Puede haber alguna controversia respecto al uso de los términos
monoide, semigrupo, etc.
Así que no queda otra opción que elegir una de las tantas versiones, y procurar el mayor consenso posible.
Cada
estructura algebraica consta de una lista de
objetos primitivos, sometidos a una lista de
axiomas.
MonoideUn par \( (M,*) \) se dice
monoide si:
- \( * \) es una apli¡cación binaria de \( M \) en \( M \). Escribimos \( *:M\times M\to M \)
Para todo \( a,b\in M \), usamos la notación \( a*b = *(a,b) \).
\( \bullet \)
Si \( N\subset M \) es tal que \( a,b\in N\Rightarrow{a*b\in N} \),
entonces \( (N,*) \) también es un monoide (con \( * \) restringida a \( N \)).
\( \bullet \) Se dice en este caso que \( N \) es
submonoide de \( M \).
SemigrupoUn par \( (S,*) \) se dice
semigrupo si:
- \( (S,*) \) es un monoide.
- \( * \) es asociativa: Para todo \( a,b,c\in M \): \( (a*b)*c=a*(b*c) \)
\( \bullet \) Por mera deinición, todo semigrupo es también un monoide.
\( \bullet \) Si \( (R,*) \) es submonoide de \( (S,*) \), entonces \( (R,*) \) también es un semigrupo, debido a que se hereda trivialmente la propiedad asociativa de \( * \) dentro de \( R \). En este caso decimos que \( R \) es un
subsemigrupo de \( S \).
GrupoUna terna \( (G,*,e) \) se dice
grupo si:
- \( (G,*) \) es un semigrupo.
- \( e \) es un elemento de \( G \).
- \( e \) es una identidad en \( G \): para todo \( a\in G \): \( a*e=a \).
- Todo elemento de G tiene inverso: para todo \( a\in G \), existe \( a'\in G \) tal que \( a'*a=e \).
\( \bullet \) Puede probarse que \( e*a=a \) para todo \( a\in G \).
\( \bullet \) Además, hay un único elemento identidad en \( G \) (el propio \( e \)).
\( \bullet \) También, todo elemento \( a\in G \) tiene un único inverso, y lo denotaremos \( a^{-1} \).
\( \bullet \) Una terna \( (H,*',e') \) se dice
subgrupo de G, si \( (H,*',e') \) es un grupo, y además: \( H\subset G \), \( *' \) es la restricción de \( * \) a \( H \), y \( e'=e \).
\( \bullet \) Se puede probar que \( H \) es subgrupo de G
si, y sólo si, \( H\subset G \), y para todos los \( a,b\in H \) vale que \( a* b^{-1}\in H \).
Grupo Abeliano o ConmutativoUna terna \( (G,*,e) \) es un
grupo abeliano o conmutativo, si \( (G,*,e) \) es un grupo y
\( \bullet \) \( * \) es
conmutativa: Para todo \( a,b\in G \): \( a*b=b*a \).
\( \bullet \) Un subgrupo de un grupo abeliano es también grupo abeliano, pues la conmutatividad se hereda trivialmente.
\( \bullet \) Para los grupos abelianos suele preferirse el uso del signo \( + \) para la operación de grupo, del 0 para indicar la identidad (que ahora se llama
neutro), y el inverso de \( a \) se denotaría \( -a \) (ahora se llama elemento
opuesto).
AnilloUn cuarteto \( (A,+,0,*) \) se dice un
anillo si
- \( (A,+,0) \) es un grupo abeliano.
- \( (A,*) \) es un semigrupo.
- \( + \) y \( * \) cumplen la ley distributiva:
\( \bullet \) Para cualesquiera \( a, b,c\in A \): \( (a+b)*c=(a*c)+(b*c) \)
\( \bullet \) Para cualesquiera \( a, b,c\in A \): \( c*(a+b)=(c*a)+(c*b) \)
\( \bullet \) Se considera que la precedencia de \( * \) es más alta (se evalúa primero) que la de \( + \), luego, una expresión como \( (a*c)+(b*c) \) equivale a escribir \( a*c+b*c \).
\( \bullet \) Supongamos que \( A'\subset A \) es tal que para todo \( a,b\in A \) se tiene \( a+b\in A \) y \( a*b\in A \). En tal caso \( (A',+,0,*) \) es un anillo, y se dice que es un
subanillo de \( A \).
\( \bullet \) En particular, como \( A \) es grupo, un subanillo de \( A \) es también subgrupo de \( A \).
\( \bullet \) Para que \( A' \) sea subanillo de \( A \) es necesario y suficiente que para cualesquiera \( a, b\in A' \) se cumpla que \( a+(-b) ,a* b^{-1} \in A' \).
\( \bullet \) Un subconjunto \( I \) de un anillo \( A \) es un
ideal derecho (resp.
izquierdo) de \( A \), si \( (I,+,0) \) es un subgrupo de \( (A,+,0) \), y además para todo \( x\in I, a\in A \), se cumple que \( x*a\in I \) (resp. \( a*x\in I \)).
\( \bullet \) Un
ideal es un conjunto \( I \) que es a la vez
ideal derecho e
ideal izquierdo.
Anillo unitario\( \bullet \) Un quinteto \( (A,+,0,*,1) \) es un
anillo unitario si \( (A,+,0,*) \) es un anillo, además \( 1\in A \), \( 0\neq 1 \), y \( 1 \) es elemento
identidad para \( * \), vale decir, que para todo \( a\in A: a*1 = a \).
Dominio de integridadUn cuarteto \( (A,+,0,*) \) es un
dominio de integridad si cada vez que \( a,b\in A \), \( a*b=0 \), necesariamente ocurre que \( a=0 \) ó \( b=0 \). Se dice que \( A \) no tiene
divisores de cero.
Anillo de DivisiónUn anillo unitario es un
anillo de división, si todo elemento \( a\neq 0 \) tiene inverso, o sea, existe \( a^{-1} \) tal que \( a*a^{-1}=1 \).
\( \bullet \) Todo anillo de división es un dominio de integridad.
Anillo ConmutativoUn anillo \( (A,+,0,*) \) es
conmutativo, si la operación \( * \) es conmutativa.
CuerpoUn quinteto \( (F,+,0,*,1) \) es un
cuerpo o
campo, si \( (F,+,0,*,1) \) es un anillo unitario conmutativo, tal que todo elemento no nulo es invertible respecto \( * \).
\( \bullet \) Se verifica que todo cuerpo es un anillo conmutativo, y además es un dominio de integridad.
\( \bullet \) Un subconjunto \( E \) de \( F \) es un
subcuerpo de F, si \( (E,+,0,*,1) \) es un cuerpo.
\( \bullet \) Para que un subconjunto \( E \) de un cuerpo \( F \) sea un subcuerpo, es necesario y suficiente que para cualesquiera \( a,b\in E \) se tenga \( a-b\in E \) y \( a*b^{-1}\in F \) (si \( b\neq 0 \)).
\( \bullet \) Un cuerpo \( (C,+,0,*,1) \) se caracteriza por ser \( (C,+,0) \) y \( (C\setminus\{0\},*,1) \)
grupos abelianos, de tal suerte que \( + \) y \( * \) se conectan vía la
ley distributiva.
Dominio de Factorización Única (DFU)Es un tipo especial de dominio de integridad en los que se puede hablar de descomposición en
primos.
Esto lo explicamos en el siguiente desplegable...