Cita del Manco
“Continuas empeñado en explotar unas identidades triviales, que al menos a lo largo de todo este hilo, han demostrado no servir para nada de cara a clarificar o explorar la conjetura de Beal o el Teorema de Fermat.”
E1, E2, E3 y E4 muestran que el núcleo y el extremo de la potencia en los grados 3, 4 y siguientes siempre poseerán un factor común con el núcleo. Afirmación que no ocurre en las potencias de grado 2. Conforme la E1. Dicho lo cual, puede ser la razón por la que, la conjetura no se cumple siempre que una de las tres potencias sea menor que 3.
Dichas entidades muestran con facilidad, ver la hoja de Excel adjunta (descomposición), que si las dos potencias iníciales conforme conjetura, poseen el mismo grado, entonces su suma siempre tendrá el factor común de A + B. Es decir. \( A^n + B^n= (A+B)*x \). Siempre que n sea mayor que 2.
Que si, que no son la panacea, pero ayudan a comprender el comportamiento de las potencias.
La E6 \( (A+B)^n = ((A^2)((A+B)^{(n-2)})) + ((B^2)((A+B)^{(n-2)} + ((2AB)((A+B)^{(n-2)})) \) la obtuve con el jugueteo de las E1, E2, E3 y E4.
Cita del Manco.
“¿A qué viene partir de esa igualdad? Para números positivos esa igualdad nunca se cumple. Pero en cualquier caso no se entiende a que viene. Lo mismo para las expresiones análogas que manejas a continuación.”
Cierto es que es obvio plantear el caso Caso A^3+B^3= (A+B)^3. Pero también es cierto que por la semblanza con el UTF decidí incluirlo.
En el Caso A^4+B^4= (A+B)^3. Simplemente indico que para este caso, para que cumpla conjetura la división \( (((2A^4)/(A+B)) \), su resultado tiene que ser un entero. Esta afirmación obliga que A y B posea un factor común. Esto es, \( (((2·3^4)/(3+2)) \). 3 y 2 no comparten ningún divisor por lo tanto el resultado no es un número entero y por consiguiente no cumple conjetura. Ver la pestaña (2a^4)(a+b) del archivo de Excel (descomposición).
En general \( (((A^{(n-2)})(A-1)(A+1)+( B^{(n-2)})(B-1)(B+1)))+(A^{(n-2)})+(B^{(n-2)})= ((A+B)^{(m-2)}) (A^2 + B^2 +2AB) \);
\( (((A^{(n-2)})(A-1)(A+1)+(B^{n-2})(B-1)(B+1))/((A+B)^{m-2}))+(A^3)/((A+B)^{m-2}))+(B^3)/((A+B)^{m-2})))= (A^2 + B^2 +2AB) \).
Ósea que si uno de los siguientes sumandos \( A^n + B^n \) no es divisible entre (A+B) entonces el resultado de la suma es un número no entero. Igual a \( (A^2 + B^2 +2AB) \). No cumpliéndose entonces la conjetura. Ya que A y B son inicialmente números enteros y por tanto su suma tiene que ser entera.
Cita del Manco.
“Aquí de repente metes una tercera variable la C, lo cual si podría tener un mínimo de sentido como punto de partida (trivial) para estudiar la conjetura de Beal. Pero lo estropeas en cuanto impones después que \( C^m=A^n+AB() \), con lo cual de nuevo tratas un caso muy particular sin interés..”
Señor impone la conjetura y los componentes conforme el Triangulo de Pascal. La siguiente igualdad \( A^n + B^n+ AB() = (A+B)^n \) no es más que la igualdad establecida por Pascal. Después la siguiente suma \( A^n + B^n+ AB() \) tiene que agruparse conforme la conjetura, no es que yo imponga, es condición necesaria de la conjetura que en la suma solo se establezcan dos potencias, por lo tanto la variable C es suma de \( A^n + AB() \) o \( B^n+ AB() \) o quizás (ya demasiado rebuscado) parcialmente de A, B e íntegramente de AB().
El Caso C en el que AB() resta a la tercera potencia obteniendo ejemplos tal cual Ejemplo. \( 3^3+6^3=3^5 \); Es decir \( 3^3+6^3+2·33^5=9^3 \). Siendo \( 2·3^5 \) la suma de los sumandos intermedios del Triangulo de Pascal. En este caso \( 9^3-2·3^5 = 3^6-2·3^5 = 3^5(3-2) = 3^5 \).
Simplemente, con la condición de la conjetura, y las sumas de Pascal creó un modelo con los que justificar el porqué de la existencia de un factor común conforme la conjetura.
Cita:
“Si lo enunciado fuera cierto, estaríamos en condiciones de responder a la pregunta inicial”.
Si lo enunciado es cierto, cualquier terna de potencias mayores que dos, con bases integras, implicaría que A, B y C tendrían un factor común conforme conjetura. Y en el caso hipotético, de que existiera un contraejemplo a UTF, que no existe, tendría un factor común.
En definitiva todas las posibles soluciones de la conjetura se inician desde \( A^n + B^n+ AB() = (A+B)^n \). No se conoce, o tal vez, no exista ninguna suma de potencias conforme conjetura que no cumplan dicha entidad.
