Lo que motiva (origen de los polinomios), cuyo nº es finito para cada x,es la transformación.El exponente de 1 es n-1, esto no es ninguna obviedad.Los subíndices de p son debidos a que para una determinada m pueden existir varios valores de p. La expresión en la que figuran los q una es la sucesión soporte de recubrimientos para cada n y la otra la serie asociada. Por no sobrecargar la exposición he omitido los pasos intermedios aparte que son perfectamente deducibles.La demostración directa está hecha. Creo que no es necesario particularizar n.
... os dejo estos polinomios, inicio de los recubrimientos en x^3, para su estudio, si logramos eontrar la relacion entre sus ceros, habremos resuelto la conjetura.Creo. x^3-3x^2-3x-1, x^3-6x^2-12x-8 , x^3-3x^2-9x-7, espero que os intereseis. Saludos.Hola Mongar.
Desde ls primera vez que escribi en el foro, solicitando se verificara la formalidad matematica para mi alternativa( Recubrimientos en X^n) a los metodos tradicionales, basados unos en el analisis numerico, que ha conducido a solucionesparciales, para algunos valores de n, que es el que venis utilizando,y el que utiliza recursos del analisis numerico- algebraico que como sabemos condujo al.profesor Wiles a una solucion indirecta de la ecuacion de Fermat
, no he rcibido respuesta, como ya dije este metodo utiliza recursos geometricos aritmeticos y algebraicos. ( a el _ manco le envie via correo - e una solucion basada en este metodo ).
Por eso mi insistencia al decir que no es analogo el resultado aunque aparentemente lo sea. Espero no molestar ni pecar de pretencioso. Saludos
Siguiendo, los razonamientos para encontrar soluciones " sencillas", distintas a la del profesor Wiles, le prouse a " el _manco", los recubrimientos en x^n, os dejo estos polinomios, inicio de los recubrimientos en x^3, para su estudio, si logramos eontrar la relacion entre sus ceros, habremos resuelto la conjetura.Creo. x^3-3x^2-3x-1, x^3-6x^2-12x-8 , x^3-3x^2-9x-7, espero que os intereseis. Saludos.
Te "sigo" en tu exposición, aunque, por mis pocos conocimientos , no acabo de comprender qué habría que hacer con los polinomios que has expuesto.
¿buscar la relación entre raíces enteras?, ¿buscar relación entre puntos de intersección?, o¿...?
Un cordial saludo.
He visto que me catalogais como " junior" ojala lo fuera, pero por desgracia ya soy mayor, en mi epoca de estudiante en la
Estimado mente_oscura, como habras observado, aqui de lo que se trata, es de expresar el volumen de manera distinta a la que nos han eseñado " de toda la vida", en este tipo de cuestiones, es de suma importancia tener en cuenta que cuando multiplicamos por 1 pasamos de la dimension n a n+1, sin variar el valor absoluto, hecho relevante para deshacer el nudo gordiano entre la aritmetica y la geometria.Saludos cordiales.
no he podido encontrar como justificas tus igualdades fundamentales: a = m^2+n^2......
Hola mente oscura si bien Diofanto puede que hubiera utilizado estas formulas es a Euclides a quien debemos su llegada hasta nosotros que las utilizo de manera empirica. Creo que tu merito esta en haberlas unificado y como colofon la construccion de la tabla. Podemos intentar darle rigor matematico si las deducimos de: 2zp = x^2 + p^2 . Utilizando las condiciones y terminologia del UTF. Saludos.!Estimado Mongar, muchas gracias por tu interés.
Hola de nuevo , mandame tu correo-e al mio supongo que ya lo tienes y te enviare lo que en su dia le envie a el_manco y si dominas el LaTeX lo publicaremos en el foro. Mi fuerte no es (entre otras cosas) la informatica. En estos temas como no se utilice una terminologia y un metodo no conseguimos nada. Saludos.
De nuevo en el foro, saludos cordiales,supongo que habréis observado que el método de los recubrimientos, es un método esencialmente geométrico, que nos permite una nueva definición de la conjetura: Consideramos cubos n-dimensionales.Al adicionar a un volumen entero, otro volumen entero, si el incremento de la arista del volumen adicionado es entero entonces z también lo es.Esto es lo que se indica con el polinomio solución que he propuesto.
El_manco, saludos,sin ánimo de entrar en polémicas y con el debido respeto, dime que palabra o frase que haya utilizado en mis escritos es "rimbombante"
- Proposición directa, ¿\( z \) entero?.
Llamo recubrimientos sobre \( x^n \) al resultado de la transformación:
\( T_F:x^n\color{red}\cdot 1^{m-1}\color{black}\longrightarrow \displaystyle\binom{n}{1}p_{ij}x^{n-1}+\displaystyle\binom{n}{2}[(m_i+p_{ij})^2-m_i^2]x^{n-2}+ \)
\( + \displaystyle\binom{n}{3}[(m_i+p_{ij})^2-m_i^2]x^{n-3}+\ldots+\displaystyle\binom{n}{n}[(m_i+p_{ij})^n-m_i^n] \)
con
\( m^*\geq m_i\geq 0 \), \( m^* \) valor de \( m_i \) con \( p_{ij}=1 \)
\( x(\sqrt[n]{2}-1)>p_{ij}\geq 1,\qquad y_i=x+m_i \)
- POLINOMIO GENERAL
\( x^n-\displaystyle\binom{n}{1}p_{ij}x^{n-1}-\displaystyle\binom{n}{2}[(m_i+p_{ij})^2-m_i^2]x^{n-2}-\ldots-\displaystyle\binom{n}{n}[(m_i+p_{ij})^n-m_i^n] \)
\( z \) es de la forma: \( z=(x+m_i+p_{ij}) \)
Soluciones en la superficie; consolidación de recubrimientos: \( z=[x+(m_i+p_{ij}-1)+1] \). Sin perder generalidad, ni introducir soluciones extrañas, si \( p_{ij}=1 \), se puede suponer \( x \) impar (afinando más se puede suponer \( x \) primo)
\( \displaystyle\binom{n}{1}p_{ij}x^{n-1}+\displaystyle\binom{n}{2}[(m_i+p_{ij})^2-m_i^2]x^{n-2}+\ldots+\displaystyle\binom{n}{n}[(m_i+p_{ij})^n-m_i^n]= \)
\( =(q_n+1)^n-q_n^n \) si \( q_n\in Z^+ \)
Tendríamos:
\( x^n-[(q_n+1)^n-q_n^n]=0,\quad \displaystyle\sum_{q_k=0}^{q_k}{}[(q_k+1)^n-q_k^n]=x^n \)
\( z=(x+q_n+1) \)
si \( n\geq 3\quad \not\exists q_n|\, q_n\in Z^+\quad \Rightarrow{}\quad z\not\in Z^+ \)
Ramón García. Chilluévar. Jaén.
El autor de este texo, Ramón García, me lo envió manuscrito y me pidió que lo publicase en el foro. En rojo está marcado aquello sobre lo cuál tengo dudas de haber interpretado bien. No descarto que haya otros errores de transcripción, por los cuales y de antemano, pido disculpas al autor y a los lectores del mensaje. De todas formas Ramón García (mongar de nick) puede aclararnos cuanto desee. el_manco
y que significado matemático tiene.
En el escrito que te envié expuse como se construyen los recubrimientos, te dije también que este método nos permite considerar al UTF. como un caso particular de la suma de potencias,sin mas que no considerar a la unidad como elemento neutro de un grupo multiplicativo. En matemáticas, creo que también son aplicables los conceptos escolásticos de extensión y comprensión.
Sigo pensando que la pregunta de Feriva no es baladí y que se merece respuesta. Saludos cordiales.
Os voy a proponer la siguiente cuestión, la respuesta por favor razonada, \( 1^n + 1^n = \), con \( n \) entero, distinto de cero y tan grande como se quiera. Saludos cordiales
Gracias por la respuesta. Considerando 1 como elemento neutro de un grupo multiplicativo,es correcta, pero no nos sive para resolver el teorema de Fermat
porque esa solucion implica la utilizacion de metodos exclusivamente aritmeticos. Considerando 1^n como un hipercubo de arista 1, como z = （1+0+p）, con
p = 1（-1+2^1/n）, tendriamos que 1^n+1^n = （2^1/n）^n, el resultado final coincide pero aqui se utiliza un metodo geometrico.
Cuando se utilizan expresiones que consideran implícitamente, p entero, pueden existir más de una pareja, x y, que cumplan las condiciones de inicio del descenso infinito, con lo que la sucesión que obtenemos no está unívocamente determinada. Dicho esto os voy a proponer una solución sencilla para \( n = 3 \), utilizando recubrimientos. \( 3y（y+1）= x^3 - 1 \),
entonces \( x^3 - 1 \), es multiplo de \( 3 \). \( x \) es de la forma \( x = 4+3q \), con \( q \) entero y positivo. Asi obtenemos: \( 3q（3q+1）=3q（1+3q（q+1）） \)
Os voy a proponer una solución para la ecuación \( x^4 + y^4 = (y+q)^4 \) , para \( \)q par, si os parece sencilla , la desarrollo. \( x^4 = 8t(t+1)^2 \), con \( t \) entero positivo y mayor que uno. Saludos.
Luego si todos sabemos que la ecuación no tiene solución entera, es que es de fácil discusión. La expresión se deduce utilizando el teorema de Pitagoras extendido a exponente cuatro. Si la ecuación tuviera soluciones enteras también las tendría \( x^4 + y^4 = z^4 \). Como siempre la paridad de x depende y es igual a la de q. Las ternas también admiten como solución trivial \( ( 1, 0, 1) \) En cuanto a la deducción de la expresión no requiere de grandes conocimientos matemáticos. Lo difícil para mí, como siempre es la utilización del traductor de fórmulas, entre otros motivos la falta de cobertura.
Quiero decir simple y llanamente que si la ecuación \( x^4 + y^4 = (y+q)^4 \) tiene soluciones enteras también las tiene las tiene la ecuación que he propuesto, y recíprocamente; es fácil de entender lo que digo. Si realmente estuvieras interesado, deberías pedir que expusiera el procedimiento por el que he llegado a esa conclusión.
Dispongo de una hora de internet y de mala calidad, es imposible que pueda desarrollar y manejando mal por desconocimiento, todas las opciones que me brinda el teclado, algo que sin ser muy complicado es lo suficiente para mí, por no darme opciones para realizarlo. Puede que cuando conozcáis el procedimiento que he utilizado, todo quede en una simplez como tantas otras, pero este es el estado de las cosas.
el descenso en Z +, define un subconjunto con una terna de partida o elemento primero, (x,y,z), con x menor que y e y menor que z y una terna de llegada o elemento ultimo, ¿ cual es la forma de la terna de llegada?, una vez definida la terna de llegada, ¿ existe un camino de ascenso distinto del empleado para llegar a la terna propuesta? conocer la respuesta es importante pues de ella depende la veracidad de algunas demostraciones que de un modo u otro (sucesiones), utilizan el descenso. también decir que consideréis las dos ecuaciones que como solución para exponente tres os he propuesto. si las habéis estudiado y comparado con otras en estas paginas expuestas, son las mas sencillas, por no decir las únicas que de manera directa demuestran el teorema.
Debes revisar tus conocimentos, si el descenso fuera infinito no tendría objeto, repasa mi comentario y medita tu respuesta. en cuanto a las ecuaciones que he propuesto como solución te digo lo mismo, estúdialas, haz un análisis de las mismas no contestes tan a la ligera. si necesitas alguna aclaración no dudes en pedirla. saludos cordiales.
No convirtamos una simple discusión matemática en algo personal.
la ecuacion de Fermat para n = 3, se puede transformar en: \( c^3 - 6(b+1)c - 3(b+1)(b+2), c^3 +6(b-1)c - 3(b-1)(b-2) \)con c y b enteros positivos, con b mayor o igual que 0, si estas ecuaciones tienen soluciones enteras tambien las tiene la ecuacion de referencia. si el analisis de estas ecuaciones os parece no complicado, puedo desarrollar el proceso.
Para ti creo que también es algo personal, así que no seamos tan falsos colega con "la simple discusión matemática".
La ecuación: \( c^3 - 6(b+1)c - 3(b+1)(b+2)=0 \),(1) se puede resolver, hacemos un cambio de variable \( c = u + v \), \( t = v^3 \), ( ... ) Entonces t no es entero, por lo que (1) no tiene soluciones enteras y como vinculamos(1) con \( \underbrace{x^3+y^3=z^3}_{} \)(4), podemos afirmar que(4), no tiene soluciones enteras.
t aparece en la resolución de la ecuación cúbica. Lee con detenimiento mi comentario, para la resolución de la ecuación cúbica es necesario hacer dos cambios de variable, los he expuesto aunque sucintamente, suponiendo que todos conocemos su resolución. de igual manera te digo que para llegar a : \( c^3 - 6(b+1) - 3(b+1) (b+2) = 0 \), también es necesario hacer dos cambios de variable.
Si he sido o parecido descortés pido disculpas. No trato de encriptar mis comentarios o proposiciones de resolución, simplemente he considerado que el estudio y resolución de la ecuación cúbica es del dominio de todos los foristas, el método para averiguar si : \( 9b^2 + 4b + 4 \), es un cuadrado perfecto lo he desarrollado por novedoso, utilizando los recursos para la obtención de las ternas pitagóricas. Estoy a vuestra disposición para cualquier aclaración que consideréis oportuna.
Si he sido o parecido descortés pido disculpas. No trato de encriptar mis comentarios o proposiciones de resolución, simplemente he considerado que el estudio y resolución de la ecuación cúbica es del dominio de todos los foristas, el método para averiguar si : \( 9b^2 + 4b + 4 \), es un cuadrado perfecto lo he desarrollado por novedoso, utilizando los recursos para la obtención de las ternas pitagóricas.
Estoy a vuestra disposición para cualquier aclaración que consideréis oportuna.
Yo no soy Doctor. No entiendo cómo se pasa de aquí: \( c^3=a^3+b^3 \) á aquí: \( c^3 - 6(b+1)c - 3(b+1)(b+2)=0 \) . Si no contestas a eso pues paso; se lo dejamos al Doctor.
Cuando digo según la nomenclatura de Fermat me refiero a la terna \( (x,y,z) \), \( x^3 + y^3 = z^3 \), de la que se obtiene mediante los cambios de variable adecuados las dos ecuaciones que he propuesto
Si bien mi intención era que os pronunciarais sobre las ecuaciones que como resolución a Fermat para exponente 3, os he propuesto, habéis considerado conocer su desarrollo desde un principio, lo voy a hacer no sin antes contestar a D. Luis Fuentes respecto a su demostración por inspección
, que si bien es impecable en términos matemáticos, carece del sentido que la cuestión que nos ocupa exige: la formación de las ternas Pitagóricas, \( 9b^2 + 4b + 4 \), cuadrado perfecto, \( 6ba + a^2 = 4b + 4 \), con lo que : \( 2b(3a - 2) = 4 - a^2 \) los valores de a en Z+ solo pueden ser: a = 1, a = 2, y obtenemos para b, b = 3/2, b = 0, para la ecuación (2) \( 2b(3a + 2) = 4 - a^2 \) a puede tomarlos valores ; 1 , 2 para a = 1, b = 3/10, a = 2, b = 0.
Hecha esta consideración, veamos si logro despejar vuestras dudas y sacamos algo en claro (al menos yo), partimos de \( x^3 + y^3 = z^3 \), utilizamos el método de los recubrimientos en \( x^3 \), obtenemos : \( x^3 = 3py^2 + 3p^2y + p^3 \),
teniendo en cuenta criterios de multiplicidad llegamos a : \( a^3 = 3q^2 + 3q + 1 \), puede suceder que a > q (1), a = q (2), a > q (3),
He dicho : en la cuestión que nos ocupa , tu método es perfectamente correcto. La expresión \( 6ba + a^2 = 4b + 4 \), sale del estudio de: \( x^2 + y^2 = z^2 \), formación de las ternas pitagóricas.
Simplemente tu partes de \( (y + p)^3 \) y yo llego a \( (y + p)^3 \), de manera directa utilizando los recubrimientos en \( x^3 \), lo que nos permite una visión completa del problema.
A la expresión \( a^3 = 3q^2 + 3q + 1 \), se llega considerando que x ha de ser necesariamente de la forma ap.
obtenemos : \( x^3 = 3py^2 + 3p^2y + p^3 \), teniendo en cuenta criterios de multiplicidad llegamos a : \( a^3 = 3q^2 + 3q + 1 \), puede suceder que a > q (1), a = q (2), a > q (3), entonces después de hacer los cambios de variable que para la resolución la ecuación cúbica todos conocemos, teniendo en cuenta que: a =q + b, (1), a = q - b, (2), a = q, (3), haciendo q = c + (b - 1), q = c - (b + 1), respectivamente obtenemos : \( c^3 + 6(b - 1)c - 3(b -1)(b -2) = 0 \); \( c^3 -6(b + 1) - 3(b +1)(b + 2) = 0 \), si (3) obtenemos de manera directa el valor de : q = 1/ -1 + 2^1/3 o bien : \( c^3 - 6c - 6 =0 \), espero haberos complacido. Como siempre a vuestra disposición. Saludos.
En este caso consideramos un cuadrado de lado \( 3b \), si queremos construir otro cuadrado partiendo del de lado \( 3b \),
adicionando \( 4b + 4 \) obtenemos la expresión \( 3ba + (3b +a)a = 4b + 4 \).
En \( x^3 = 3py^2 + 3p^2y + p^3 \), \( x \) es necesariamente de la forma \( x = ap \),que puedan existir otras factorizaciones no desvirtúan la que he propuesto
Entonces \( x^3 = a^3p^3, así: a^3p^3 = 3py^2 + 3p^2y + p^3, así: a^3p^2 = 3y^2 + 3py + p^2 \), ahora en el segundo término tenemos dos sumandos múltiplos de p lo que hace necesario que \( y^2 \),
también lo sea, entonces podemos hacer: \( y = pq, obtenemos: a^3p^2 = 3p^2q^2 + 3p^2q + p^2 \), que nos da la expresión propuesta: \( a^3 = 3q^2 + 3q + 1 \),
Ahora consideramos que: \( a>q, a<q, a=q \) así \( a = q + b, a = q - b, a = q \),sustituimos en cada caso y obtenemos las ecuaciones propuestas haciendo \( q = c + (b - 1), q = c - (b + 1), q = b \), respectivamente y resolvemos. Saludos.
Pero no veo del todo claro como usando esos cambios de:
\( a^3 = 3q^2 + 3q + 1 \)
llegas a:
\( c^3 + 6(b - 1)c - 3(b -1)(b -2) = 0 \)
Si puedes detallarlo...
Es aplicar a la expresiones \( 9b^2 +4b + 4 \), (1) ó \( 9b^2 - 4b + 4 \) (2); \( 3ba +(3b + a)a \), que utilizamos para la obtención de las ternas pitagóricas, se puede terminar como conclusión que no existe a que haga que (1), (2), sean cuadrados perfectos.
p, es el número de recubrimientos, puede tomar cualquier valor en Z+; por: \( x^3 = 3py^2 + 3p^2y + p^3 \), se condicionan mutuamente.
Si \( x^3 = ap \), también x es la raíz cúbica de \( ap \),, con lo que a ha de ser un cubo y p también, independientemente de las combinaciones posibles.
Dices estrictamente \( \).., si hacemos \( 3y^2 \), es una condición restrictiva, es mas aplio y también la contempla: y igual a múltiplo de p
Bien, partimos de \( a^3 = 3q^2 + 3q + 1 \), a puede ser: a>q: a = q +b, a<q, a = q - b, a = q.
sustituimos a por: (q + b), (q - b), q. respectivamente.
y obtenemos después de hacer las operaciones pertinentes: \( c^3 + 6(b - 1)c -3(b - 1)(b - 2) = 0; c^3 - 6(b + 1)c - 3(b +1)(b + 2) = 0; q^3 = 3q^2 + 3q + 1 \).
No es irrelevante es la misma esencia del problema, aplicable a cualquier exponente.
Tu ejemplo : \( 6^3 = 12· 18 \), dices ni 12 ni 18 son cubos, es una cuestión de agregación, \( 6^3 = 12·18 = 3·2^2·3^2·2^3 = 3^3·2^3 \)
Tu ejemplo: \( 3·6^2 \), es múltiplo de 4, pero 6 no es múltiplo de 4, otra vez cuestión de agregación: \( 3·6^2 = 3·2^2·3^2 = 3^3·2^2 \)
Dices: \( a^3 =3q^2 + 3q + 1 \), hago \( a = q + b \), obtienes : \( q^3 = 3q^2b + 3qb^2 + b^3 \), cuando debería ser: \( (q + b)^3 = 3q^2 + 3q + 1 \), si hacemos las operaciones pertinentes llegamos a las ecuaciones que he propuesto.
Si en \( a^3=3q^2+3q+1 \) hago \( a=q+b \):
\( q^3+3q^2b+3qb^2+b^3=3q^2+3q+1 \)
¿Cómo llegas a \( c^3 + 6(b - 1)c -3(b - 1)(b - 2) = 0 \)?.
Pasemos a la ecuación en si; tenemos: \( a = q + b \), entonces \( (q + b)^3 = 3q 2 + 3q + 1 \), \( q^3 + 3q^2b + 3qb^2 + b^3 = 3q^2 + 3q + 1 \), obtenemos: \( q^3 + 3q^2(b - 1) + 3q(b^2 - 1) + b^3 - 1 = 0; (1) \)vamos a resolver la ecuación, para eso anulamos el sumando\( 3q^2(b - 1) \), haciendo el cambio de variable:\( q = c - (b -1), sustituimos en (1) \), hacemos las operaciones pertinentes y obtenemos:\( c^3 + 6(b -1)c - 3(b -1)(b - 2) (2) \)
c^3 + 6(b -1)c - 3(b -1)(b - 2) =0
para resolver volvemos a cambiar de variable: \( c = u + v \), sustituimos en(2)hacemos las operaciones pertinentes y volvemos a hacer otro cambio de variable en este caso \( t = v^3 \), resolvemos y obtenemos la condición necesaria que he propuesto.
Me parece bien que valides los cambios de variable, pero no debes obviar los recubrimientos porque son la misma esencia del problema que nos ayuda acomprenderlo mejor y a tener una visión de conjunto del teorema. Respecto a que si \( y^2 \) es múltiplo de p ya te he dado la explicación, son combinaciones y agregaciones de factores y sin gaitas.
Que \( p \) no viene predefinido por \( p = z - y \), a mi me enseñaron en mis tiempos a no mezclar ni utilizar lo definido en la definición, hecho que tu haces, que los teoremas hay que demostrarlos de manera directa partiendo de las premisas en este caso:\( x^3 + y^3 \), para llegar a \( z^3 \), y si se cumple demostramos el recíproco .En este caso utilizamos los p recubrimientos sobre \( y^3 \), provenientes de \( x^3 \), si para un determinado p se cumple la condición z entero, también se cumple para todos sus múltiplos. Bien no entro en mas consideraciones sobre multiplicidad.
Te he puesto para exponente 4, para llamar tu atención sobre los recubrimientos. Las cuentas se hacen sobre el planteamiento, que ha de tener fundamento y correcto en cuanto a su proposición, si se ha de detallar paso a paso, aunque engorroso no tengo inconveniente.
En cuanto a las operaciones pertinentes me refiero a que son de puro trámite y por eso las obvio, después de realizar esas operaciones llegamos en un caso a \( 9b^2 + 4b + 4 \) , \( 9b^2 - 4b+4 \),
En resumen dices que el p, que propongo es especial por restrictivo, nada mas lejos de la realidad, es tan amplio que permite tomar a x, cualquier valor en Z+, tanto es así que lo de la coprimalidad dos a dos es una consecuencia.
Que el valor de z esta condicionado por : \( x^3 + y^3 = z^3; si y = x + m; z = x + m +p \), si partimos de un valor de x determinado y si mantenemos a z fijo entonces si m aumenta p disminuye, en el mismo valor, pero como sabemos que las soluciones enteras o no, están en el último recubrimiento, la ecuación a la que se llega es: \( a^3 = 3q^2 + 3q + 1 \), el desarrollo y la resolución ya esta dicha.
: \( 9b^2 + 4bp + 4p^2 \), establecemos una condición necesaria : que \( 9b^2 + 4pb + 4p^2 \), sea un cuadrado perfecto. \( \), el radicando se puede transformar en : \( (3b + 2p)^2 - 8pb \), consideramos los recubrimientos sobre un cuadrado de lado: (3b + 2p), obtenemos: \( (2a(3b + 2p) = - (8pb + a^2) \), que no tiene solución en Z+.
a es el número de recubrimientos sobre el cuadrado propuesto. a, b, p, pertenecientes a Z+, \( a \geq{1} \),\( b\geq{0} \),[\( p\geq{1} \). Podemos concluir que: \( x^3 + y^3 = z^3 \), con x, y enteros positivos, z no es entero.
Consideremos : \( x = y \), \( y^3 = 3py^2 + 3p^2y + p^3 \), el segundo término se puede transformar: \( (y + p)^3 - y^3 \)
\( 2y^3 = (y + p)^3 \), \( \sqrt[3 ]{2}y = y + p \), \( p =(-1 + \sqrt[3 ]{2})y \), p, no es entero, luego la ecuación no tiene solución entera.
Su transformada: \( c^3 - 6p 2 - 6p^3 = 0 \), que haciendo las operaciones pertinentes obtenemos para \( c = p(\sqrt[3 ]{2} + \sqrt[ 3]{4}) \), que tampoco tiene solución entera.
Estoy exponiendo los distintos casos, lo interesante o no es cuestión de apreciación.
\( \displaystyle\frac{3(b -2p) +- \sqrt[2 ]{p(b - p)} }{6} \) = c. La condición necesaria seria que \( p(b -p) \), fuera cuadrado perfecto que se cumple para infinitos valores de p y b, pero no es suficiente. Saludos.
Dices que \( p = z - y \), si así fuera no necesitaríamos demostración alguna y eso para cualquier exponente, pues ya estas presuponiendo que z es entero y es eso precisamente lo que queremos demostrar. luego a ese p no se le puede aplicar el concepto de libre de cuadrados.
Que el valor de z esta condicionado por : \( x^3 + y^3 = z^3; si y = x + m; z = x + m +p \), si partimos de ...
Ya dije que en : \( x^3 = 3py^2 + 3p^2y + p^3 \), es el resultado de la suma de recubrimientos sobre \( y^3 \), así p es el número de orden del recubrimiento, ¿ se puede aplicar "libre de cuadrados" sobre ese orden ?
Veamos los valores de los p sucesivos recubrimientos, valga como ejemplo, sobre \( 1^3 \), tenemos primer recubrimiento 7, segundo recubrimiento 19, tercero 37..., el término general de la sucesión de recubrimientos sería: \( 3q^2 + 3q + 1 \), para q mayor o igual que 1 ¿ a esos, recubrimientos le puedes aplicar " libre de cuadrados", la suma de recubrimientos también podría expresarse como: \( x^3 - 1 \).¿ Se puede aplicar sobre la suma?
Te he explicitado el valor de c, como solución de la ecuación que propuse y te he hecho notar que la condición necesaria a veces no puede ser suficiente.
Vuelvo a reiterarte que no se puede utilizar lo definido en la definición, cualquier solución que no lo tenga en cuenta es errónea o falsa como te gusta decir.
Veamos si empezamos a entendernos: la ecuación que Fermat propuso para exponente 3 es: \( x^3 + y^3 = z^3 \), y se ha de demostrar de izquierda a derecha que es la proposición directa y no la que tu propones: \( z^3 = x^3 + y^3 \), porque entonces tendríamos que proceder así, para su demostración, un ejemplo para el primer decrecimiento: \( z^3 = (z - 1)^3 + z^2 + z(z - 1) + (z - 1)^2 \), tendríamos que demostrar en este caso que \( z^2 + z(z - 1) + (z - 1)^2 \), es un cubo perfecto. Esa es la diferencia de utilizar una formulación u otra.
Vuelves a: \( p = z - y \), y te vuelvo a decir que no necesitaríamos demostración alguna porque si p es entero e y por condición se le supone entero, z forzosamente ha de ser entero. Y Fermat queda demostrado para cualquier exponente y tan contentos.
La relación que propones \( x^3 +y^3 = (y + p)^3 \), es cierta lo que no es cierto que p sea entero, porque es precisamente eso lo que queremos demostrar. Que la igualdad:\( p = z - y \), es la que hay que demostrar y no suponer.
No se le puede aplicar el concepto "libre de cuadrados" a un ordinal y p en la formulación que he propuesto significa: primer recubrimiento, segundo recubrimiento y así sucesivamente, hasta llegar al de orden p.
Quisiera terminar la propuesta de demostración de la proposición contraria: \( z^3 = x^3 + y^3 \), tendríamos que para los p decubrimientos o decapamientos, quitar a \( z^3 \), capas sucesivas de una unidad de grosor: \( z^3 = (z - p)^3 + 3pz^2 - 3p^2z + p^3 \), se ha de demostrar que: \( 3pz^2 - 3p^2z + p^3 \), es un cubo perfecto.
Para eso vamos a actuar sobre \( p^3 \), que es el menor cubo posible, mediante recubrimientos sucesivos, tendríamos para el primer recubrimiento: \( 3p^2 + 3p + 1 \) = \( 3pz^2 + 3p^2z = 3pz(z - p) \), puesto que los recubrimientos han de provenir de \( 3pz^2 - 3p^2z \), el primer término no es múltiplo de p el segundo si, se puede concluir que \( z^3 \), no se puede descomponer en:\( (z - p)^3 + (p + 1)^3 \),
ahora actuamos sobre \( (p + 1)^3 \), tendríamos: \( 3p^2 + 9p + 7 \), tenemos:\( 3pz(z - p) = 3p^2 + 9p + 7 \)
tenemos:\( 3pz(z - p) = 3p^2 + 9p + 7 \) ,vemos que en el segundo término, dos de sus sumandos son múltiplos de p, entonces p ha de ser múltiplo de 7, así: \( p = 7q \) ,
A vuestra disposición para aclarar cualquier cuestión. Espero haber sido útil a la página y no haber molestado a nadie. nunca ha sido mi intención, si así ha sido pido disculpas.
Cuando digo ordinal, puedo haberme expresado incorrectamente, debería haber dicho que la expresión es la sumatoria entre 1 y p, por lo que a mi modo de ver p, no lo podemos descomponer en factores, porque la sumatoria que nos da la ecuación:\( x^3 = 3py^2 + 3p^2y + p^3 \), carecería de sentido.
Creo que mi exposición sobre exponente 3, abre una puerta nueva un camino, que entre todos podríamos explorar y sacar algo en claro, en un sentido o en otro.
Los protagonismos en este tema amén de innecesarios son contraproducentes para llegar a buen puerto, máxime teniendo tantos insignes matemáticos que lo han intentado, algunos conseguido.
En mi caso no tengo ningún afán de protagonismo, ya he pedido vuestra colaboración si la propuesta de resolución no os parece una tontería.
Ahora acabo de proponer un intento para la proposición contraria, espero y deseo que os toméis la molestia de leerla. Saludos.
Como se manipula p es un punto de discrepancia, das por bueno el intento para ciertos valores de p, mi visión del problema es que a p hay que tratarlo como un todo
lo que implica que se puede elevar a exponente, y hacer otras operaciones, lo que no se puede es factorizar porque ya no estaríamos refiriéndonos al mismo p, porque desvirtuaríamos su procedencia.
Digo nueva porque yo no he visto en este foro o en otros que se utilice. ¿Conoces tu alguno ?
La complejidad de los instrumentos matemáticos empleados para la demostración del profesor Wiles todos los conocemos, no hablemos ya de las demostraciones para exponentes concretos que otros insignes matemáticos han realizado.
No se trata de enmendarle la plana a nadie, siempre procuro utilizar conceptos matemáticos y lo hago para su valoración por los componentes de este foro.
A mi modo de ver la primera valoración se ha de hacer sobre el planteamiento, si está mal planteado, se dice y para qué continuar, he visto en estas páginas hacer planteamientos erróneos, no comentarlos y si hacerlos al desarrollo.
Cuando hablo de protagonismos me refiero a que me da la impresión que algunos, quizás deba también incluirme, estemos en un circuito de carreras a ver quien llega antes y anotarse el punto, pero dicho esto no hay que prejuzgar, no se puede valorar con una intención preconcebida, es cierto que en estos casos alguien tiene que ejercer como abogado del diablo, de otra parte, figura necesaria para esclarecer y dar por buenas las pruebas.
En lo que he leído, en todos los intentos de demostración hechos en estas páginas, las matemáticas utilizadas ( y de eso se trata ) se estudiaban en el bachiller, soy del Plan de estudios de 1957, o a lo sumo en primero de carrera de ciencias.
Ayer hice una propuesta de demostración de la proposición contraria: \( z^3 = x^3 + y^3 \), espero vuestros comentarios. Si puedo indicar mis preferencias os rogaría que comentarais primero si es correcto o no el planteamiento.
HolaQuisiera terminar la propuesta de demostración de la proposición contraria: \( z^3 = x^3 + y^3 \), tendríamos que para los p decubrimientos o decapamientos, quitar a \( z^3 \), capas sucesivas de una unidad de grosor: \( z^3 = (z - p)^3 + 3pz^2 - 3p^2z + p^3 \), se ha de demostrar que: \( 3pz^2 - 3p^2z + p^3 \), es un cubo perfecto.
No se muy bien que quieres decir con "proposición contraria"; pero creo simplemente te refieres a que ahora operas sobre el lado derecho de la igualdad a analizar.
Lo que haces ahí es equivalente a llamar \( x=z-p \). Y como bien dices tienes que comprobar si es posible que:
\( z^3-(z-p)^3= 3pz^2 - 3p^2z + p^3 \)
sea un cubo perfecto (que sería \( y^3 \)). De acuerdo hasta aquí.CitarPara eso vamos a actuar sobre \( p^3 \), que es el menor cubo posible, mediante recubrimientos sucesivos, tendríamos para el primer recubrimiento: \( 3p^2 + 3p + 1 \) = \( 3pz^2 + 3p^2z = 3pz(z - p) \), puesto que los recubrimientos han de provenir de \( 3pz^2 - 3p^2z \), el primer término no es múltiplo de p el segundo si, se puede concluir que \( z^3 \), no se puede descomponer en:\( (z - p)^3 + (p + 1)^3 \),
De acuerdo aquí estudias el caso particular en el que \( y=(p+1)^3 \), es decir, si existen enteros cumpliendo:
\( z^3-(z-p)^3=(p+1)^3 \)
De acuerdo con tu razonamiento. En esencia: el término de la izquierda es divisible por \( p \) pero el de la derecha no. Eso llevaría a \( p=1 \) que es un caso que se descarta trivialmente.Citarahora actuamos sobre \( (p + 1)^3 \), tendríamos: \( 3p^2 + 9p + 7 \), tenemos:\( 3pz(z - p) = 3p^2 + 9p + 7 \)
Aquí no entiendo bien lo que haces. No se que quieres decir con "actuamos" sobre \( (p + 1)^3 \). No estoy seguro de donde sale \( 3p^2 + 9p + 7 \).
Me parece que:
\( 3p^2+9b+7=(p+2)^3-(p+1)^3 \)
pero no se porque lo igualas a \( 3pz(z - p)=z^3-(z-p)^3-p^3 \)
En cualquier caso:Citartenemos:\( 3pz(z - p) = 3p^2 + 9p + 7 \) ,vemos que en el segundo término, dos de sus sumandos son múltiplos de p, entonces p ha de ser múltiplo de 7, así: \( p = 7q \) ,
Es falso que de la ecuación en rojo se deduzca que \( p \) es múltiplo de \( 7 \); al contrario se deduce que \( 7 \) es múltiplo de \( p \):
\( 3pz(z-p)-3p^2-9p=7\quad \Rightarrow{}\quad p\cdot (3z^2-3zp-3p-9)=7 \)
De donde \( p=1 \) ó \( p=7 \). Igualmente esto permitiría analizar fácilmente este caso, pero antes como te dije en mi anterior comentario no me queda claro de donde salió \( 3p^2 + 9p + 7 \) y porqué analizas esta igualdad \( 3pz(z - p) = 3p^2 + 9p + 7 \).CitarA vuestra disposición para aclarar cualquier cuestión. Espero haber sido útil a la página y no haber molestado a nadie. nunca ha sido mi intención, si así ha sido pido disculpas.
Cualquier propuesta o exposición sobre matemáticas es bienvenida en la página y no hay motivo alguno por el cuál pueda molestar a nadie.
Eso si uno hace público un desarrollo matemático en el foro, tiene que ser consciente de que cada cuál será libre de comentarlo o no. Y quien quiere puede argumentar si tal o cual paso lo ve o no correcto.
En mi caso he intentado seguir tus ideas; preguntando cuando no entendía lo que hacías; estando de acuerdo en algunos pasos que has hecho; indicando (razonadamente) matices que son necesarios para que ciertos argumentos sean ciertos. Cuando llega un momento en el que hay algo que no estoy de acuerdo, lo expongo y lo defiendo. Te he indicado una serie de errores y en mi opinión la justificación que has dado no tiene sentido (todo lo referente a "\( p \) es un ordinal") ni refuta ninguna de mis críticas. Entonces si llego a un punto en que ninguno de los dos es capaz de decir nada nuevo al respecto, pues dejo el debate y que cada cuál saque sus conclusiones.
Saludos.
La demostración de un teorema consta de dos partes,
la primera la directa en este caso queremos demostrar que partiendo de:\( x^3 + y^3 \), llegamos a \( z^3 \),sin utilizar \( z \) con lo que la proposición directa estaría demostrada.
la segunda proposición es la recíproca, en este caso partimos de \( z^3 \) y queremos llegar a \( x^3 + y^3 \), sin utilzar ni x, ni y, así se enseñaba en mis tiempos,
de momento tu no lo tienes en cuenta cuando pones que:\( x = z - p \).
Te pediría que pusieras atención en la comprensión de los recubrimientos,
te ayudaría a obtener una visión mas amplia y precisa del Teorema de Fermat para cualquier exponente. así no pondrías \( z^3 - (z - p)^3 = 3pz^2 - 3p^2z + p^3 \), porque vuelves a mezclar las churras con las merinas. Lo correcto es que partiendo de \( z^3 \), mediante p decapamientos llegamos a \( (z - p)^3 \) que podemos identificarle con la x que propusiste.
Recubrimos \( (p + 1)^3 \), mediante recubrimientos de una unidad de grosor obtenemos:\( (p + 1)^2 + (p +1)(p + 2) + (p + 2)^2 = 3p^2 - 9p + 7 \), y no como tu haces aunque se obtenga el mismo resultado, no valen las mezclas.
Bien consideremos la igualdad: \( 3pz(z - p) = 3p^2 - 9p2 + 7 \),
si queremos mantener la igualdad, siendo 7 indivisible, es forzoso que p sea múltiplo de 7 y no 7 múltiplo de p y obtenemos el resultado que ya conoces. El razonamiento lo he continuado para p decapamientos en\( z^3 \)
He intentado aclarar la discrepancia con p, p es en la sumatoria de los recubrimientos el número superior, sumatoria entre 1 y p, no hay mas vueltas de hoja, ¿ como se puede factorizar p en el índice de la sumatoria ?
Cuando utilizas los resultados en tu formulación, como parte integrante de la demostración, aunque sea incorrecto el camino no haces sino confirmar lo correcto de mi razonamiento.
He intentado aclarar mis razonamientos, argumentando su veracidad, los errores que según tu opinión has detectado también los he comentado y corregido en su caso, cosa distinta es que no seamos capaces de rectificar, tanto el interpelado como el que interpela. Saludos.
Me gustaría que te pronunciaras sobre la veracidad o no del planteamiento, porque si esta mal es innecesario seguir, razonar sobre algo erróneo no tiene sentido.
La demostración de un teorema siempre se hace de la misma forma,
demostrando la doble implicación,
damos por cierta la premisa de entrada, trabajamos sobre ella y concluimos sobre la veracidad o no de lo supuesto, es decir, poner en práctica lo que nos enseñaron sobre tesis e hipótesis. Todos los teoremas se pueden demostrar de la misma forma,
como sabes la reducción al absurdo, consiste en probar que una proposición es verdadera probando que si no lo fuera nos llevaría a una contradicción
Yo no utilizo ese método.
El enunciado que utilizo es en este caso que la suma de dos cubos no es otro cubo. En general:\( x^n + y^n = z^n \)
Que \( x = z - p \), no lo puedes inferir, utilizando solo \( x^3 + y^3 \), es un resultado, suponiendo que z, p, sean enteros.
Dices que los recubrimientos no sirven de nada y yo te digo que es porque no los comprendes.
Te vuelvo a reiterar que des tu opinión sobre los planteamientos que he hecho para la demostración de la doble implicación:\( x^3 = 3py^2 + 3p^2y + p^3 \), proposición directa. y \( z^3 = (z - p)^3 + 3pz^2 + 3p^2z + p^3 \), proposición recíproca.
Veamos si 7 como dices es múltiplo de p, p es de la forma 7·1, tendríamos \( 3z(z - 7) = 21 + 9 + 1 = 31 \), 31 no se puede descomponer en factores, luego \( z^3 \), no se puede descomponer en suma de dos cubos.
De donde \( p=1 \) ó \( p=7 \). Igualmente esto permitiría analizar fácilmente este caso, pero antes como te dije en mi anterior comentario no me queda claro de donde salió \( 3p^2 + 9p + 7 \) y porqué analizas esta igualdad \( 3pz(z - p) = 3p^2 + 9p + 7 \).
Ya he dicho que el recubrimiento primero sobre \( (p + 1)^3 = (p +1)^2 + (p + 1)(p + 2) + (p + 2)^2 = 3p^2 + 9p + 7 \), de esta manera vamos consolidando recubrimientos, obteniendo: \( (p + 1)^3, (p + 2)^3, (p + 3)^3.., \) así sucesivamente.
La sumatoria no la escribo porque lo he intentado y se me hace un batiburrillo lo escrito, por eso lo digo de palabra.
Quiero decir que cuando se utilizan los resultados obtenidos dándolos por correctos en una demostración, este hecho nos puede desvirtuar o conducir a error en la demostración, es pura lógica matemática.
Factorizar el índice de una sumatoria claro que se puede, pero mi pregunta es si se puede utilizar uno o varios factores en distintas agrupaciones y qué sentido tiene la sumatoria, como quedaría expresada.
En \( x^3 = 3py^2 + 3p^2y + p^3 \), \( x \) es necesariamente de la forma \( x = ap \),
De acuerdo contigo, no siempre acertamos, no siempre nuestro razonamiento es correcto, pero a mi modo de ver, quizás peque de positivismo, si hay algo correcto a partir de ahí podemos construir e inferir algo que nos lleve a probar lo que pretendemos.
Bien, vamos a empezar por el principio, cuando digo que te pronuncies sobre el planteamiento quiero decir exactamente esto: el recíproco del teorema es \( z^3 \) no se puede descomponer en suma de dos cubos.
Para su demostración uso p decapamientos o decubrimientos en \( z^3 \) de una unidad de grosor cada uno.
Realizadas las operaciones obtenemos:\( z^3 = (z - p)^3 + 3pz^2 - 3p^2z + p^3 \),
utilizo a \( p^3 \), como menor cubo posible,
para ahora mediante recubrimientos sobre \( p^3 \), procedentes de \( 3pz^2 - 3p^2z \),
ir acrecentando en una unidad de grosor, sucesivamente a \( p^3 \). sobre esto pido tu opinión.
Cuando contestes iré respondiendo a tus objeciones.
Lo de directo, recíproco, contrarecíproco y contrario, es pura lógica matemática, que al menos a mi me enseñaron en su día, pero dejémonos de discusiones sofistas.
Bien voy a explicártelo de otra manera a ver si lo entiendes. Mira supón que tienes un cubo de arista z, este cubo esta formado por adoquines cúbicos de una unidad de arista, procedemos así: vamos quitando la última capa de adoquines, de las caras, de arista la unidad, procedentes del cubo de arista z y con ellos vamos formando otro cubo. ese es el primer decapamiento o decubrimiento, reiteramos el proceso y obtenemos la expresión que he propuesto. ¿Te queda claro?. Cuando comprendas el proceso, lo dices y continuamos.
Lo de quitar la primera capa de adoquines a \( z^3 \), lo has comprendido, una vez quitada la primera capa nos quedaría \( (z - 1)^3 + 3z^2 - 3z +1^3 \)
decir,, y la igualdad como hemos partido de \( z^3 \) sería:\( z^3 = (z - 1)^3 + 3z^2 - 3z + 1^3 \)
, y es sobre \( 1^3 \) , donde vamos a sumar \( 3z(z - 1) \), ¿ como podemos sumar ? mediante recubrimientos a \( 1^3 \),
el primer recubrimiento será 7 y entonces hacemos que \( 3z(z - 1) = 7 \),
vemos que 7 no se puede descomponer en factores luego la igualdad es imposible.
Se puede dar el caso que nos sobren adoquines después de recubrir con 7 adoquines \( 1^3 \), tendríamos en este caso consolidado \( 2^3 \), procederíamos igual, recubrimos \( 2^3 \), con 19 que es el valor del segundo recubrimiento, obtendríamos \( 3^3 \)
Tampoco hemos de olvidar que la conjetura de Fermat, ahora teorema no se puede resolver por métodos aritméticos , ni algebraicos, ni geométricos puros.
Cuando le quitamos la primera capa a \( z^3 \), el cubo restante es \( (z - 1)^3 \), ahora si le añadimos la primera capa quitada que es \( 3z^2 - 3z +1 \), a \( (z - 1)^3 \) obtendríamos la igualdad \( z^3 = (z - 1)^3 + 3z^2 - 3z + 1 \)
Mira, ese 7, sale de recubrir \( 1^3 \) de la siguiente forma:\( 1^2 + 1·2 + 2^2 \). Si a \( 1^3 \) le sumamos 7 procedente de \( 1^2 + 1·2 + 2^2 \), obtenemos \( 2^3 \)
El segundo recubrimiento se haría sobre \( 2^3 \), de la siguiente forma: \( 2^2 + 2·3 + 3^2 = 19 \).
Citar, y es sobre \( 1^3 \) , donde vamos a sumar \( 3z(z - 1) \), ¿ como podemos sumar ? mediante recubrimientos a \( 1^3 \),
No se que es "sumar mediante recubrimientos \( 1^3 \)". Aún así te voy a decir lo que entiendo de los que pones despuésCitarel primer recubrimiento será 7 y entonces hacemos que \( 3z(z - 1) = 7 \),
Entiendo que ese \( 7 \) sale de \( 2^3-1^3 \), es decir, estás igualando:
\( 3z(z-1)=2^3-1^3 \)
es decir:
\( 3z(z-1)+1^3=2^3 \)
es decir:
\( z^3-(z-1)^3=2^3 \)
es decir estas analizando si tiene solución entera:
\( z^3=(z-1)^3+2^3 \).Citarvemos que 7 no se puede descomponer en factores luego la igualdad es imposible.
Bien.CitarSe puede dar el caso que nos sobren adoquines después de recubrir con 7 adoquines \( 1^3 \), tendríamos en este caso consolidado \( 2^3 \), procederíamos igual, recubrimos \( 2^3 \), con 19 que es el valor del segundo recubrimiento, obtendríamos \( 3^3 \)
Aquí suponqo que ese \( 19 \) sale de \( 19=3^3-2^3 \) pero no se exactamente que entiendes por "proceder igual", ¿cómo procedemos?. Ni por el "valor del segundo recubrimiento". Ni siquiera sé EXACTAMENTE qué es el "segundo recubrimiento". Así que ya no sigo hasta aclararlo..
No olvidemos que para sumar potencias hemos de utilizar Recubrimientos.
Estamos analizando si con los adoquines de la primera capa quitada a \( z^3 \), podemos construir un cubo perfecto.
Estamos en la misma situación, vuelves a mezclar y a utilizar resultados indebidamente, tenemos \( 1^3 \), imagínate un cubo de arista la unidad, no te olvides que partimos de\( 1^3 \), ahora vamos a recrecerle: en una cara de 1·1 ponemos un adoquín de una unidad de arista, tendremos:1.1.1, en otra cara que ya le hemos adicionado una unidad, necesitaremos dos adoquines, que siguen teniendo una unidad de grosor, con lo que tendremos: 1·1·2, ahora para acrecentar la cara que queda necesitaríamos cuatro adoquines de una unidad de arista y tendremos:2·2·1
que puestos simplificadamente: \( 1 + 1·2 + 2^2 \),¿ te das cuenta que lo que tu haces \( 2^3 - 1^3 = 7 \) aunque obtengas el mismo resultado es incorrecto?. medita y recapacita a ver si logras comprender los recubrimientos. No se como decirte que no manipules las ecuaciones, que aunque el resultado sea el mismo desvirtúas la demostración. Otra vez te digo que no que lo que haces es incorrecto, 19 proviene de recubrir \( 2^3 \), que ya esta consolidado, de la siguiente manera: en una cara de 2·2, necesitamos 4 adoquines de una unidad de grosor en la otra cara necesitaríamos tres filas de dos adoquines de una unidad de grosor, en la otra cara tres filas de tres adoquines de una unidad de grosor y tendríamos: \( 1·2·2 + 2·3·1 + 3·3·1 \), que puesto simplificadamente tendríamos: \( 2^2 + 2·3 + 3^2 \), que es el mismo resultado que se obtiene: \( 3^3 - 2^3 \), que es lo que haces, da el mismo resultado pero de manera incorrecta.
Tengo curiosidad de ver como sumas \( 5^3 + 7^3 \), sin recubrimientos.
Estamos considerando el primer recubrimiento sobre \( 1^3 \), tenemos:\( 1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·2 \), quedaría:\( 1^3 + 1^2·2 + 1·2^2 \), Esta expresión no la puedes obtener con \( 2^3 - 1^3 \), el resultado es el mismo la forma no y la forma es fundamental porque el Teorema no considera iguales a: \( 1, 1^2, 1^3..,1^n \), porque representan figuras geométricas distintas. ¿ has comprendido porqué no es correcto lo que haces ?
Yo creo que en esto te entiendo. Tu consideras un cubo de lado \( n \) formado por \( n^3 \) cubitos (adoquines) \( 1\times 1\times 1 \).
En el ánimo de formar un cubo de lado \( n+1 \) le añades_
- Una cara de lado \( n\times n \) (es decir un bloque \( n\times n\times 1 \)). Con lo cual ahora tenemos un prisma de tamaño \( n\times n\times (n+1) \).
- Luego otra cara de lado \( n\times (n+1) \) (es decir un bloque \( 1\times n\times (n+1) \)). Con lo cual ahora tenemos un prisma de tamaño \( (n+1)\times n\times (n+1) \).
- Y finalmente añadimos otra cara de lado \( (n+1)\times (n+1) \) (es decir un bloque \( (n+1)\times 1\times (n+1) \)). Con lo cual ahora tenemos un prisma de tamaño \( (n+1)\times (n+1)\times (n+1) \): un cubo de lado \( n+1 \).
Entonces en total hemos añadido:
\( n^2+n(n+1)+(n+1)^2 \) cubitos (o adoquines como le llamas tu).
Ahora bien lo que es irrefutable es que:
\( n^2+n(n+1)+(n+1)^2=(n+1)^3-n^3 \)
Por tanto si quiero hablar de el número de cubitos que añado es equivalente e igualmente correcto decir que añado \( n^2+n(n+1)+(n+1)^2 \) adoquines o \( (n+1)^3-n^3 \) adoquines.
Es más dado que esas caras que dices que añades no lo haces al azar, sino intentado construir a partir del cubo de lado \( n \) un cubo de lado \( n+1 \) tiene todo el sentido geométrico también decir que añadimos \( (n+1)^3-n^3 \).
Y esto, francamente no lo veo ni discutible. Si sigues defendiendo que no es lo mismo poner:
\( 2^3-1^3 \) que \( 2^2+2\cdot 1+1^2 \)
es tu problema.
De todas formas por ahora no veo que trascendencia puede tener esto. Las dos expresiones son equivalentes y en cualquier momento uno puede pasar de una a la otra; si el algún momento, ves muy decisivo escribir \( n^2+n(n+1)+(n+1)^2 \) en lugar de \( (n+1)^3-n^3 \) dímelo.
Lo que haces es lo normal, después extraes la raíz cúbica de 468 y en paz.
te digo que es una aproximación por racionales a un número real, el primer recubrimiento sobre \( 7^3 \) es: 169, si quitamos todas las capas a \( 5^3 \), su suma sería 125. Ahora dividimos 125 entre 169 y lo sumamos a 7, lo que da la calculadora, sin agotar los decimales: 7' 73964497, así nos evitamos extraer la raíz.
Vamos a centrarnos en el tema, para poder seguir avanzando.
La cosa es que todavía no me has contestado a lo fundamental. No se para que haces todo esto.
No hay peor sordo que el que no quiere oír.
Si después de todo lo escrito no entiendes aún el proceso y cual es su intención, ocurren dos cosas o no puedes por falta de entendimiento, de comprensión del método que estoy exponiendo
que lo dudo o tu perjuicio y tu miedo a lo desconocido son tan grandes que te impiden razonar con claridad.
Deberías repasar tus conocimientos sobre aproximación racional a los números reales y no despachar como haces siempre: descalificar alegremente y sin fundamento.
He ido desarrollando el método a pesar de las objeciones que has puesto todas rebatidas con argumentos
, y las reiteras una y otra vez de una forma u otra de manera cansina, empecinado en mantener unos argumentos que no resisten el mas mínimo análisis lógico.
El siguiente paso era rebatirte con argumentos matemáticos tu también reiterado "libre de cuadrados" pero visto lo visto me parece estar hablando con una pared maestra, no das opción a ello.
Mira cuando el ejemplo de \( 5^3 + 7^3 \), lo hice con toda intención de una parte saber el grado de tu comprensión sobre los recubrimientos de otra tratar de desvelar y comprender tu comportamiento. Me encuentro que lo primero que dices que es una mala aproximación y te pregunto ¿ conoces otra ? si es así e ruego que nos ilustres.
Ese es el problema, que para ti, según mi opinión, detallar es darle vueltas a la misma idea,
te voy a poner otro ejemplo, basado en el concepto de "siguiente" aplicado a los Naturales, veamos el siguiente de 1 es 2, el siguiente de 2 es 3, si detenemos el proceso ¿ podemos decir \( 4 - 3 = 1 \),
Seguiremos si me sigues prestando atención, por lo que te estoy agradecido, con "libre de cuadrados".
Veamos mi pregunta fue: tengo curiosidad.., tu respuesta su suma 468 y extraemos la raíz cúbica y en paz dije yo. ¿ Para que haces eso ? , pues simplemente para saber de tu comprensión en el manejo de los recubrimientos.
Las cuentas en la calculadora en el contexto en el que estamos no proceden, en cuanto al método de Newton - Raphson si es a este al que te refieres, no es de utilidad en este caso.
Cuando te pongo el ejemplo del "siguiente", no estoy tratando de definir los naturales, ni su suma ni su diferencia, simplemente quiero indicarte y ya lo he hecho en repetidas ocasiones, que lo que no esta definido no se puede utilizar, aunque lo conozcas. \( n^2 + n(n + 1) + (n + 1)^2 \), todos sabemos que también es el resultado de \( (n + 1)^3 - n^3 \), ya te he indicado una y otra vez el porqué de no poderlo hacer. Un ejemplo casero: no es lo mismo llamar a la puerta que ir a abrir, el resultado es el mismo: nos encontramos en la puerta, pero uno va del interior de la casa a la puerta y el otro va de fuera a la puerta y nosotros estamos en el interior.
Dije que no se podía seguir indefinidamente recubriendo \( 1^3, 2^3.., \), para el recubrimiento de orden q, le corresponde el valor de \( 3q^2 + 3q + 1 \),
tendríamos que \( 3z(z - 1) = 3q(q+ 1) + 1 \),
obteniendo: \( 3z^2 - 3z + 1 \) tendríamos:\( 3z(z- 1) = 3z(z- 1) + 1 \),
por lo que podemos concluir que \( z^3 \), no se puede descomponer de la forma:\( (z - 1)^3 + q^3 \)
Bien, ahora respetamos el orden. Al recubrimiento 12, que no esta libre de cuadrados le corresponde como valor del recubrimiento 469, ¿ como aplicarías en este caso " libre de cuadrados ". Saludos.
La cosa es mucho más concreta. En un momento dado tu has afirmado:En \( x^3 = 3py^2 + 3p^2y + p^3 \), \( x \) es necesariamente de la forma \( x = ap \),
y te explicado varias veces y de diferentes formas (incluido contrajemplos) que ese "necesariamente de la forma \( x = ap \)" es FALSO en general.
Para de \( x^3 = 3py^2 + 3p^2y + p^3 \) poder deducir que NECESARIAMENTE \( x=ap \), hace falta que \( p \) sea libre de cuadrados. Punto.
veamos: \( x^3 = 3py^2 + 3py + p^3 \), es la ecuación de partida. para visibilizar de manera mas concreta el proceso vamos a darle valores a \( x, y \), por ejemplo sea \( x = 7, y = 8 \), tendríamos : \( 7^3 = 192p + 24p + p^3 \), ahora consideremos el primer recubrimiento, \( p = 1 \), su valor \( 217 \), en este caso \( p \), no puede tomar el valor 2, porque directamente la igualdad no sería posible, si\( p = 3 \), el valor de la sumatoria es decir el valor del primero, segundo, y tercer recubrimiento sobre \( 8^3 \) es: \( 819 \), en este caso el valor de la sumatoria de recubrimientos sería mayor que \( 7^3 \), con lo que el proceso finalizaría. la pregunta que siempre te he hecho es como aplicas en este ejemplo el libre de cuadrados.
Tenemos la expresión \( x^3 = 3py^2 + 3p^2y + p^3 \), donde \( p \) es el el número de orden del recubrimiento y \( 3py^2 + 3p^2y + p^3 \), es el valor de la suma de recubrimiento desde uno a \( p \), con lo que el libre de cuadrados habría que aplicarse por un lado a \( p \) y de otro a la suma.
he puesto un ejemplo sin afán probatorio, simplemente para visualizar.
Pones un contra-ejemplo: \( p = 4 \), obtienes \( x^3 = 3·4y^2 + 3·4^2y + 4^3 = 4(3y^2 + 3·4y + 4^2) \), dices que \( x \), puede ser múltiplo solo de \( 2 \), entonces \( x^3 \), es de la forma \( x = 2t \), tendríamos \( 8t^3 = 4(3y^2 + 3·4y + 4^2) \), \( 2t^3 = 3y^2 + 3·4y + 4^2 \), en el segundo término dos sumandos múltiplos de \( 2 \), el otro no, lo que hace necesariamente que \( y \), sea múltiplo de \( 2 \), así: \( y = 2f \), entonces \( 2t^3 = 3·4f^2 + 3·2·4f + 4^2 \)
y \( t^3 = 3·2f^2 + 3·4f + 8 \), lo que hace que t sea múltiplo de \( 2 \), \( t = 2s \), \( 8s^3 = 3·2g^2 + 3·4g + 8 \), \( 4s^3 = 3g^2 + 3·2g + 4 \) lo que hace que \( g \), sea múltiplo de \( 2 \), \( g = 2q \), tendríamos: \( 4s^3 = 3·4q^2 + 3·4q + 4 \) ó \( s^3 = 3q^2 + 3q + 1 \), a esta expresión no se le puede aplicar "libre de cuadrados".
Cierto lo que dices pretender,
Pones un contra-ejemplo y sobre el hago mi razonamiento, lo detienes donde te parece
Vuelvo a decirte que estas equivocado, ya has visto que tu razonamiento en tu contra-ejemplo también lo esta y cualquier otro que pongas.
La finalidad de los ejemplos no es demostrar, sino que visualices los recubrimientos para una mejor comprensión.
Te has de dar cuenta que \( p \), no lo puedes factorizar porque desvirtúas la suma es decir la vacías de contenido, vamos a ver si me explico y tu me comprendes, has puesto un ejemplo para \( p = 4 \), si consideramos la suma de recubrimientos para \( p = 4 \), tenemos \( 7, 19, 37, 61 \), su suma \( 124 \), factorizas \( p = 2·2 \), podemos escoger para el primer factor \( 7 + 19 =26 \), para el segundo factor \( 37 + 61 = 98 \), pero el primer factor es igual al segundo luego la suma de recubrimientos ha de ser igual y no lo son esto implica que \( p \) no admite factorización, este razonamiento se puede hacer con carácter general.
¿ Me he explicado bien ?, ¿has comprendido ?
CitarDije que no se podía seguir indefinidamente recubriendo \( 1^3, 2^3.., \), para el recubrimiento de orden q, le corresponde el valor de \( 3q^2 + 3q + 1 \),
El recubrimiento de orden \( q \) es el número de adoquines que habría que añadir a \( q^3 \) para llegar a \( (q+1)^3 \), es decir, \( 3q^2 + 3q + 1 \) . Confírmamelo para fijar al menos las cosas en las que si estamos de acuerdo.Citartendríamos que \( 3z(z - 1) = 3q(q+ 1) + 1 \),
No entiendo de donde sale esa igualdad.
A la izquierda está \( 3z(z-1)=z^3-(z-1)^3-1^3 \) a la derecha \( 3q^2+3q+1 \), que son los adoquines que añadiríamos a \( q^3 \) para conseguir \( (q+1)^3 \).
Es decir la ecuación \( 3z(z - 1) = 3q(q+ 1) + 1 \), equivale a \( z^3-(z-1)^3-1^3=(q+1)^3-q^3 \). ¿De acuerdo?
No entiendo porque analizas esa ecuación. ¿Me lo puedes explicar?Citarobteniendo: \( 3z^2 - 3z + 1 \) tendríamos:\( 3z(z- 1) = 3z(z- 1) + 1 \),
Tampoco entiendo porque iguales \( 3z(z-1)=z^3-(z-1)^3-1^3 \) a \( 3z(z-1)+1=z^3-(z-1)^3 \). ¿Me lo puedes explicar?Citarpor lo que podemos concluir que \( z^3 \), no se puede descomponer de la forma:\( (z - 1)^3 + q^3 \)
Dado que no he entendido lo anterior, no entiendo tampoco esta conclusión.
[...]
P.D. He marcado en negrita mis preguntas o los puntos donde necesito aclaración.
por eso si que se puede hacer \( x =ap \).
He razonado con generalidad en mis exposiciones tanto en el intento de demostración del problema directo como en el recíproco.
Dices yo no creo que esto sirva ni de lejos para.., y te quedas tan tranquilo, sin aportar argumento alguno que no sea rebatible, como lo he hecho una y otra vez,
por lo que me da la impresión y es mas diría que estoy casi seguro que los prejuicios menoscaban tu raciocinio.
Dices: puedes continuarlo.., veo que no pones atención a lo que digo, que tu ejemplo lo he continuado transformándole en \( s^3 = 3q^2 + 3q + 1 \), mi pregunta como aplicas el "libre de cuadrados" a esta expresión, tu callada como respuesta.
\( x^3 + y^3 = z^3 \), la transformé en otra ecuación en \( c \), la resolví y tu callada como respuesta.
Otra vez los recubrimientos, yo razono así: tenemos \( x^3 + y^3 = z^3 \), ahora vamos a sumar \( x^3 \) a \( y^3 \) de la siguiente manera: primer recubrimiento: \( y^2 + y(y + 1) + (y + 1)^2 \), segundo recubrimiento: \( (y + 1)^2 + (y + 1)(y + 2) + (y + 2)^2 \) y en p recubrimientos obtenemos: \( 3py^2 + 3p^2y + p^3 \), de acuerdo que se obtiene la misma expresión haciendo: \( (y + p)^3 - y^3 \), esta última no nos aporta nada para la visión del problema. A esto me refiero cuando digo visión completa.
En \( x^3 = 3py^2 + 3p^2y + p^3 \), \( x \) es necesariamente de la forma \( x = ap \), que puedan existir otras factorizaciones no desvirtúan la que he propuesto. Entonces \( x^3 = a^3p^3, así: a^3p^3 = 3py^2 + 3p^2y + p^3, así: a^3p^2 = 3y^2 + 3py + p^2 \), ahora en el segundo término tenemos dos sumandos múltiplos de p lo que hace necesario que \( y^2 \), también lo sea, entonces podemos hacer: \( y = pq, obtenemos: a^3p^2 = 3p^2q^2 + 3p^2q + p^2 \), que nos da la expresión propuesta: \( a^3 = 3q^2 + 3q + 1 \), en algún comentario anterior dije que las soluciones habría que buscarlas en el último recubrimiento.
Ahora consideramos que: \( a>q, a<q, a=q \) así \( a = q + b, a = q - b, a = q \),sustituimos en cada caso y obtenemos las ecuaciones propuestas haciendo \( q = c + (b - 1), q = c - (b + 1), q = b \), respectivamente y resolvemos. Saludos.
Puedes afirmar a priori que \( p =4t \) y a posteriori te he demostrado que no se puede hacer, en mi anterior comentario tienes la demostración, repásala que es fácil de comprender si la lees con atención y detenimiento, verás que con muy poquito que pongas de tu parte la comprendes.
He intentado que vayas de lo particular a lo general, sabiendo que los ejemplos particulares solo demuestran su caso, con mi único afán de conseguir que comprendiendo lo particular des el paso a comprender la exposición general.
Veo que dominas el arte de copiar, cortar y pegar,
además del de ocultar que amén de ser bonito y práctico no resuelve el problema.
Espero tu contestación clara y concisa sobre lo que te he dicho
y demostrado en el ejemplo que pusiste de la imposibilidad de factorizar \( p \). Si hay algo de la demostración que no comprendas señálalo de manera precisa, que iremos paso a paso.
has puesto un ejemplo para \( p = 4 \), si consideramos la suma de recubrimientos para \( p = 4 \), tenemos \( 7, 19, 37, 61 \)
, su suma \( 124 \).
, factorizas \( p = 2·2 \), podemos escoger para el primer factor \( 7 + 19 =26 \), para el segundo factor \( 37 + 61 = 98 \),
pero el primer factor es igual al segundo luego la suma de recubrimientos ha de ser igual
¿ Me he explicado bien ?, ¿has comprendido ? por eso si que se puede hacer \( x =ap \).
No dudo de tu honestidad intelectual pero a veces me asaltan dudas sobre mi capacidad explicativa o de tu capacidad comprensiva de este procedimiento.
Partimos de: \( x^3 + y^3 = z^3 \), vamos a demostrar la proposición directa es decir del término de la izquierda pretendemos llegar al de la derecha sin utilizarlo.
Bien, transformamos mediante recubrimientos en \( y^3 \), la expresión \( x^3 + y^3 \) en esta otra: \( x^3 = 3py^2 + 3p^2y + p^3 \), siendo \( p \), el número de recubrimientos necesarios para agotar \( x^3 \)
si \( x, y. p \)son enteros entonces \( z = y + p \), también lo es.
Veamos queremos demostrar que \( z = y +p \), es entero , si es lo que queremos demostrar porqué lo utilizas, es de pura lógica matemática, ¿ es que no entraba en tus planes de estudio ?,
como quieres que te lo diga: que mediante recubrimientos en \( y^3 \), y agotando a \( x^3 \) que es de donde proceden llegamos a \( (y + p)^3 \), ahora se trata de demostrar que siendo \( x, y \), enteros \( p \), también lo es y como consecuencia \( y + p = z \), también lo es, ¿has comprendido?
Veamos el primer recubrimiento sobre \( y^3 \) es: \( y^2 + y(y + 1) + (y + 1)^2 \)
segundo recubrimiento sobre \( (y + 1)^3 \) : \( (y + 1)^2 + (y + 1)(y + 2) + (y + 2)^2 \), así hasta agotar \( x^3 \)
con el recubrimiento de orden \( p \): (y + p -1)^2 + (y + p - 1)(y + p) + (y + p)^2.
Antes de contestarte al porqué de mi afirmación: \( x = ap \), quiero que me confirmes que has comprendido mi razonamiento, de como se van consolidando \( (y + 1)^3, (y + 2)^3.....(y + p -1)^3, (y + p)^3 \), mediante la suma de recubrimientos.
P.D. ¿ es que no entraba en tus planes de estudio ?,
Has comprendido perfectamente tu interpretación es correcta.
Tema \( x = ap \), partimos de la ecuación general \( x^3 = 3py^2 + 3p^2y + p^3 \), dices que \( p \), se puede factorizar
y que \( x \), puede ser múltiplo de un factor de \( p \).
Veamos: \( x^3 = 3py^2 + 3p^2y + p^3 \), \( p \) admite la factorización: \( p = a·b \). con \( a, b \), primos entre si, dices que \( x \) puede ser múltiplo de un factor de \( p \), entonces \( x = aq \),
Veamos: \( p = ab \), sabemos que \( p \), es el número de orden del recubrimiento, si tomamos en este caso a \( a \), como número de orden del recubrimiento obtenemos: \( 3ay^2 + 3a^2y + a^3 \), ahora consideramos el de orden b :\( 3by^2 + 3b^2y + b3 \), la suma de los valores de los recubrimientos de orden \( a, b \), ha de ser igual al de orden p, tenemos: \( x^3 = 3py^2 + 3p^2y + p^3 \), \( x^3 = 3(a + b)y^2 + 3(a^2 + b^2)y + a^3 + b^3 \), comparando: \( p = a + b \), \( p^2 = a^2 + b^2 + 2ab \), pero \( p^2 = a^2 + b^2 \), constatamos que la igualdad es imposible, podemos concluir que \( p \) no admite factorización. Saludos.
He leído tu contestación, quisiera antes de responderte que meditaras que: la ecuación general es la transcripción algebraica de una construcción geométrica y como tal hay que analizarla.
Dices: \( x^3 = a^3q \), entonces \( x = a\sqrt[3 ]{q} \), \( t = \sqrt[3 ]{q} \), \( t \) no es entero en todos los casos.
Dices: \( x^3 = a^3t^3 \), \( x = xt \), si \( t= p \), es la expresión que propuse
Sino comprendes la geometría de la ecuación: \( x^3 = 3py^2 + 3p^2y + p^3 \), ó \( z^3 = (z - p)^3 + 3pz^2 - 3p^2z + p^3 \) es imposible que puedas comprender el procedimiento.
Estoy perplejo contigo, la disyuntiva es o no entiendes o no quieres entender, le das vueltas al mismo asunto en un sin sentido continuo.
Otra vez los recubrimientos, yo razono así: tenemos \( x^3 + y^3 = z^3 \), ahora vamos a sumar \( x^3 \) a \( y^3 \) de la siguiente manera: primer recubrimiento: \( y^2 + y(y + 1) + (y + 1)^2 \), segundo recubrimiento: \( (y + 1)^2 + (y + 1)(y + 2) + (y + 2)^2 \) y en p recubrimientos obtenemos: \( 3py^2 + 3p^2y + p^3 \), de acuerdo que se obtiene la misma expresión haciendo: \( (y + p)^3 - y^3 \), esta última no nos aporta nada para la visión del problema. A esto me refiero cuando digo visión completa.
En \( x^3 = 3py^2 + 3p^2y + p^3 \), \( x \) es necesariamente de la forma \( x = ap \) (*), que puedan existir otras factorizaciones no desvirtúan la que he propuesto. Entonces \( x^3 = a^3p^3, así: a^3p^3 = 3py^2 + 3p^2y + p^3, así: a^3p^2 = 3y^2 + 3py + p^2 \), ...
Partimos de \( x + y \), sumamos \( x \) a \( y \), mediante segmentos de una unidad de longitud, sean \( p \) la suma y el número de todos los segmentos de una unidad de longitud procedentes de \( x \), tendremos \( y + p \), \( z = y + p \), como \( p \) agota a \( x \), \( z = y + x \), esta ecuación tiene infinitas soluciones. La pregunta obligada ¿ tiene sentido factorizar \( p \), Hemos definido el producto de segmentos ?
Continuamos para exponente \( 2 \), partimos de \( x^2 + y^2 \), vamos a proceder a su suma, para ello consideramos un cuadrado de lado \( y \), al cual vamos a incrementar un lado en un segmento de longitud \( p \), el incremento en superficie sería \( yp \), en el otro lado actuamos de la misma forma: \( (y + p)p \), la suma de ambos recubrimientos (superficies) es: \( 2py + p^2 \), este incremento de superficie en \( y^2 \), nos proporciona un nuevo cuadrado de lado \( y + p \) y como los incrementos de superficie proceden de \( x^2 \), podemos transcribir algebraicamente las operaciones geométricas: \( x^2 = 2py + p^2 \). la pregunta de siempre ¿ como factorizas \( p \). Hemos definido el producto ?
\( 3py^2 + 3p2y + p^3 \), en esta expresión todos los monomios tienen el mismo exponente \( 3 \), que la igualamos a \( x^3 \), todos con el mismo exponente, que es el espacio de trabajo. ¿ Has comprendido ?
Te he expuesto ejemplos sencillos para ver si consigo que comprendas y entiendas las ecuaciones generales y que no las desligues de su procedencia.
Para ti es algo vago y difuso por que no entiendes. no comprendes la esencia del teorema,
te he dicho que el exponente \( n \), nos condiciona y limita las operaciones aritméticas, que no se pueden realizar operaciones que nos saquen del espacio condicionado por el exponente en el que trabajemos.
Te he dado una indicación precisa cuando he hecho referencia al grado de los monomios de \( 3py^2 + 3p^2y + p^3 \).
Debes de adecuar tus operaciones aritméticas a lo expuesto.
Te estoy diciendo una y otra vez y de maneras distintas, como abordar el Teorema, las consecuencias las he expuesto una y otra vez, mas concreción es imposible ,al menos para mi, lo que hace falta es que pienses y medites sin tasa de tiempo.
Vuelves a equivocarte debido a tu falta de comprensión del Teorema, el exponente es el condicionante que nos obliga a resolver en el marco, en el espacio por él determinado.
Lo que digo es que de:
\( x^3 = 3py^2 + 3p^2y + p^3=p(3y^2+3py+p^2) \)
lo que se puede afirmar es que \( x^3 \) es múltiplo de\( p \), es decir, \( x^3=pq \). ¿Y qué pasa con \( x \) sin elevar al cubo?. Pues por ejemplo si \( p=a^3 \), tendríamos que \( x^3=a^3q \) y entonces \( x=at \) para algún \( t \) entero. Entonces:
\( x^3 = 3py^2 + 3p^2y + p^3 \)
\( a^3q=3a^3y^2+3a^6y+a^9 \)
\( q=3y^2+3a^3y+a^6 \)
\( q=3y^2+3py+p^2 \)
y ya no funciona el tipo de argumentos que estás usando porque en esa igualdad hay sólo dos términos múltiplos de \( p \) pero \( q,3y^2 \) por separado no lo son, así que ya no puedes afirmar nada sobre que \( y \) sea o no múltiplo de nada conocido y lo que intentabas hacer ya no funciona.
Parece que no me he expresado bien o tu no me has comprendido, cuando te digo que el producto de dos segmentos en una línea recta, que como sabemos tiene dimensión \( 1 \), nos traslada a dimensión \( 2 \), al plano, pero entonces no es una operación interna en el espacio en el que nos desenvolvemos que es de dimensión \( 1 \), luego esa operación aritmética no es válida
, aunque esa perfectamente válida en otros ámbitos de aplicación. ¿Esta claro?
Es importantísimo, te digo que ese comentario es producto de tu incomprensión del Teorema, si en algunas de tus operaciones no conservas el grado, la operación no es válida, te sales fuera de la dimensión de trabajo.
Que la teoría algebraica de los números enteros es conocida por todos, pero de todas las operaciones posibles que se puedan realizar, solo son válidas aquellas que no obliguen a cambiar de dimensión.
El exponente es el que nos.., y no lo entiendes, te olvidas continuamente que la ecuación general no es sino la transcripción algebraica de una construcción geométrica y ¿ dónde se hacen las construcciones geométricas ? en el espacio y ¿ quién nos condiciona la dimensión del espacio ? el exponente. ¿queda claro ?
¿Qué quieres decir con que esa operación no es válida? Si \( a,b,c \)son los lados de un triángulo rectángulo se cumple que:
\( a^2+b^2=c^2 \)
Son longitudes al cuadrado. ¿Eso impide que \( c \) pueda tener cubos en su factorización, que \( c=5\cdot 2^3 \) por ejemplo?. No no lo impide.
¿Impide que yo pueda manipular esa ecuación.. yo que sé elevándola al cubo?.
\( (a^2+b^2)^3=(c^2)^3 \)
Obviamente no.
Entonces soy incapaz de encontrar un sentido coherente a la cita que he marcado en rojo.
A ver si es verdad que.., dices a ver que pasa con x sin elevar al cubo, no entiendo que quieres decir, prosigues y haces: \( x^3 = a^3q \), ¿tu crees que un cubo admite esa factorización sin condicionar \( q \) ?,
.Dices: \( x^3 = a^3q \), entonces \( x = a\sqrt[3 ]{q} \), \( t = \sqrt[3 ]{q} \), \( t \) no es entero en todos los casos.
Pero \( q \) podría ser un cubo, es decir, simplemente \( p=a^3 \) y \( x^3=a^3t^3 \).
No entiendo esa respuesta. No se si me has entendido. Lo que he marcado en rojo no corresponde a lo que digo. Lo que digo es que si \( p=a^3 \) (no \( p=t \)) y \( x^3=a^3t^3 \) entonces lo que te queda es:
\( x^3 = 3py^2 + 3p^2y + p^3 \)
\( a^3t^3=3a^3y^2+3a^6y+a^9 \)
\( t^3=3y^2+3a^3y+a^6 \)
\( t^3=3y^2+3py+p^2 \)
y ya no funciona el tipo de argumentos que estás usando porque en esa igualdad hay sólo dos términos múltiplos de \( p \) pero \( t^3,3y^2 \) por separado no lo son, así que ya no puedes afirmar nada sobre que \( y \) sea o no múltiplo de nada conocido y lo que intentabas hacer ya no funciona.
luego llegas a la conclusión \( q = 3y^2 + 3py + p^2 \), con lo que llegas a solucionar el Teorema porque siempre existen \( y, p \), que hagan posible la solución en\( Z+ \), lo que es una afirmación abundante.
Que quieres decir con.., pones el ejemplo de un triángulo, factorizas la hipotenusa, y lo pones como contraejemplo a lo que te he dicho muchas veces que \( p \), no se puede factorizar y utilizar los factores independientemente y es que no entiendes nada.
Otro sin sentido para ti, por tu incomprensión, te puse una vez como ejemplo cuando se trabaja en dimensión \( 1 \), \( x + y \), si queremos adicionar a \( y \), segmentos de una unidad de longitud procedentes de \( x \), hasta agotarla tendríamos \( y + p \), entonces \( x = p \), ahora te pregunto si factorizas \( p \), por ejemplo \( p = ab \), y aplicas un factor primero por ejemplo \( a \), tendríamos: \( y + a \) y después el segundo\( b \), habría que multiplicar los recubrimientos,\( (y + a)(y + b) \),
Espero no haberme dejado nada sin contestar ni salirme por los cerros de Úbeda.
No has contestado a.., no concretas ye he dicho que la factorización que utilizas \( x^3 = a^3q \),es errónea y te he dicho porqué, das la callada por respuesta[/color],
CitarA ver si es verdad que.., dices a ver que pasa con x sin elevar al cubo, no entiendo que quieres decir, prosigues y haces: \( x^3 = a^3q \), ¿tu crees que un cubo admite esa factorización sin condicionar \( q \) ?,
Si, basta tomar \( q=t^3 \). Esto ya te lo había explicado aquí:
.Dices: \( x^3 = a^3q \), entonces \( x = a\sqrt[3 ]{q} \), \( t = \sqrt[3 ]{q} \), \( t \) no es entero en todos los casos.
Pero \( q \) podría ser un cubo, es decir, simplemente \( p=a^3 \) y \( x^3=a^3t^3 \).
Y más ampliamente aquí:No entiendo esa respuesta. No se si me has entendido. Lo que he marcado en rojo no corresponde a lo que digo. Lo que digo es que si \( p=a^3 \) (no \( p=t \)) y \( x^3=a^3t^3 \) entonces lo que te queda es:
\( x^3 = 3py^2 + 3p^2y + p^3 \)
\( a^3t^3=3a^3y^2+3a^6y+a^9 \)
\( t^3=3y^2+3a^3y+a^6 \)
\( t^3=3y^2+3py+p^2 \)
y ya no funciona el tipo de argumentos que estás usando porque en esa igualdad hay sólo dos términos múltiplos de \( p \) pero \( t^3,3y^2 \) por separado no lo son, así que ya no puedes afirmar nada sobre que \( y \) sea o no múltiplo de nada conocido y lo que intentabas hacer ya no funciona.
que la consecuencia de tu factorización y que tu mismo desarrollas conduce a la demostración del Teorema, al proponer una igualdad que se cumple para cualquier valor de \( q, p, y \), das la callada por respuesta
Continúo respondiéndoteCitarluego llegas a la conclusión \( q = 3y^2 + 3py + p^2 \), con lo que llegas a solucionar el Teorema porque siempre existen \( y, p \), que hagan posible la solución en\( Z+ \), lo que es una afirmación abundante.
No; eso es un error grave por tu parte. Las ecuaciones que vamos derivando son implicaciones que se derivarían de la existencia de una solución de la ecuación de Fermat con enteros; de forma que si en esa cadenas implicaciones llegamos a un imposible, probaríamos que es imposible la existencia de tal solución. Pero llegar a ecuaciones posibles no lleva a nada.
Por ejempo de \( z^3=x^3+y^3 \) llamando \( a=z^3 \), se tiene que \( a=x^3+y^3. \)
Si fuese imposible que existiesen enteros \( a,x,y \) verificando \( a=x^3+y^3 \), también sería imposible que existiesen enteros \( z,x,y \) verificando \( z^3=x^3+y^3 \). Pero obviamente no es el caso; Si existen enteros \( a,x,y \) verificando \( a=x^3+y^3 \) y eso simplemente no nos dice nada a favor o en contra de la existencia de soluciones de \( z^3=x^3+y^3 \)..
como tantas veces, te he dicho que lo que propones es una igualdad abundante por utilizar un calificativo no rimbombante como te gusta decir, que no respondes a lo de los espacios generados por el exponente, debes de responder de manera concreta
El exponente es el que nos.., y no lo entiendes, te olvidas continuamente que la ecuación general no es sino la transcripción algebraica de una construcción geométrica y ¿ dónde se hacen las construcciones geométricas ? en el espacio y ¿ quién nos condiciona la dimensión del espacio ? el exponente. ¿queda claro ?
Pues así no acabaremos nunca. No no queda claro- Te digo que CONCRETES que restricciones EXACTAMENTE impone según tú el hecho de que trabajemos con un determinado exponente. Te puse un ejemplo con exponente \( 2 \):¿Qué quieres decir con que esa operación no es válida? Si \( a,b,c \)son los lados de un triángulo rectángulo se cumple que:
\( a^2+b^2=c^2 \)
Son longitudes al cuadrado. ¿Eso impide que \( c \) pueda tener cubos en su factorización, que \( c=5\cdot 2^3 \) por ejemplo?. No no lo impide.
¿Impide que yo pueda manipular esa ecuación.. yo que sé elevándola al cubo?.
\( (a^2+b^2)^3=(c^2)^3 \)
Obviamente no.
Entonces soy incapaz de encontrar un sentido coherente a la cita que he marcado en rojo.
y clara a las cuestiones que te he planteado y no tirar balones fuera, si no se sabe se pide ayuda, que es lo que yo hago cuando ignoro o no comprendo algo.
Nuevamente agradecido por desearme suerte, no se si deseártela también aunque por tu manera de expresarte, puede que lo consideres un agravio.
Siempre haces lo mismo, copiar y pegar y no contestar de manera concreta, la cerrazón de ideas, la soberbia y la prepotencia son muy malas consejeras en cualquier aspecto de la vida, en matemáticas mas.
Si estas ante algo nuevo, como es este caso, que desconoces se pregunta y solucionado el asunto, a nadie se le caen los anillos por hacerlo, bueno tanto como a nadie.., y para terminar el discurso has de saber que mas sabe el tonto en su casa que el listo en la ajena. Iré exponiendo sino hay censura, mis ideas sobre el Teorema, para cualquier exponente, esperando respuesta tuya o de cualquier otro forista, pero por favor abstenerse palmeros.
P.D. También puede ocurrir, y de hecho seguro que es así, que pienses que soy yo en que no entiende o que no tiene sentido lo que yo digo. Bueno, ante eso poco puedo hacer. Mi consejos serían:
1) que buscases otra opinión.
2) que te decidieses a escribir completa, en detalle y sin fisuras en un sólo documento tu propuesta de demostración para \( n=3 \) y de nuevo quizá someterla a la opinión de otras personas.
Yo no tengo inconveniente en seguir debatiendo pero sólo si veo que surge algo nuevo. Si damos vueltas en círculo, lo dejo.
No convirtamos una simple discusión matemática en algo personal.
El error fundamental está en pensar, cómo yo pensé en su día (1), que la geometría podía aportar algo diferente al álgebra y buscar en esa diferencia la solución al Teorema. Tardé más de un año en darme cuenta de mi error. Absolutamente "todo" en geometría tiene su traducción algebraica.
Sino comprendes la geometría de la ecuación: \( x^3 = 3py^2 + 3p^2y + p^3 \), ó \( z^3 = (z - p)^3 + 3pz^2 - 3p^2z + p^3 \) es imposible que puedas comprender el procedimiento.
Vuelves a equivocarte debido a tu falta de comprensión del Teorema, el exponente es el condicionante que nos obliga a resolver en el marco, en el espacio por él determinado.
Parece que no me he expresado bien o tu no me has comprendido, cuando te digo que el producto de dos segmentos en una línea recta, que como sabemos tiene dimensión \( 1 \), nos traslada a dimensión \( 2 \), al plano, pero entonces no es una operación interna en el espacio en el que nos desenvolvemos que es de dimensión \( 1 \), luego esa operación aritmética no es válida, aunque esa perfectamente válida en otros ámbitos de aplicación. ¿Esta claro?
Que la teoría algebraica de los números enteros es conocida por todos, pero de todas las operaciones posibles que se puedan realizar, solo son válidas aquellas que no obliguen a cambiar de dimensión.
Termino con una cosa en la que estaremos de acuerdo los dos: Para los que no somos matemáticos, ni físicos, ni doctores en ciencias (como es por lo menos mi caso), aquí se viene a aprender, no a dar lecciones magistrales. ¿Está Vd. de acuerdo?
Bien dicho esto te voy a poner esta expresión para que la comentes; Para exponente \( 3 \), cualquier cubo se puede expresar como recubrimientos sucesivos al cubo unidad. \( 1^3 + 7 + 19 + 37 + 61 + .., + 3x^2 + 3x + 1 \), , en este caso obtendríamos \( x^3 \).
He ahí donde surge la discrepancia en esa expresión que propones : \( 1^3 + (2^3 - 1)^3 + (3^3 - 2^3) + .., \), yo utilizo el material de que dispongo y no uso expresiones del tipo.\( 2^3 - 1^3 \), para obtener el número de cubos de una unidad que se necesitan para recubrir \( 1^3 \), sino que utilizo esta otra: \( 1^2 + 1·2 + 2^2 \), que son los cubos de una unidad de arista que se necesitan para recubrir las tres caras del cubo \( 1^3 \) que para mi nos indica como debemos seguir avanzando sin utilizar lo que no está definido. Esta manera de proceder, al menos para mi me proporciona una visión mas adecuada en el espacio tridimensional en el que nos desenvolvemos. Cosa distinta es que no le encuentres sentido.
Por tu último comentario: creo que te he contestado, no debes de seguir por ese camino de tachar a las personas de falta de educación; aún conociéndolas, supone falta de respeto, y sin conocerlas es mas grave, porque unes a la falta de respeto. el anonimato. Espero tus disculpas.
Vamos a sumar \( x^3 \) a \( (x + 1)^3 \), mediante recubrimientos sobre \( (x + 1)^3 \), para eso calculamos el primer recubrimiento: \( (x + 1)^2 + (x +1)(x +2) + (x + 2)^2 = 3x^2 + 9x + 7 \), ahora suponemos que ese primer recubrimiento agota a \( x^3 \), entonces podemos establecer la igualdad: \( x^3 = 3x^2 + 9x + 7 \)
Resolvemos la ecuación \( x^3 - 3x^2 - 9x - 7 \), eliminamos el término en \( x^2 \), mediante el cambio de variable: \( x = c + 1 \), obtenemos: \( c^3 - 12c - 18 = 0 \), hacemos otro cambio de variable: \( c = u + v \), tenemos dos ecuaciones \( u^3 + v^3 - 18 = 0 \) y \( 3uv - 12 = 0 \), resolviendo: \( v^6 - 18v^3 + 4^3 = 0 \), hacemos otro cambio de variable \( t = v^3 \) tenemos: \( t^2 - 18t + 4^3 \), resolvemos la ecuación cuadrada: \( t = 9 \pm \sqrt[2 ]{17} \), obtenemos un valor de \( t \)
no entero, luego podemos afirmar que \( x^3 + (x + 1)^3 = z^3 \), \( z \), no es entero.
Llevas razón, debería haber dicho que no existe un valor entero se \( x \), que haga posible la ecuación, en contra de lo supuesto y por ende \( z \) tampoco lo es.
Si te parecen correctas mis explicaciones, podemos pasar al caso general \( x^3 + y^3 \), de otra manera distinta aunque equivalente a la que expuse y que suscitó tanta controversia con el concepto "libre de cuadrados", para intentar soslayarlos. Saludos.
Antes pedí su opinión porque si existen errores de planteamiento, no tiene objeto seguir con el desarrollo.
Esto solo ha sido un ejemplo un ejercicio, para tener constancia que al menos para este caso concreto, \( x \) no es entero.
En el caso: \( x^3 + (x + 2)^3 \), se sigue el mismo procedimiento y obtendríamos la ecuación: \( x^3 - 3x^2 - 15x - 19 = 0 \), que se resolvería del mismo modo, o utilizando los divisores enteros del término independiente., en ambos casos se constata que \( x \) no es entero, por lo que podemos concluir que \( z \), tampoco lo es.
Así se podría seguir indefinidamente, ahora nuestro objetivo es conseguir una ley de recurrencia, para poder generalizar y pasar de casos concretos a una ecuación general que sirva como solución a:\( x^3 +y^3 \)., bien para eso disponemos los datos de la siguiente forma:
\( x^3 + (x + 1)^3 \), \( x^3 - 3x^2 - 9x -7 = 0 \), \( x = c + 1 \), obtenemos \( c^3 - 12c - 18 = 0 \)
\( x^3 + (x + 2)^3 \), \( x^3 - 3x^2 - 15x - 19 = 0 \) \( c^3 - 18c - 36 = 0 \)
\( x^3 + (x + 3)^3 \), \( x^3 - 3x^2 - 21x - 37 = 0 \) \( c^3 - 24c - 60 = 0 \)
\( x^3 + (x + 4)^3 \), \( x^3 - 3x^2 - 27x - 61 = 0 \), \( c^3 - 30c - 90 = 0 \)
\( x^3 + (x + t)^3 \), \( x^3 - 3x^2 - 3(2t + 1)x - 3t^2 + 3t + 1 = 0 \) \( c^3 - 6(t + 2)c - 3(t + 2)(t + 3) = 0 \)
Si. El caso concreto es: \( x^3+(x+1)^3=(x+2)^3 \).
Pero eso no incluye \( x^3+(x+1)^3=z^3 \), para cualquier entero \( z \). No me dices claramente si estás o no de acuerdo en eso; en que no has descartado otros valores enteros de \( z \) distintos de \( x+2 \).
He dicho, supongamos que \( 3x^2 + 9x + 7 \), agota a \( x^3 \), entonces establecemos la igualdad \( x^3 = 3x^2 + 9x + 7 = 0 \), ahora podemos suponer que no la agota y actuamos sobre \( x^3 + (x + 2)^3 \) y el mismo razonamiento supongamos que \( 3x^2 + 15x + 19 \), agota a \( x^3 \) de nuevo establecemos la ecuación \( x^3 = 3x^2 + 15x + 19 = 0 \) y así hasta \( x^3 + (x + t)^3 \). que nos daría la expresión general. Esta claro que con cada una de las expresiones vamos consolidando \( (x +1)^3, (x + 2)^3, ......., (x + t - 1)^3 \)
Pasemos a la correción de errores de lo que he expuesto. Saludos.
: dividía el encerado en tres partes, en la primera parte y arriba escribía hipótesis debajo datos ciertos conocidos, en la segunda división del encerado: datos auxiliares, obtenidos a partir de los datos ciertos de la hipótesis, comprobados y dados como buenos, en la ultima división del encerado, la tesis y un enorme signo de interrogación, La Meta, a la que se llega pero no se conoce. y la que no podemos utilizar. Este es el esquema que sigo, voy a ser claro y conciso ¿ esta de acuerdo con el esquema de la demostración ? .Saludos.
Para mi el esquema es preciso y concreto además de rígido, es decir que si no se siguen sus pautas es imposible la demostración de cualquier teorema.
El mensaje también es claro, dijo Fermat que la suma de dos cubos no es otro cubo, hipótesis, datos ciertos disponemos de dos cubos, sobre ellos hay que trabajar y olvidarnos del otro cubo de \( z^3 \), que es el signo de interrogación.
a veces tengo la sensación que mezclas conceptos, que utilizas datos auxiliares no contrastados dándolos por ciertos.
Si nos ceñimos ambos al esquema puede que lleguemos a buen puerto, tu con la corrección de errores, cosa que agradezco y yo poniendo mis pocos conocimientos al servicio de la demostración.
Vamos a concretar otro concepto, para la demostración, considero a \( x^3, y^3 \), como cubos formados por el conjunto de todos sus cubos unitarios. Que utilizando los cubos unitarios de \( x^3 \) y mediante Recubrimientos sobre \( y^3 \), vamos formando, capas sucesivas sobre las caras de \( y^3 \) si al final del proceso. una vez consumido \( x^3 \) la última capa esta completa entonces \( (y + t)^3 \), siendo \( t \), la última capa, es un cubo perfecto y como consecuencia, que es lo que queremos demostrar:\( (y + t)^3 = z^3 \) y la arista \( z \), también lo sería. en ningún momento utilizo \( z \), ni de manera indirecta.
x^3+y^3=(y+t)^3
Dios me libre de pensar que no sabes lo que es una demostración
Lo que si te rogaría es que sigamos este esquema sin mezclar reducciones al absurdo.
Dicho esto te pido de nuevo tu conformidad.
Hay recuerdos que se quedan grabados de manera indeleble, también decía que el esquema tan rígido de demostración era para evitar marrullerías, como utilizar lo definido en la definición.
No es una pérdida de tiempo, antes bien sirve para clarificar ideas y evitar las afirmaciones que haces: \( x^3 + (x + 1)^3 = (x + 2)^3 \)
Vamos a sumar \( x^3 \) a \( (x + 1)^3 \), mediante recubrimientos sobre \( (x + 1)^3 \), para eso calculamos el primer recubrimiento: \( (x + 1)^2 + (x +1)(x +2) + (x + 2)^2 = 3x^2 + 9x + 7 \), ahora suponemos que ese primer recubrimiento agota a \( x^3 \), entonces podemos establecer la igualdad: \( x^3 = 3x^2 + 9x + 7 \),
Si hay marrullerías cuando se pretende demostrar un teorema y no se siguen las reglas impuestas por la lógica matemática.
Para 1, 2,3, NO, tu resuelves la ecuación \( x^3 + y^3 = z^3 \),
1) \( 3x^2 + 9x + 7=(x+2)^3-(x+1)^3 \). ¿De acuerdo o no?
2) Por tanto \( x^3 = 3x^2 + 9x + 7 \) es equivalente a \( x^3=(x+2)^3-(x+1)^3 \). ¿De acuerdo o no?
3) \( x^3=(x+2)^3-(x+1)^3 \) es equivalente a \( x^3+(x+1)^3=(x+2)^3 \). ¿De acuerdo o no?.
y utilizas indistintamente \( x, y, z \) a conveniencia que a priori, se puede afirmar todo o negar todo, sobre las variables, y eso no es demostrar el teorema, es simplemente resolver una ecuación.
¿ Que distingue una cosa de otra ? Este matiz: por seguir con el ejemplo, yo llego a \( 3x^2 + 9x + 7 \), con el primer recubrimiento sobre \( (x + 1)^3 \), \( (x + 1)^2 + (x + 1)(x + 2) + (x + 2)^2 \), y tu utilizas \( (x + 2)^3 - (x + 1)^3 \), el resultado es el mismo el camino distinto., pero mi propuesta demuestra el teorema
a tuya resuelve una ecuación
Por ponerte un ejemplo figurativo: si me doy un rodillazo en la pared, tu no distingues si la rodilla ha ido hacia la pared o la pared a la rodilla. Espero que te sirva de aclaración. Saludos,
Vamos a ver que consideramos por teorema, para mi un teorema es una proposición deducida mediante premisas aceptadas como verdaderas.
Quiero demostrar un teorema, dispongo como premisas \( x^3, y^3 \), del que me dicen que son dos cubos perfectos, es decir de arista entera, cual es la proposición deducida que su suma no es otro cubo perfecto, no es de arista entera, es decir que mediante las premisas de que dispongo he de llegar a la proposición de deducida: a una conclusión.
Que en tu corrección de errores no actúas sobre las premisas y sus datos derivados, para ver si las operaciones son correctas, sino que introduces proposiciones de tu cosecha a las que pretendes dotar de capacidad probatoria, fuera de toda lógica.
Citar¿ Que distingue una cosa de otra ? Este matiz: por seguir con el ejemplo, yo llego a \( 3x^2 + 9x + 7 \), con el primer recubrimiento sobre \( (x + 1)^3 \), \( (x + 1)^2 + (x + 1)(x + 2) + (x + 2)^2 \), y tu utilizas \( (x + 2)^3 - (x + 1)^3 \), el resultado es el mismo el camino distinto., pero mi propuesta demuestra el teorema
¿Qué quieres decir con "demuestra el Teorema"? ¿EXACTAMENTE según tú qué se supone que has demostrado cuando pruebas que \( x^3=3x^2+9x+7 \) no tiene soluciones enteras?.
No obstante dime que entiendes por teorema, porque dado tus comentarios talvez estamos refiriéndonos a conceptos distintos..
¿ Que distingue una cosa de otra ? Este matiz: por seguir con el ejemplo, yo llego a \( 3x^2 + 9x + 7 \), con el primer recubrimiento sobre \( (x + 1)^3 \), \( (x + 1)^2 + (x + 1)(x + 2) + (x + 2)^2 \), y tu utilizas \( (x + 2)^3 - (x + 1)^3 \), el resultado es el mismo el camino distinto., pero mi propuesta demuestra el teorema, la tuya resuelve una ecuación,
estoy haciendo una propuesta de demostración del Teorema para exponente tres, no he dicho que haya demostrado el Teorema eso lo dices tu y tu sabrás con que intención lo dices.
dicho esto también te digo que no son de mi agrado, los que hacen seguidismo sin tener pensamiento propio, ni los palmeros ni los guardias de corps. Saludos.
Consideramos el primer caso: \( x^3 + x^3 \), el primer recubrimiento sobre \( x^3 \) sería para la primera cara \( x^2 \), para la segunda cara \( x(x + 1) \), para la última cara \( (x + 1)^2 \), todas ellas de una unidad de grosor, entonces el primer recubrimiento es: \( 3x^2 + 3x + 1 \), si este recubrimiento agota a \( x^3 \), se puede establecer la igualdad \( x^3 = 3x^2 + 3x + 1 \), se resuelve la ecuación, bien utilizando los divisores del término independiente o de manera directa, de ambas formas \( x \), no es entero, por lo tanto \( x^3 + x^3 \), no es entero y como consecuencia \( z \) tampoco lo es.
Ahora hemos consolidado el primer recubrimiento y actuamos sobre \( (x + 1)^3 \), recubrimos \( (x + 1)^3 \), obtenemos \( 3x^2 + 9x + 7 \), razonamos si este recubrimiento agota a \( x^3 \), establecemos la igualdad \( x^3 = 3x^2 + 9x + 7 \), resolvemos de la misma forma, obtenemos que \( x \), no es entero y por lo tanto \( z \),tampoco lo es.
Podemos establecer una recurrencia para los recubrimientos, considerando \( (x + t)^3 = y^3 \), \( 3x^2 + 3(2t + 1)x + 3t^2 + 3t + 1 \), \( x^3 = 3x^2 + 3(2t + 1)x + 3t^2 + 3t + 1 \),
que podemos transformar, mediante el cambio de variable \( x = c + 1 \), en \( c^3 - 6(t + 1)c - 3(t + 1)(t + 2) = 0 \), que resolviendo según lo establecido obtenemos que para que la raíz cuadrada de \( 9t^2 + 4t + 4 \) , tenga solución entera con lo que \( 9t^2 + 4t + 4 \), ha de ser un cuadrado perfecto, el único valor posible de t = 3/2, se puede concluir que \( x \) no es entero y por lo tanto \( x^3 + (x + t)^3 \),
No me he debido de expresar bien, cuando digo que se agota \( x^3 \), quiero decir que hemos utilizado todos su cubos unitarios en formar el primer recubrimiento, es decir hemos aumentado en una unidad la arista de \( x^3 \), obteniendo \( (x + 1)^3 \), entonces \( (x + 1)^3 = z^3 \), o lo que es lo mismo \( (x + 1) = z \) y terminaríamos el razonamiento al obtener un valor entero de \( z \), pero para que eso sea así ha de suceder que \( x^3 = 3x^2 + 3x + 1 \), que como sabemos esta ecuación no tiene solución entera, luego es falso lo que hemos supuesto que \( z \), sea entero, pero hemos consolidado \( (x + 1)^3 \) y ahora actuamos de la misma forma, recubriendo \( (x + 1)^3 \),que se agota \( x^3 \), al recubrir \( (x + 1)^3 \), entonces hemos aumentado en una unidad la arista de \( (x + 1)^3 \), con lo que \( (x + 2)^3 = z^3 \)
Estamos en el proceso de demostración. Ahora consideramos el \( t \) recubrimiento, si este recubrimiento agota a \( x^3 \), es decir que se utilizan todos los cubos unitarios de \( x^3 \), entonces \( (x + t)^3 = z^3 \) ó \( (x + 1) = z \), pero para que esto ocurra ha de suceder también que \( x^3 = 3x^2 + 3(2t + 1)x + 3t^2 + 3t + 1 \), si esta ecuación tiene solución entera podemos afirmar que \( (x + t) = z \), en caso contrario \( z \) no es entero. Para el estudio de la ecuación propongo un cambio de variable \( x =c + 1 \), sobre las ecuaciones parciales \( x^3 = 3x^2 + 3x + 1 \), que se transforma en \( c^3 - 6c - 6 = 0 \), \( x^3 = 3x^2 + 9x + 7 \), que se transforma en \( c^3 - 12c - 18 \), \( x^3 = 3x^2 + 15x + 19 \), transformada en \( c^3 - 18c - 36 \).., podemos establecer la ley de recurrencia: \( c^3 - 6(t + 1)c - 3(t +1)(t + 2) = 0 \), para \( t \) mayor o igual que 0.
Cuando dices que \( x^3 + (x +t)^3 = z^3 \), tengo la impresión que no has entendido mi argumento, te voy a poner un ejemplo de andar por casa como las matemáticas que utilizo, si yo quiero sumar \( 5 \) a \( 25 \), actúo así: \( (5 + 25) \), lo que he hecho es integrar a \( 5 \) en \( 25 \), \( 30 \), \( 5 \), desaparece, entonces \( 30 = z \) y no vuelvo a considerar \( 5 + 30 \) porque eso es otra cosa distinta. Espero haberme explicado bien. continuaremos con tu petición de explicaciones, cuando comentes lo que acabo de decirte.
Este procedimiento se basa en dos conceptos: integración - consolidación de recubrimientos y siguiente. Cuando en el inicio sumamos \( x^3 \) a \( x^3 \) razonamos así: supongamos que con el primer recubrimiento se agota o se consume totalmente \( x^3 \), entonces \( x + 1 = z \) es un entero, pero para eso se ha de cumplir que la ecuación \( x^3 = 3x2 + 3x + 1 \), tenga solución entera, comprobamos que no luego \( z \), no es entero, entonces integramos y consolidamos en \( x^3 \), el primer recubrimiento y obtenemos \( (x + 1)^3 \)
Dices, básicamente tu razonamiento esta mal, es tu opinión , sin ningún argumento que la avale
Ya que hablas de los adoquines te voy a poner un ejemplo a ver si logras entenderlo, consideremos dos cubos formados por adoquines unitarios y queremos sumarlos,( en la construcción se sabe mucho de este proceso), lógicamente empezaremos apilando capas sucesivas de adoquines sobre las caras de uno al otro, capa tras capa vamos consolidando, \( (x +1)^3, (x + 2)^3, (x + 3)^3 \) y así continuamos hasta agotar, el cubo que queremos sumar, ahora te pregunto, si las capas interiores están completas, por construcción ¿ donde se ha de buscar, para averiguar si la última capa esta completa?
Contestaré a tu reseñado en rojo, pero antes quiero que me confirmes si has entendido mi comentario anterior y si estás de acuerdo o no. Digo esto para evitar nuevas dispersiones que nos enredan y nos hacen perder el hilo del razonamiento.
Se que es a mi a quien corresponde la carga de la prueba, pero convendrás conmigo que si no se entiende el argumento es muy difícil que para tu compresión pueda probar nada.
Porque es precisamente que en esos conceptos de siguiente y consolidación - integración, en los que me baso para fundamentar mi método. Consolidar quiere decir que las capas: \( (x + 1)^3, (x + 1 + 1)^3.., \), están en el interior de \( (x + t)^3 \), que están completas
ahí no se puede buscar la solución.
Veamos si nos entendemos, con lo de integrar - consolidar y la solución esta en el último recubrimiento, quiero decir exactamente esto: cuando propuse la ecuación general \( x^3 = 3py^2 + 3p^2y + p^3 \) estamos considerando los \( p \) recubrimientos de ellos habrá \( (p - 1) \) que estén en el interior es decir que estén integrados - consolidados y el último recubrimiento este en el exterior , estas ideas son aunque sean ingenuas conceptos geométricos, que aplicadas a la ecuación la simplifican y nos ayudan a resolverla, en este caso procedemos así: \( 3(p - 1)y^2 + 3(p - 1)^2y + (p - 1)^3 \), si ha esta expresión se la restamos a \( 3py^2 + 3p^2y + p^3 \), obtenemos después de hacer la transformación \( p = t + 1 \), \( 3y^2 + 3(2t + 1) + 3t^2 + 3t + 1 \) y la ecuación seria: \( x^3 = 3y^2 + 3(2t + 1)y + t^2 + 3t + 1 \), hemos utilizado los conceptos integración - consolidación y la solución esta en el último recubrimiento.
Siempre respondo a tus preguntas, intento no repetirme, dándote explicaciones que comportan la utilización de expresiones como así ha sido el caso con la ecuación general que no es ni mas ni menos que la transformada de \( x^3 + y^3 \), hablas de la ecuación de Fermat, cuando sabes que Fermat no propuso ecuación alguna en el enunciado de su conjetura, esa es tu obsesión y el origen de tus errores.
Yo no hago abstracciones sobre las variables \( x^3, y^3 \) privándolas de su cualidad principal que es el volumen tangible que lo utilizo para la obtención de mis expresiones, bien sea cuando propuse las ecuaciones basadas en los conceptos integración - consolidación y siguiente,
3) Que importa que hayas usado los conceptos de consolidación, integración y recubrimiento si al final se trata de estudiar:
\( x^3+y^3=(y+p)^3 \)
que es justo la ecuación de Fermat llamando \( p=z-y \).
¿Qué consecuencia matemática EXACTA tiene y porqué haber usado esos "conceptos" de "consolidación, integración y recubrimiento"?.
para decirte que si existe solución entera esta hay que buscarla resolviendo la ecuación \( x^3 = 3x^2 + 3(2t + 1)x + 3t^2 + 3t + 1 \), para que vieras que esta ecuación también se puede obtener de la ecuación general \( x^3 = 3py^2 + 3p^2y + p3 \), sin mas que considerar el significado de \( p \) que es el número de recubrimientos y \( 3py^2 + 3p^2y + p^3 \), su valor, propongo una resolución y me dices que estoy en un error por que no contemplo lo de libre de cuadrados, para que te dieras cuenta que el error lo cometes tu, propuse una transformación de la ecuación general donde es imposible aplicar el "libre de cuadrados",
Veamos si nos entendemos, con lo de integrar - consolidar y la solución esta en el último recubrimiento, quiero decir exactamente esto: cuando propuse la ecuación general \( x^3 = 3py^2 + 3p^2y + p^3 \) estamos considerando los \( p \) recubrimientos de ellos habrá \( (p - 1) \) que estén en el interior es decir que estén integrados - consolidados y el último recubrimiento este en el exterior , estas ideas son aunque sean ingenuas conceptos geométricos, que aplicadas a la ecuación la simplifican y nos ayudan a resolverla, en este caso procedemos así: \( 3(p - 1)y^2 + 3(p - 1)^2y + (p - 1)^3 \), si ha esta expresión se la restamos a \( 3py^2 + 3p^2y + p^3 \), obtenemos después de hacer la transformación \( p = t + 1 \), \( 3y^2 + 3(2t + 1) + 3t^2 + 3t + 1 \) y la ecuación seria: \( x^3 = 3y^2 + 3(2t + 1)y + t^2 + 3t + 1 \), hemos utilizado los conceptos integración - consolidación y la solución esta en el último recubrimiento.
Tienes que decir si entiendes y comprendes lo que digo, pero de manera clara señalando punto por punto lo que no comprendas.
Ahora no me digas que no contesto a tus preguntas , que ahí tienes mi respuesta explicitada.
Yo creo que es mas importante ir resolviendo con tu contribución
las cuestiones puntuales que vayan surgiendo y una vez solventadas dar el siguiente paso que es dar a conocer mi propuesta de demostración para exponente \( 3 \).
Entras en bucle, ya te he dicho que yo se de tus conocimientos matemáticos por tus comentarios y nada mas, te he dicho también cual es mi opinión respecto a ellos,, mis respuestas razonadas a tus " reparos", las he expuesto una y otra vez, de una manera y de otra, recibo siempre la misma respuesta, que tiene para mi el valor de quien la emite y ningún otro con fundamento matemático
como según tu soy una persona in genua
y lo reconozco por cuanto estoy abierto a cualquier idea
dicho esto y si te sirve como novedad quisiera saber como demuestras el Teorema de Pitágoras, no es cuestión baladí, así terminaré de formar mi opinión sobre ti
y no caeré en el error de calificar lo que desconozco.
Tus respuestas no tienen valor matemático alguno, carecen de fundamento lógico, hablas de ecuación de Fermat cuando es falso que en el enunciado de su conjetura Fermat se refiriera a ecuaciones, inventos tuyos que te conducen acometer errores de bulto, pero en fin allá tú, lo que he deducido por tus comentarios y me reafirmo en ello, dado que no te has atrevido a hacer tu demostración del Teorema de Pitágoras es que tus conocimientos de la Conjetura de Fermat son mas bien escasos e insuficientes para que puedas emitir una opinión mínimamente válida.
Saludos y como siempre si en algo he ofendido, no ha sido esa mi intención y pido disculpas.
Bien, dije que en la ecuación : \( x^3 = 3py^2 + 3p^2y + p^3 \), p no se podía descomponer en factores sin que la ecuación se desvirtúe, que pierda su significado. Veamos: Esta ecuación se puede transformar en: \( \displaystyle\frac{x^3 - p^3}{3p} = y(y + p) \), Consideramos la primera parte de la ecuación que ha de ser un número entero positivo. Sabemos que cualquier número entero positivo se puede expresar bien de la forma, \( x = 0 + 3t, x = 1 + 3t, x = 2 + 3t \), con \( t \), positivo. Entonces \( p \), ha de tener la misma forma que \( x \), podemos considerar llamando a: \( x = 0 + 3t = A, 1 + 3t = B, 2 + 3t = C \), el producto y suma, estableciendo sus tablas correspondientes. Las consecuencias son videntes. Voy a poner un ejemplo consideremos una \( x \), perteneciente al conjunto B, para \( t = 9 \), obtenemos \( x = 28 \), los valores de \( p \), han de ser \( 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25 \), nos da valores enteros para \( p = 1, 4, 7, 16 \), pero \( 28 \) es múltiplo de \( 2 \), la expresión \( \displaystyle\frac{28^3 - 2^3}{6} \), no es un número entero, la consecuencia es que no todos los submúltiplos de \( x \), o factores de \( p \), hacen que la expresión de referencia sea un número entero.
Lo que digo es que de:
\( x^3 = 3py^2 + 3p^2y + p^3=p(3y^2+3py+p^2) \)
lo que se puede afirmar es que \( x^3 \) es múltiplo de\( p \), es decir, \( x^3=pq \). ¿Y qué pasa con \( x \) sin elevar al cubo?. Pues por ejemplo si \( p=a^3 \), tendríamos que \( x^3=a^3q \) y entonces \( x=at \) para algún \( t \) entero. Entonces:
\( x^3 = 3py^2 + 3p^2y + p^3 \)
\( a^3q=3a^3y^2+3a^6y+a^9 \)
\( q=3y^2+3a^3y+a^6 \)
\( q=3y^2+3py+p^2 \)
y ya no funciona el tipo de argumentos que estás usando porque en esa igualdad hay sólo dos términos múltiplos de \( p \) pero \( q,3y^2 \) por separado no lo son, así que ya no puedes afirmar nada sobre que \( y \) sea o no múltiplo de nada conocido y lo que intentabas hacer ya no funciona.
Y digo que \( p \), no se puede descomponer en factores sin que la ecuación se desvirtúe sin que pierda su significado, no que \( p \), sea primo.
Dices rebobinando.., y te vuelvo a sugerir que leas con atención lo que he expresado en mi comentario.
Terminas con \( p = 2^3 = 9 \), supongo que es un error no intencionado.
sigues con \( x = 14, p = 8 \), como contra ejemplo, sin darte cuenta que en este caso también \( x \) y \( p \), responden a la misma forma \( x = 2 + 3t \).
Lo dicho te ruego que leas con atención mi comentario y si quieres te pronuncies sobre su totalidad sin ofuscaciones.
Dices exactamente que conclusión se debe extraer.., dije en su día que \( p \) aún pudiéndose factorizar, sus factores no se pueden utilizar en la resolución de la ecuación propuesta so pena de desvirtuarla o que pierda su significado en contra de lo que en su día propusiste.
Pusiste un contra ejemplo que no es sino hacer que \( x = 2 + 3t \) y \( p \) de la misma forma, lo que corrobora mi argumentario.
Lo que digo es que de:
\( x^3 = 3py^2 + 3p^2y + p^3=p(3y^2+3py+p^2) \)
lo que se puede afirmar es que \( x^3 \) es múltiplo de\( p \), es decir, \( x^3=pq \). ¿Y qué pasa con \( x \) sin elevar al cubo?. Pues por ejemplo si \( p=a^3 \), tendríamos que \( x^3=a^3q \) y entonces \( x=at \) para algún \( t \) entero. Entonces:
\( x^3 = 3py^2 + 3p^2y + p^3 \)
\( a^3q=3a^3y^2+3a^6y+a^9 \)
\( q=3y^2+3a^3y+a^6 \)
\( q=3y^2+3py+p^2 \)
y ya no funciona el tipo de argumentos que estás usando porque en esa igualdad hay sólo dos términos múltiplos de \( p \) pero \( q,3y^2 \) por separado no lo son, así que ya no puedes afirmar nada sobre que \( y \) sea o no múltiplo de nada conocido y lo que intentabas hacer ya no funciona.
Para evitar dispersiones hemos de enmarcar de nuevo las argumentaciones.
Cuando propuse la transformación de la ecuación \( x^3 = 3py^2 - 3p^2y + p^2 \) en \( a^3 = 3q^2 + 3q + 1 \), para proceder
a su resolución argumentaste que la transformación no era posible porque consideraba a \( p \) libre de cuadrados a lo que siguió una larga e improductiva controversia.
Pretendo con este nuevo enfoque reiterar y confirmar mi argumentario que no es otro que una vez fijado \( x, y \), cualquier modificación del valor de \( p \), considerando sus factores, supone alterar el significado de la ecuación puesto que también alteramos los valores de \( x \) o de \( y \) o de ambos.
Vamos a ver que valores de \( x, p \), pueden hacer posible que la ecuación \( x^3 = 3py^2 + 3p^2y + p^3 \),tenga soluciones enteras.
En la expresión \( \displaystyle\frac{x^3 - p^3}{3p} \), supongamos \( x \) impar, \( p \), impar, la expresión no es un valor entero.
Correcta tu apreciación, ya dije que los enteros de la clase A \( x = 3t \), los podemos considerar como el elemento neutro de la suma, entonces no podemos a priori afirmar o negar nada sobre la paridad de la expresión, no obstante tu ejemplo no responde a: \( \displaystyle\frac{x^3 - p^3}{3p} \), con \( x, p \) pertenecientes a \( A \), el número entero resultante ha de ser de la forma \( x^3 - 3^3 \), \( 882 \) no lo cumple. Saludos.