)}{x}dx
 \)
converge.
También determine los valores de \( p \) para los cuáles converge absolutamente.

Lo que he intentado es lo siguiente:
Tenemos que para cada \( x\geq 1 \), \( \displaystyle\left|\frac{sen(x^p)}{x}\right|\leq\displaystyle\frac{\left|x^p\right|}{x}=\displaystyle\frac{1}{x^{1-p}} \).
La integral de la derecha converge cuando \( 1-p>1 \), o sea, cuando \( p<0 \), así que la integral converge absolutamente cuando \( p<0 \) y por tanto, la integral converge para tales valores.
Ahora, no se con que método podría ver si hay otros valores de \( p \) para los cuáles la integral converja, ya sea condicional o absolutamente.

[Juan Pablo Sancho]

La integral \( \displaystyle \int_1^{+\infty} \dfrac{\sen(x)}{x} \ dx  \) converge , luego:
\( \displaystyle \int_1^{+\infty} \dfrac{\sen(x^p)}{x} \ dx = \displaystyle \int_1^{+\infty} x^{p-1} \cdot \dfrac{\sen(x^p)}{x^p} \ dx  \)
Usa \( u= x^p  \) y mira para que valores de \( p \) funciona

[Enrique Rosas]

Haciendo el cambio de variable dado tenemos que \( \int_1^{\infty}\frac{sen(x^p)}{x}dx=\frac{1}{p}\int_1^{\infty}\frac{sen(x)}{x}dx \) y eso converge siempre.
Entonces la integral converge para todos los valores de \( p \) mayores que cero, ¿es correcto?
Ahora, ¿lo que hice para la convergencia absoluta es correcto?