SEGUNDO PASOEn este segundo paso se precisa demostrar que \( n=(a+b) \) no puede ser ningún múltiplo de k (aquí k=11).
Para entrar en ello vamos a empezar demostrando que \( n=a+b\neq (11^j)^{11}w \), siendo \( w \)un natural cualquiera no múltiplo de 11. Esto ya lo habíamos hecho en k=3, con lo cual lo pongo en spoiler:
Spoiler
Empezamos suponiendo que existe \( n=(a+b)=(11^j)^{11}w \) tal que \( (nr)^{11}=c^{11}=a^{11}+b^{11} \)
Entonces nos fijamos en la expansión binomial de k=11:
\( a^{11}+b^{11}=c^{11}=(a+b)[(a+b)^{10}-11ab[D]] \), y mientras recordamos que suponemos la existencia de \( n=(a+b)=(11^j)^{11}w \), tenemos que:
\( r=(a+b)^{10}-11ab[D]=((11^j)^{11})^{10}u-11ab[D] \)
Y dado que es fácil comprobar que para k=11 entonces [D] no puede ser ningún múltiplo de 11, tenemos que:
Por un lado \( n^{11}=(a+b)=(11^j)^{11}w \), y por el otro \( r^{11}=11·w \), siendo w un natural cualquiera no múltiplo de 11. Hecho que implica que: \( a^{11}+b^{11}=[(11^j)^{11}w][11·w]\neq c^11 \)
Por consiguiente se demuestra que no puede existir un n=(a+b)=(11^j)^{11}w para que la ecuación \( c^{11}=a^{11}+b^{11} \) tenga soluciones naturales.
Con la demostración previa de que no puede existir ningún \( n=(a+b)=(11^j)^{11}w \) hemos visto la importancia de determinar el valor del elemento \( [D_k] \) de cada expansión binomial.
Lo primero que aquí proponemos demostrar es que para cualquier k este componente \( [D_k] \) nunca será múltiplo de k cuando \( a+b \) lo sean. De rebote se demostrará, pues, que \( n \) y \( [D_k] \) son siempre coprimos, de modo que también lo serán n y r, excepto cuando n sea múltiplo de k, que luego compartirán un único factor k.
Para ello partimos de la suposición de que existe solución natural para la ecuación \( a^{11}+b^{11}=nr=c^{11}=[11^em]^{11} \) cuando definimos \( n=a+b=11^j·w \); con lo cual ni \( a \) ni \( b \) serán múltiplos de 11, pero \( r \) sí lo será.
Spoiler
donde \( e \) será un exponente natural mayor que 0; m será un natural cualquiera no múltiplo de 11; w será un natural no múltiplo de 11; con \( j\geq{1} \) y nunca múltiplo de 11.
A partir de la definición anterior de \( n \) sabemos que \( b=11^jw-a \). Entonces tomamos la suposición inicial, y en el primer lado le restamos y también le sumamos \( a \):
\( a^{11}-a+b^{11}+a=nr=(11^j·w)·r=[11^em]^{11} \).Arreglamos y sustituimos \( b \) por su definición:
\( a(a^{10}-1)+[11^jw-a]^{11}+a=nr=[11^em]^{11} \) Y desarrollamos:
Spoiler
\( a(a^{10}-1)+[(11^jw)^{11}+11^{j+1}wa[L_{11}]-a^{11}]+a=a(a^{10}-1)+(11^jw)^{11}+11^{j+1}wa[L_{11}]-a(a^{10}-1)=nr=[11^em]^{11} \). Siendo \( [L_{11}] \)una parte de la expansión del binomio, que veremos más en detalle para k=11 en un segundo.
Al final obtenemos esto:
\( (11^jw)^{11}+11^{j+1}wa[L_{11}]=nr=(11^j·w)·r=[11^em]^{11} \)
Se aprecia que si \( [L_{11}] \) no es múltiplo de 11, entonces: \( (11^jw)^{11}+11^{j+1}wa[L_{11}]=11^{j+1}z=(11^j·w)r=[11^em]^{11} \), con z un natural no múltiplo de 11. Y quedaría claro que \( r=[(11^j·w)^{10}-11·(ab)[D_{11}]] \) sólo puede ser un múltiplo de un \( 11 \) pelado, con lo cual se demostraría que \( [D_{11}] \) no puede ser múltiplo de 11.
Sin embargo, ¿puede este \( [L_{11}] \) ser múltiplo de 11?Desarrollamos la expansión binomial de \( b^{11}=[11^jw-a]^{11} \):
\( [11^jw-a]^{11}=(11^jw)^{11}-a^{11}+11(11^jw·a)[r_9+5·(11^jw·a)r_7+15·(11^jw·a)^2r_5+30(11^jw·a)^3·r_3+42(11^jw·a)^4] \) Donde \( [L_{11}] \) es:
\( [L_{11}]=[r_9+5·(11^jw·a)r_7+15·(11^jw·a)^2r_5+30(11^jw·a)^3·r_3+42(11^jw·a)^4] \)
Y dado que: \( r_9=[11^jw-a]^8-(11^jw·a)[L_9] \), queda claro que \( r_9 \) jamás será múltiplo de 11, con lo cual
\( [L_{11}]=[r_9+(11^jw·a)[5·r_7+15·(11^jw·a)r_5+30(11^jw·a)^2·r_3+42(11^jw·a)^3]] \) jamás será múltiplo de 11.
En conclusión: dado que \( [L_{11}] \) jamás será múltiplo de 11 tampoco lo será \( [D_{11}] \). Hecho que nos lleva a considerar que \( j=11e-1 \), con lo cual \( n_{11}=11^{11e-1}w \).
Con razón, pues, ahora resulta lícito reescribir nuestra suposición inicial del siguiente modo:
\( a^{11}+b^{11}=nr=[11^em]^{11}=(11^{11e-1}·w)(11·v) \), con \( v \) un cubo no múltiplo de 11 y con \( e \) un exponente mayor que 1.
Spoiler
Además se habría demostrado que \( n_{11} \) y \( r_{11} \)sólo comparten un 11 pelado como factor común, siendo coprimos en todos los demás factores. ¿No demuestra ello, pues, que cuando \( n_k=a+b \) no es múltiplo de k entonces \( n_k \)y \( r_k \) serán completamente coprimos? Ello nos lleva a considerar que, aquí, \( w \) y \( v \) deberían ser números elevados a \( k \), sin embargo no señalarlo no afecta a la demostración.
Por otro lado, lo interesante de este procedimiento es que es completamente generalizable para cualquier \( k \) un nº primo, y nos estaría indicando que si tomamos \( n_k=a+b \) como múltiplo de \( k \), entonces \( r_k \)siempre será, sin excepción, múltiplo de k a secas, dado que su componente \( [D_k] \) no es jamás múltiplo de \( k \).
, sólo existiría un caso posible para que la ecuación \( a^{11}+b^{11}=nr=c^{11}=[11^em]^{11} \) pudiera presentar soluciones naturales tomando \( n=a+b \) un múltiplo de 11; a saber: cuando \( n_{11}=a+b=11^{11e-1}·w \).
Spoiler
Recordar que este w debería ser un número elevado a k, pero de momento no hace falta señalarlo y lo dejamos indicado como w para facilitar la redacción
\( n=11^{11e-1}w \)[/u]
Lo primero: si \( n_{11}=a+b=11^{11e-1}w \), ello nos permite definir \( a \) y \( b \) como:
\( a=11^{11e-1}w-b \)
Definido, pues, \( a \) vamos a suponer que habrá soluciones naturales para la siguiente ecuación:
\( [11^{11g-1}w-b]^{11}+[b]^{11}=[11^{11e-1}w][11·v]=nr=c^{11}=[11^em]^{11} \).
De inmediato apreciamos que esta ecuación se puede reescribir de la siguiente forma:
\( [11^em]^{11}-[b]^{11}=[11^{11e-1}w-b]^{11} \)
Y dada la similitud estructural entre:
\( a^k+b^k=nr=(a+b)[(a+b)^{k-1}-Kab[D_k^+]] \)
\( a^k-b^k=sq=(a-b)[(a-b)^{k-1}+Kab[D_k^-]] \)
Parece factible que para analizar este caso podamos ir ya directamente al
paso 2, donde se pretende demostrar que la ecuación \( a^k\pm{b^k}=c^k \) no tiene soluciones naturales cuando o bien \( a \) o bien \( b \) son múltiplos de k.
