Hola
La primera cota cómo es este paso
\( E[E[1_{X+y<0}|Y=y]]\leq E\left[\dfrac{\sigma_X^2}{\sigma_X^2+(\mu_X+Y)^2}\right] \). Puede ser
\( P(X+y<0|Y=y)\leq{}\dfrac{\sigma_X^2}{\sigma_X^2+(\mu_X+y)^2} \)?
Pero no tiene que ir dividido por la \( P(Y=y) \)?
Más o menos. Ten en cuenta que por ejemplo para Y discreta tendríamos:
\(
P(X+y<0|Y=y)=\dfrac{P(X+y<0\cap Y=y)}{P(Y=y)} \)
por la independencia de \( X,Y \) en el numerador:
\(
P(X+y<0\cap Y=y)=P(X+Y<0)P(Y=y) \)
y \( P(Y=y) \)se cancela con el denominador.
Digo más o menos porque escribirlo así, usando \( P(Y=y) \) requiere que esa probabilidad sea no nula (imposible por ejemplo en una variable continua). Entonces de manera más general, por la independencia de \( X \) e \( Y \):
\( E[1_{X+y<0}|Y=y]=E[1_{X+y<0}] \)
y después:
\( E[1_{X+y<0}]=P(X+y<0)\leq \dfrac{\sigma_X^2}{\sigma_X^2+(\mu_X+y)^2} \)
En la prueba de la segunda, no es que el soporte de \( Y \) estaba acotado superiormente, de forma que \( g(y) \) fuera cóncava, debe haber una errata ahí.
Es que me quedé en ese paso. En lo que escribí simplemente he usado que el soporte de \( Y \) está en \( [-\mu_X,+\infty) \).
Continuando. Si llamamos:
\( g(y)=\dfrac{\sigma_X^2}{\sigma_X^2+(\mu_X+y)^2} \)
Comprueba que su segunda derivada es negativa en el intervalo \( [-\mu_X,-\mu_X+\color{red}\sigma_x/\sqrt{3}\color{black}] \)
y por tanto cóncava.
Entonces si \( Y \) tiene el soporte en \( [-\mu_X,-\mu_X+\color{red}\sigma_x/\sqrt{3}\color{black}] \), por la desigualdad de Jensen:
\( E[g(Y)]\leq g(E[Y])=g(\mu_Y) \)
De ahí directamente:
\( E\left[\dfrac{\sigma_X^2}{\sigma_X^2+(\mu_X+Y)^2}\right]\leq \dfrac{\sigma_X^2}{\sigma_X^2+(\mu_X+\mu_Y)^2} \)
Y si puedes ser un poco más específico en la prueba de la cota 3.
Continuará...
Saludos.
CORREGIDO
