Rincón Matemático

Matemática => Teoría de números => Teorema de Fermat => Mensaje iniciado por: argentinator en 19 Enero, 2009, 03:42 pm

Título: Último teorema de Fermat. Demostración estándar (exclusivamente).
Publicado por: argentinator en 19 Enero, 2009, 03:42 pm
La demostración del Último Teorema de Fermat no ha llegado por la vía sencilla.

El objetivo de este hilo es que entre todos discutamos, paso a paso, la prueba de Wiles, y todas las herramientas de álgebra y teoría de números que sean necesarias para su completa comprensión.

Todos los comentarios que sean ajenos a este objetivo serán borrados automáticamente, y así el hilo podrá seguir abierto para beneficio de todos.

También habrá un thread aledaño a éste, en el que se colocarán los comentarios y conversaciones antiguas que ya no sirvan, o aquellos dichos que tengan poca relación con los cálculos de la prueba misma.

Comentarios del thread "Último teorema de Fermat. Demostración estándar (exclusivamente)." (http://rinconmatematico.com/foros/index.php/topic,53553.msg76210.html#msg76210)


Así que comencemos.

Pierre Fermat dejó anotada en el margen de su ejemplar de Arithmetica de Diofanto la conjetura siguiente:


Fermat dijo tener una prueba maravillosa, pero jamás fue hallada, y durante más de 300 años los matemáticos intentaron probar la conjetura. Esos intentos dieron lugar a fantásticos descubrimientos en teoría de números, y al fin, Wiles en 1995 dio la prueba definitiva, aunque aprovechando todo el bagaje intelectual sembrado por otros matemáticos en estos 3 siglos.

El artículo puede leerse (o bajarse) en su versión original en inglés en la siguiente dirección:
http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/wiles.pdf (http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/wiles.pdf)

Conviene tener a mano la siguiente página web:
http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/ (http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/)

En adelante usaremos la abreviatura UTF (Último Teorema de Fermat).
Usualmente, el UTF se enuncia en todo el anillo de números enteros, del siguiente modo:

 :)

Lo ideal es que la demostración quede completa y clara para todo el mundo, paso a paso.
Se esperan aportes.

________________

Nota importante: Los aportes en este hilo tienen que ser exclusivamente en torno a la historia "oficial" de la prueba del UTF, y esto involucra a los métodos empleados por Fermat, Euler y sus sucesores, hasta llegar a Wiles.

Para discutir demostraciones alternativas, o intentos o ideas o enfoques distintos,
POR FAVOR abrir otro hilo distinto en el subforo del Teorema de Fermat.
Título: Re: Último teorema de Fermat. Demostración estándar (exclusivamente).
Publicado por: argentinator en 19 Enero, 2009, 05:31 pm
Según mi opinión personal, muchas cuestiones intelectuales (no siempre todas) conviene estudiarlas del mismo modo en que fueron surgiendo históricamente, debido a que el grado de comprensión que se fue alcanzando gradualmente a lo largo de los años, es más o menos el mismo proceso que un ser humano individual hubiera llevado a cabo si hubiera podido vivir durante todos esos años.

Así que me parece que empezar directamente por el artículo de Wiles es empezar por lo más difícil, y nos vamos a frustrar.

Voy a usar como guía histórica el artículo siguiente:

From Fermat to Wiles: Fermat's Last Theorem Becomes a Theorem (Israel Kleiner) (http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/kleiner.pdf).


A partir de aquí las cosas se complican.
Así que propongo empezar con estos casos, como para entrar en calor.

En lo que sigue, voy a usar la notación UTF(n)
para indicar el Último Teorema de Fermat en el caso de exponente prefijado n,
y también podemos usar la notación UTF(a,b,c,n) para indicar la desigualdad \( a^n+b^n\neq c^n \).

Antes que nada, unas observaciones sencillas.

Demostración:
Sean \( a, b, c, \) enteros no nulos.
Si n es par, entonces \( a^n+b^n-c^n=\left |{a}\right |^n+\left |{b}\right| ^n-\left |{c}\right | ^n \neq 0 \), pues \( \left |{a}\right| ,\left |{b}\right| ,\left |{c}\right|  \), son positivos.
Podemos suponer, pues, que n es impar.

Si \( a,b,c, \) son todos positivos, entonces \( a^n+b^n\neq c^n \), por hipótesis.
Si \( a,b>0, c<0 \), es trivial que \( a^n+b^n>0> c^n \).
Si \( a>0, b<0,c>0 \), tenemos que \( a^n+b^n - c^n=-( c^n+\left |{b}\right | ^n -   a^n)\neq 0 \), pues \( a,\left |{b}\right| , c \) son todos positivos.

Los demás casos son análogos, salvo algún cambio de signo.
[cerrar]

El significado de esto es que basta pensar en enteros positivos \( a,b,c \).
Sin embargo, creería que esta restricción no se aplica al usar los métodos avanzados.

Demostración:
Supongamos que para ciertos enteros positivos \( a,b,c \), tenemos que \( a^{nk}+b^{nk}=c^{nk} \).
En ese caso, definiendo \( A=a^k,B=b^k, C=c^k \), obtenemos los enteros positivos \( A,B,C \), que satisfacen la igualdad \( A^n+B^n=C^n \).
Pero esto contradice el supuesto UTF(n).
[cerrar]

Sabemos también que, para n = 2 el UTF(2) es falso, debido a la existencia de las infinitas ternas pitagóricas.
Por ejemplo \( 3^2+4^2=5^2 \).

De manera que, para probar el UTF, es suficiente probar el UTF(p), para todo primo p > 2, y para p = 4 (que no es primo),
debido a que todo exponente \( n\geq3  \) es múltiplo de un primo p > 2, o bien de 4.



A continuación procuraré escribir las pruebas de los casos n = 4, 3, 5, 14, 7.
Si alguien más se anima, puede hacerlo también.


Dejo aquí listados enlaces a libros de Ivorra del Castillo, que muchos conocemos por lo ameno y útil de su contenido:

Teoría de Números (Carlos Ivorra del Castillo) (http://www.uv.es/ivorra/Libros/Numeros.pdf)
Álgebra (Carlos Ivorra del Castillo) (http://www.uv.es/ivorra/Libros/Algebra.pdf)

Más de una vez usaré o me basaré en el contenido de estos textos.


Título: Re: Último teorema de Fermat. Demostración estándar (exclusivamente).
Publicado por: argentinator en 19 Enero, 2009, 05:59 pm
En lo que sigue, será útil tener en cuenta lo que ocurre con el caso n = 2.

Ternas Pitagóricas.

Una terna \( (a,b,c) \) de enteros positivos es una terna pitagórica, si se satisface la igualdad


Teorema. Todas las ternas pitagóricas son de la forma \( (a,b,c)=(r^2-s^2,2rs,r^2+s^2) \), donde \( r,s \) son enteros positivos, \( r>s \), \( r,s \) sin factores comunes y de distinta paridad, o bien un múltiplo \( (ka,kb,kc), k\in\mathbb{Z}^+ \) de las anteriores.

La prueba no la voy a escribir por ahora, sin embargo hay abundante bibliografía sobre el tema.
Por ejemplo, se puede consultar el siguiente enlace:
Blog de Antonio Jara: Ternas Pitagóricas (http://axiomaeleccion.blogspot.com.es/2013/05/ternas-pitagoricas-i.html)


En el siguiente desplegable listamos Resultados básicos de Teoría de Números y Divisibilidad.
Los vamos a usar continuamente, así que conviene echarles una ojeada, y revisarlos en caso de duda en algún paso de las pruebas.
Las demostraciones se omiten.
Resultados básicos de Teoría de Números y Divisibilidad
A menos que se diga lo contrario, las letras indicarán números enteros.

Resultados Básicos de Divisibilidad de Enteros.

Dados dos enteros \( a,b \), se dice que \( a \) divide a \( b \), y se denota \( a|b \), si existe otro entero \( k \) tal que \( b=ak \).

  • Para todo \( a \): \( 1|a \), \( -1|a \)
  • Para todo \( a \): \( a|0 \)
  • Para todo \( a \): \( a|a \), \( -a|a \), \( a|-a \).
  • Para todo \( a \): si \( c|a \) entonces \( -c|a \), \( c|-a \).
  • Si \( a|b \) y \( b|c \), entonces \( a|c \).
  • Si \( a|b \) y \( a|c \), entonces \( a|b+c \).
  • Si \( a|b \), entonces, para todo \( k \): \( a|bk \).

Máximo Común Divisor.

Dados dos enteros \( m,n \), tal que al menos uno de ellos es no nulo, existe un máximo entero positivo \( d \) tal que \( d|m \) y \( d|n \). Se dice que \( d \) es el máximo común divisor de \( m \) y \( n \), y se lo denota por \( mcd(m,n) \).

Si \( mcd(m,n)=1 \), se dice que \( m,n \) no tienen factores comunes, o que son coprimos.

  • Algoritmo de División de Euclides. Dados \( a\in \mathbb{Z},m\in\mathbb{Z}^+ \), existen únicos enteros no negativos \( b,r \) tales que:
    \( a=bm+r \), y además \( 0 \leq r < m \).
    El número \( b \) se llama cociente (entero) y el número \( r \) es el resto de la división.

Números Primos.

Un número entero \( p \), distinto de 1 y -1, se dice primo si sus únicos divisores son \( 1,-1,p,-p \).

  • Teorema. Existen infinitos primos positivos.
  • Se denotará \( p_1,p_2,p_3,\dots, \) a la sucesión de primos positivos
  • Teorema Fundamental de la Aritmética. Dado un entero positivo \( m \), existe una única lista de enteros no negativos \( (e_1,e_2,\dots) \), de tal manera que
                       \( \displaystyle m=\prod_{i=1}^\infty p_i^{e_i} \).
    Observemos que a partir de cierto índice \( i_0 \) se debe tener \( e_i=0 \) para todo \( i\geq i_0 \).
  • Lema de Euclides. Si \( p \) es primo, y \( p|ab \), entonces \( p|a \) ó \( p|b \).
  • Teorema. Divisores de una n-potencia de Coprimos son también n-potencias.
    Si \( mcd(v,w) = 1 \) and \( vw = z^n \), entonces existen \( x,y \) tal que \( v = x^n \), \( w = y^n \).

Teoría de Congruencias.

Sea \( m \) un entero positivo. Dados dos enteros \( a,b \), se dice que son congruentos módulo \( m \), si \( m \) divide a \( b-a \), y denotamos este hecho escribiendo \( a\equiv{b}\;(\textsf{mód\ } m) \). En símbolos, tenemos:
  • \( a\equiv{b}\;(\textsf{mód\ } m) \), si, y sólo si,  \( m|(b-a) \)
Una interpretación de esto es que, al dividir por \( m \) tanto a \( a \) como a \( b \), se obtiene el mismo resto.

  • Si al dividir \( a \) por \( m \), se obtiene resto \( r \), entonces \( a\equiv{r}(\textsf{mód\ }m) \).
  • Si \( a\equiv{r}(\textsf{mód\ }m) \), entonces \( a\equiv{r-m}(\textsf{mód\ }m) \).
  • Para cualesquiera enteros \( a,b,c \):
    • \( a\equiv{a}(\textsf{mód\ }m) \)
    • Si \( a\equiv{b}(\textsf{mód\ }m) \), entonces \( b\equiv{a}(\textsf{mód\ }m) \).
    • Si \( a\equiv{b}(\textsf{mód\ }m) \), \( b\equiv{c}(\textsf{mód\ }m) \), entonces \( a\equiv{c}(\textsf{mód\ }m) \).  
  • Para cualesquiera enteros \( a,b,a',b' \), tales que \( a\equiv{a'}(\textsf{mód\ }m) \), \( b\equiv{b'}(\textsf{mód\ }m) \). Se tienen las propiedades algebraicas:
    • \( a+b\equiv{a'+b'}(\textsf{mód\ }m) \)
    • \( ab\equiv{a'b'}(\textsf{mód\ }m) \)
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Por último agregamos una lista de enlaces a otras páginas que pueden resultar de interés.



Título: Re: Último teorema de Fermat. Demostración estándar (exclusivamente).
Publicado por: argentinator en 19 Enero, 2009, 07:08 pm
En el siguiente artículo está la prueba del UTF(4): (El enlace ha caído: no funciona) (http://matesup.utalca.cl/revista/2002/1.pdf)

Voy a reproducirla aquí para quienes quieran tener todo a mano, o por si el enlace cae.

Primero se prueba el siguiente

Teorema. No existen enteros positivos \( a, b, \gamma \), tales que \( a^4+b^4=\gamma^2 \).
Demostración:
Sean \( a,b,\gamma \) enteros positivos sin factores comunes,
y supongamos por el absurdo que satisfacen la igualdad \( a^4+b^4=\gamma^2 \).
Haciendo \( \alpha=a^2,\beta=b^2 \), obtenemos \( \alpha^2+\beta^2=\gamma^2 \).
Esto significa que \( (\alpha,\beta,\gamma) \) es una terna pitagórica. Además es fácil comprobar que \( \alpha,\beta,\gamma \), no pueden tener factores comunes (pues \( a,b,\gamma \) no los tienen).
Inmediatamente, debe cumplirse que existen enteros positivos \( p,q,p>q \), sin factores comunes, y de distinta paridad,
tales que \( \alpha=p^2-q^2 \), \( \beta=2pq \), \( \gamma=p^2+q^2 \).

Analicemos el caso en que \( p \) es impar y \( q \) es par.

La cantidad \( 2pq \) es el cuadrado de un entero (\( =b^2 \)).
Por lo tanto, existen enteros \( u, v \), tales que \( p=v^2,q=2u^2 \).

Como \( \alpha^2+q^2=p^2 \), resulta que \( (\alpha,q,p) \) es otra terna pitagórica,
y así, deben existir enteros positivos \( r,s,r>s \), sin factores comunes, de distinta paridad,
tales que \( \alpha=r^2-s^2 \), \( q=2rs \), \( p=r^2+s^2 \).

Tenemos \( u^2=q/2=rs \), y ahora deben existir enteros positivos \( \rho,\sigma \)
tales que \( r=\rho^2 \), \( s=\sigma^2 \).

Ahora tenemos que
\( \rho^4+\sigma^4=r^2+s^2=p=v^2 \).

Debido a que \( \gamma=p^2+q^2=v^4+q^2 \), y todas las cantidades son positivas,
resulta que \( v \leq v^4<\gamma \).

Por lo tanto, hemos hallado una terna \( (\rho,\sigma,v) \) con \( v<\gamma \), satisfaciendo \( \rho^4+\sigma^4=v^2 \).

Pero esto implica, por el criterio del descenso infinito, que la igualdad original \( a^4+b^4=\gamma^2 \) era falsa.
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Ahora es fácil obtener el UTF(4), por reducción al absurdo:

Si fuese cierto que \( a^4+b^4=c^4 \) para ciertos enteros positivos \( a,b,c \), entonces, definiendo \( \gamma=c^2 \) tendríamos que \( a^4+b^4=\gamma^2 \), lo cual sabemos que no puede ser.


En la prueba del UTF(4) hemos usado el método del descenso infinito.
Lo explicamos y justificamos en el siguiente desplegable
Método del Descenso Infinito.
Sabemos que el conjunto \( \mathbb{Z}^+ \) de los enteros positivos satisface el principio de buena ordenación:
  • Dado un subconjunto A de \( \mathbb{Z}^+ \), o bien A es vacío o bien, existe un elemento mínimo en A.

Esta propiedad es equivalente al principio de inducción...

Ahora bien. Si tengo un conjunto A de enteros positivos, tal que cada vez que un entero positivo u está en A, implica que algún otro entero positivo más pequeño v está también en A, quiere decir esto que A no tiene elemento mínimo.
Pero por ser subconjunto de \( \mathbb{Z}^+ \), no le queda otro remedio que ser vacío.

Si ahora estudiamos una propiedad P(k) para los enteros positivos k, definimos \( A=\{k\in \mathbb{Z}^+: P(k)\;\;vale \} \).
Si P(k) implica P(k') para algún k' < k, estamos diciendo que A es vacío, y así P(k) es falsa para todo k.
Esto es el método de demostración del descenso infinito, lo cual resume que:
si puedo descender infinitamente en \( \mathbb{Z}^+ \) es que he supuesto algo falso.
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Título: Re: Último teorema de Fermat. Demostración estándar (exclusivamente).
Publicado por: argentinator en 20 Enero, 2009, 03:46 am
En este post va algo de teoría algebraica, la cual hace un poco de falta para estudiar el caso n = 3 del UTF, siguiendo la demostración de Euler.

Lo relevante es comprender la factorización en el anillo \( Z[\sqrt{-3}] \), pero aprovecharemos a explicar cosas más generales.

Para detalles de las demostraciones y ejemplos, remitimos al libro de Álgebra de Ivorra del Castillo: Ivorra-Algebra.pdf (http://www.uv.es/ivorra/Libros/Algebra.pdf)

Teoría Elemental de Grupos, Anillos y Cuerpos
Puede haber alguna controversia respecto al uso de los términos monoide, semigrupo, etc.
Así que no queda otra opción que elegir una de las tantas versiones, y procurar el mayor consenso posible.
Cada estructura algebraica consta de una lista de objetos primitivos, sometidos a una lista de axiomas.

Monoide

Un par \( (M,*) \) se dice monoide si:
  • \( * \) es una apli¡cación binaria de \( M \) en \( M \). Escribimos \( *:M\times M\to M \)
Para todo \( a,b\in M \), usamos la notación \( a*b = *(a,b) \).

\(  \bullet \) Si \( N\subset M \) es tal que \( a,b\in N\Rightarrow{a*b\in N} \), entonces \( (N,*) \) también es un monoide (con \( * \) restringida a \( N \)).
\(  \bullet \) Se dice en este caso que \( N \) es submonoide de \( M \).

Semigrupo

Un par \( (S,*) \) se dice semigrupo si:
  • \( (S,*) \) es un monoide.
  • \( * \) es asociativa: Para todo \( a,b,c\in M \): \( (a*b)*c=a*(b*c) \)

\(  \bullet \) Por mera deinición, todo semigrupo es también un monoide.
\(  \bullet \) Si \( (R,*) \) es submonoide de \( (S,*) \), entonces \( (R,*) \) también es un semigrupo, debido a que se hereda trivialmente la propiedad asociativa de \( * \) dentro de \( R \). En este caso decimos que \( R \) es un subsemigrupo de \( S \).

Grupo

Una terna \( (G,*,e) \) se dice grupo si:
  • \( (G,*) \) es un semigrupo.
  • \( e \) es un elemento de \( G \).
  • \( e \) es una identidad en \( G \): para todo \( a\in G \): \( a*e=a \).
  • Todo elemento de G tiene inverso: para todo \( a\in G \), existe \( a'\in G \) tal que \( a'*a=e \).

\(  \bullet \) Puede probarse que \( e*a=a \) para todo \( a\in G \).
\(  \bullet \) Además, hay un único elemento identidad en \( G \) (el propio \( e \)).
\(  \bullet \) También, todo elemento \( a\in G \) tiene un único inverso, y lo denotaremos \( a^{-1} \).

\(  \bullet \) Una terna \( (H,*',e') \) se dice subgrupo de G, si \( (H,*',e') \) es un grupo, y además: \( H\subset G \), \( *' \) es la restricción de \( * \) a \( H \), y \( e'=e \).
\(  \bullet \) Se puede probar que \( H \) es subgrupo de G si, y sólo si, \( H\subset G \), y para todos los \( a,b\in H \) vale que \( a* b^{-1}\in H \).

Grupo Abeliano o Conmutativo

Una terna \( (G,*,e) \) es un grupo abeliano o conmutativo, si \( (G,*,e) \) es un grupo y
\( \bullet \) \( * \) es conmutativa: Para todo \( a,b\in G \): \( a*b=b*a \).

\(  \bullet \) Un subgrupo de un grupo abeliano es también grupo abeliano, pues la conmutatividad se hereda trivialmente.
\(  \bullet \) Para los grupos abelianos suele preferirse el uso del signo \( + \) para la operación de grupo, del 0 para indicar la identidad (que ahora se llama neutro), y el inverso de \( a \) se denotaría \( -a \) (ahora se llama elemento opuesto).

Anillo

Un cuarteto \( (A,+,0,*) \) se dice un anillo si
  • \( (A,+,0) \) es un grupo abeliano.
  • \( (A,*) \) es un semigrupo.
  • \( + \) y \( * \) cumplen la ley distributiva:
            \(  \bullet \)  Para cualesquiera \( a, b,c\in A \): \( (a+b)*c=(a*c)+(b*c) \)
            \(  \bullet \)  Para cualesquiera \( a, b,c\in A \): \( c*(a+b)=(c*a)+(c*b) \)

\(  \bullet \) Se considera que la precedencia de \( * \) es más alta (se evalúa primero) que la de \( + \), luego, una expresión como \( (a*c)+(b*c) \) equivale a escribir \( a*c+b*c \).
\(  \bullet \) Supongamos que \( A'\subset A \) es tal que para todo \( a,b\in A \) se tiene \( a+b\in A \) y \( a*b\in A \). En tal caso \( (A',+,0,*) \) es un anillo, y se dice que es un subanillo de \( A \).
\(  \bullet \) En particular, como \( A \) es grupo, un subanillo de \( A \) es también subgrupo de \( A \).
\(  \bullet \) Para que \( A' \) sea subanillo de \( A \) es necesario y suficiente que para cualesquiera \( a, b\in A' \) se cumpla que \( a+(-b) ,a* b^{-1} \in A' \).

\(  \bullet \) Un subconjunto \( I \) de un anillo \( A \) es un ideal derecho (resp. izquierdo) de \( A \), si \( (I,+,0) \) es un subgrupo de \( (A,+,0) \), y además para todo \( x\in I, a\in A \), se cumple que \( x*a\in I \) (resp. \( a*x\in I \)).
\(  \bullet \) Un ideal es un conjunto \( I \) que es a la vez ideal derecho e ideal izquierdo.

Anillo unitario

\(  \bullet \) Un quinteto \( (A,+,0,*,1) \) es un anillo unitario si \( (A,+,0,*) \) es un anillo, además \( 1\in A \), \( 0\neq 1 \), y \( 1 \) es elemento identidad para \( * \), vale decir, que para todo \( a\in A: a*1 = a \).

Dominio de integridad

Un cuarteto \( (A,+,0,*) \) es un dominio de integridad si cada vez que \( a,b\in A \), \( a*b=0 \), necesariamente ocurre que \( a=0 \) ó \( b=0 \). Se dice que \( A \) no tiene divisores de cero.

Anillo de División

Un anillo unitario es un anillo de división, si todo elemento \( a\neq 0 \) tiene inverso, o sea, existe \( a^{-1} \) tal que \( a*a^{-1}=1 \).

\(  \bullet \) Todo anillo de división es un dominio de integridad.

Anillo Conmutativo

Un anillo \( (A,+,0,*) \) es conmutativo, si la operación \( * \) es conmutativa.

Cuerpo

Un quinteto \( (F,+,0,*,1) \) es un cuerpo o campo, si \( (F,+,0,*,1) \) es un anillo unitario conmutativo, tal que todo elemento no nulo es invertible respecto \( * \).

\(  \bullet \) Se verifica que todo cuerpo es un anillo conmutativo, y además es un dominio de integridad.
\(  \bullet \) Un subconjunto \( E \) de \( F \) es un subcuerpo de F, si \( (E,+,0,*,1) \) es un cuerpo.
\(  \bullet \) Para que un subconjunto \( E \) de un cuerpo \( F \) sea un subcuerpo, es necesario y suficiente que para cualesquiera \( a,b\in E \) se tenga \( a-b\in E \) y \( a*b^{-1}\in F \) (si \( b\neq 0 \)).
\(  \bullet \) Un cuerpo \( (C,+,0,*,1) \) se caracteriza por ser \( (C,+,0) \) y \( (C\setminus\{0\},*,1) \) grupos abelianos, de tal suerte que \( + \) y \( * \) se conectan vía la ley distributiva.

Dominio de Factorización Única (DFU)

Es un tipo especial de dominio de integridad en los que se puede hablar de descomposición en primos.
Esto lo explicamos en el siguiente desplegable...

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Dominios de Factorización Única (DFU)

Sea \( (D,+,0,\cdot,1) \) un Dominio de Integridad (un anillo sin divisores de cero), que tiene   identidad multiplicativa 1, y supongamos además que la operación de producto \( \cdot \) es conmutativa.

Resumamos algunos hechos básicos:
  • Para todo \( a\in D \), se tiene que \( -a=(-1)\cdot a \).
  • Para todo \( a\in D \), se tiene que \( a\cdot 0=0=0\cdot a \).

Un elemento \( u\in D \) se llama unidad si es distinto de 0, y tiene un inverso multiplicativo, vale decir, existe \( u^{-1}\in D \) tal que \( u^{-1}\cdot u = 1 \).

Como \( D \) no tiene divisores de 0, resulta que \( (D\setminus\{0\},\cdot,1) \) es un semigrupo conmutativo con identidad 1. Se puede probar a partir de esto que los inversos multiplicativos, cuando existen, son únicos. Con esto descartamos toda posible ambigüedad.

Denotamos \( U(D) \) al conjunto de todas las unidades de \( D \).
Se puede probar que \( (U(D), \cdot, 1) \) es un grupo (conmutativo) con 1 como elemento identidad.

Un elemento \( q\in D \) no nulo se llama irreducible si no existen dos elementos \( r,s\in D \), que no sean unidades, y tal que \( r\cdot s=q \). Dicho de otro modo, para cualesquiera \( r,s\in D \) tales que \( r\cdot s=q \), implica que \( r\in U(D) \) o bien \( s\in U(D) \).

Dados \( a,b\in D \), se dice que \( a \) divide a \( b \), y se denota \( a|b \), si existe un elemento \( d\in D \) tal que \( a\cdot d = b \).

Un elemento \( p\in D \) se llama primo si no es nulo, no es una unidad, y si para todo \( a,b\in D \) tales que \( p|ab \) necesariamente ocurre que \( p|a \) ó \( p|b \).

\( \bullet \) Se puede probar que todo primo en \( D \) es irreducible en \( D \).
\( \bullet \) Sin embargo la recíproca no siempre es cierta.

Dominios de Factorización Única (DFU)

Sea \( (D,+,0,\cdot,1) \) como antes. Se dice que es un Dominio de Factorización Única (DFU) si:
  • Todo elemento \( m\in D \) puede factorizarse como producto de un número finito de factores irreducibles:
                \( \exists{q_1,\ldots,q_k\in D, \textsf{(irreducibles)}  }: m = q_1\cdot\ldots \cdot q_k \).
  • La factorización es esencialmente única.
    Esto significa que si \( q'_1,\ldots q'_l \) es otra lista de factores irreducibles tales que \( m = q'_1\cdot\ldots \cdot q'_l \), implica que \( k=l \), y además existen unidades \( u_1,\ldots ,u_k \), y una permutación \( \rho:\{1,\ldots ,k\}\to\{1,\ldots ,k\} \), de tal manera que:
                \( q'_{\rho(1)}=u_1\cdot q_1,\ldots , q'_{\rho(k)}=u_k\cdot q_k \).

Un resultado importante es el siguiente:

Teorema. Sea \( D \) un Dominio de Factorización Única. Se tiene que todo elemento de \( D \) es primo en \( D \) si, y sólo si es irreducible en \( D \).


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El anillo \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \).

Propiedades y Definiciones Elementales

Vamos a estudiar este anillo de forma casera, sin demasiada jerga formal, que pueda espantar.
¿Qué significa \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \)?
Básicamente, son polinomios de coeficientes enteros con símbolo \( x=\sqrt{-3} \).
No es necesario entrar en los detalles de esa teoría en este momento, pero estoy tentado a hacerlo pronto, para desarrollar los casos más generales.

Los elementos de  \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \) son los números complejos de la forma \( a+b\sqrt{-3} \), donde \( a,b \), son elementos del conjunto \( \mathbb{Z} \) (números enteros).
Claramente, se trata de un subconjunto de los números complejos (estamos entendiendo que \( \sqrt{-3}=i\sqrt 3 \)).
En ese conjunto, se consideran las operaciones de suma y multiplicación de complejos, restringidas.
Si operamos, vemos que no nos salimos del conjunto  \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \), y además, el neutro de la adición, a saber, \( 0+0\cdot \sqrt{-3} \), está en el conjunto.

Comprobación;
Sean \( a,b,a',b' \) enteros, nos queda:
\( (a+b\sqrt{-3})+(a'+b'\sqrt{-3})=(a+a')+(b+b')\sqrt{-3} \)
\( (a+b\sqrt{-3})\cdot(a'+b'\sqrt{-3})=(a\cdot a' - 3b\cdot b')+(a\cdot b'+a'\cdot b)\sqrt{-3} \)
Estos números pertenecen a  \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \), pues \( a+a',b+b',a\cdot a' - 3b\cdot b',a\cdot b'+a'\cdot b \) son todos números enteros.

También, el elemento identidad \( 1=1+0\sqrt{-3} \) está en \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \).

Luego,  \( (\mathbb{Z}[\sqrt{-3}],+,0,\cdot,1) \) es un subanillo (con unidad y conmutativo), del anillo (con unidad y conmutativo) de números complejos \( (\mathbb{C},+,0,\cdot,1) \).

Es claro que \( \mathbb{Z} \) es un subanillo de  \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \).
Cabe preguntarse, en tal caso, si todavía son ciertos, en este anillo más grande, los resultados acerca de números primos, divisibilidad, etc.

En primer lugar, hay que preguntarse sobre el significado de todos esos términos, si es que todavía son válidos.
Meditando un poco la cuestión, se ve que no hay mucha dificultad en extender las nociones más elementales.
Por ejemplo, dados \( \alpha=a+b\sqrt{-3} \), \( \gamma=c+d\sqrt{-3} \), con \( a,b,c,d, \) enteros, decimos que \( \alpha \) divide a \( \gamma \) si existe un elemento \( \eta=e+f\sqrt{-3} \), con \( e,f \), enteros, tal que \( \alpha\cdot\eta = \gamma \).

Haciendo las cuentas, se obtiene que:
\( c+id\sqrt{3}=\gamma=\alpha\cdot\eta=(a+ib\sqrt3)\cdot(e+if\sqrt3)=(ae-3bf)+i(af+be)\sqrt3 \).
De manera que \( c=ae-3bf \) y \( d=af+be \).
Estas expresiones nos pueden ser útiles.

Sin embargo, para entender mejor la noción de divisibilidad, procedemos un poco al revés.
Hacemos la división compleja de \( \gamma \) y \( \alpha \), y nos preguntamos si el resultado es un elemento de  \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \).
Este enfoque es válido, porque \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \) es un subanillo de \( \mathbb{C} \), que es también un cuerpo. En \( \mathbb{C} \) siempre se puede dividir (por cantidades no nulas), y además el resultado de la división está determinado en forma unívoca. Si obtenemos un cociente fuera de \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \), quiere decir que al restringimos a \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \) el cociente en cuestión no es posible.

Suponiendo que \( \alpha \) es no nulo, efectuamos las operaciones:
\( \dfrac{\gamma}{\alpha}=\dfrac{\gamma\overline{\alpha}}{\alpha\overline{\alpha}}=\dfrac{ac+3bd}{a^2+3b^2}+i\dfrac{ad-bc}{a^2+3b^2}\sqrt3 \).

Para que este cociente que hemos calculado sea un elemento de \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \), es necesario y suficiente que los números \( \dfrac{ac+3bd}{a^2+3b^2} \) y \( \dfrac{ad-bc}{a^2+3b^2} \) sean enteros. Pero esto quiere decir que \( a^2+3b^2 \) es un divisor tanto de \( ac+3bd \) como de \( ad-bc \) (entendiendo división en \( \mathbb{Z} \)).

Para distinguir la divisibilidad en distintos anillos, podemos hablar de \( A \)-divisibilidad entre elementos de un anillo \( A \) dado.

La cantidad \( a^2+3b^2 \) parece ser una clave importante en este asunto.
Definimos la norma de \( \alpha \) como el número entero \( N(\alpha)=\alpha\overline{\alpha}=a^2+3b^2 \).
Hemos probado que \( \alpha=a+b\sqrt{-3} \) es un \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \)-divisor de \( \gamma=c+d\sqrt{-3} \) si, y sólo si, \( N(\alpha) \) es un \( \mathbb{Z} \)-divisor de \( ac+3bd \) y \( ad-bc \).

Como siempre, la identidad \( 1=1+0\sqrt{-3} \) es \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \)-divisor de todo otro elemento del anillo, y todo elemento es \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \)-divisor de \( 0=0+0\sqrt{-3} \).

[cerrar]

Unidades

  • En el desplegable de arriba vimos por qué es importante la cantidad llamada norma de un elemento \( \alpha=a+b\sqrt{-3} \) del anillo \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \). Recordamos la definición:
                                   \( N(\alpha)=\alpha\bar{\alpha}=a^3+3b^2 \).

  • La norma tiene la propiedad multiplicativa siguiente: \( N(\alpha\alpha')=N(\alpha)N(\alpha') \).
    Esto es claro, pues \( N(\alpha\alpha')=\alpha\alpha'\overline{\alpha\alpha'}=\alpha\overline{\alpha}\alpha'\overline{\alpha'}=N(\alpha)N(\alpha') \).
  • Las unidades de \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \) son aquellos elementos del anillo que tienen inverso (dentro del mismo anillo, claro). Si \( \omega=u+v\sqrt{-3} \) es una unidad de \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \), quiere decir que existe \( \alpha=a+b\sqrt{-3} \) en el anillo, de modo que \( \alpha\cdot\omega=1 \). O sea, \( \alpha \) es inverso multiplicativo de \( \omega \).
    Como venimos arrastrando el mismo producto de los números complejos, sólo hay un inverso posible, y se trata del inverso de \( \omega \) en el cuerpo \( \mathbb{C} \).
    Si este inverso es también un elemento de \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \), entonces \( \omega \) tiene inverso en \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \), y si no, no.

    Usando la propiedad multiplicativa de la norma, resulta que
                \( 1=N(\omega\omega')=N(\omega)N(\omega') \)
    Esto quiere decir que \( N(\omega') \) es inverso multiplicativo de \( N(\omega) \), considerando el producto en \( \mathbb{Z} \).
    Sin embargo, las únicas unidades (elementos invertibles) en \( \mathbb{Z} \) son 1 y -1.
    Más aún, el inverso de 1 es el mismo 1, y el inverso de -1 es el mismo -1.
    Sin embargo la norma siempre da un número no negativo.
    De modo que sólo es posible tener \( N(\omega)=N(\omega')=1 \).
  • No obstante, la condición \( N(\omega)=1 \) significa nada menos que \( u^2+3v^2=1 \).
    Si \( u=0 \), entonces \( 3v^2 \) no puede ser 1. Así que \( |u| \geq1 \).
    Pero si esto ocurre, necesariamente debe ser \( v=0 \), para que la cantidad \( u^2+3v^2 \) no se nos haga demasiado grande.
  • En resumen, las únicas unidades en \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \) son \( 1 \) y \( -1 \).

[cerrar]

(El material que sigue se basa en el libro de Ivorra antes citado, secciones 6.4 y 6.5, aunque se han reformulado y reordenado los resultados, y se han agregado más detalles.)


Jugando con la norma

Para poder facilitar el estudio de la divisibilidad en \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \) conviene enumerar hechos acerca de la cantidad \( N(\alpha) \) para \( \alpha\in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \) que hemos llamado norma.

Elementos Irreducibles y Primos

Sea \( \alpha=a+b\sqrt{-3} \) un elemento no nulo, no unidad, en el anillo \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \).

En un DFU ambas definiciones resultarían equivalentes, pero lamentablemente el anillo \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \) no es un DFU.
Aún así, algún trabajo todavía puede hacerse.

Tratemos en primer lugar de comprender cuáles son los elementos irreducibles y primos del anillo.

Algunos primos e irreducibles interesantes de \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \).


Descartando elementos que no son Irreducibles en \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \).

Fijemos un elemento, no nulo y no unidad, \( \alpha=a+b\sqrt{-3} \).


Factorización en \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \)

Quizá hay muchas propiedades algebraicas del anillo \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \) que podemos estudiar,
pero procuremos mantenernos cerca de nuestro objetivo de demostrar el Último Teorema de Fermat, en este caso para el exponente \( n = 3 \).
Para este objetivo, nos falta enunciar las siguientes propiedades de factoreo:

Supongamos que \( \alpha=a+b\sqrt{-3}\in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \) es tal que \( mcd(|a|,|b|)=1 \). Entonces:
Título: Re: Último teorema de Fermat. Demostración estándar (exclusivamente).
Publicado por: argentinator en 20 Enero, 2009, 05:22 am
Ahora analizamos el caso n = 3, demostrado por Euler.

Euler dio dos pruebas de UTF(3). Una de ellas contenía un error, pero las ideas involucradas tuvieron relevancia en desarrollos posteriores en relación a nuestro tema.
La segunda prueba fue la correcta, y usa el método del descenso infinito.
La he copiado y traducido del Blog de Larry Freeman:

Fermat's Last Theorem: proof for n = 3 (Larry Freeman) (http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/05/fermats-last-theorem-proof-for-n3.html)

A pesar de estar en inglés, se entiende perfectamente.

Se utilizan algunos Lemas, que aquí expongo.

Lema 1. Para \( a,b,c\in\mathbb{Z}^+ \), si es cierta la igualdad \( a^3+b^3=c^3 \), entonces existen \( p,q\in \mathbb{Z}^+ \) tales que
Demostración.
Demostración.
  • Como vimos en #1, se puede asumir que \( a,b,c \) no tienen factores comunes.
  • En tal caso, a lo sumo uno de los tres términos es par.
  • Además, observemos que también al menos uno de los tres debe ser par.
  • Así que la prueba se puede dividir en dos casos: cuando \( c \) es par, y cuando \( a \) (o \( b \)) es par.

1er Caso: \( c \) es par.
  • En este caso \( a, b \), son impares. Sin pérdida de generalidad, asumamos que \( a>b \).
  • Luego \( a+b,a-b \), son pares.
  • Definamos \( p,q \), mediante las relaciones \( 2p=a+b \), \( 2q=a-b \).
    (En particular, resulta que \( p,q \), son enteros positivos).
  • Obtenemos
    \( a = \frac12\big((a + b) + ( a - b )\big) = p + q \)
    \( b = \frac12\big((a + b) - ( a - b )\big) = p - q \)
    (En particular, resulta \( p>q \)).
  • Probemos que \( mcd(p,q) = 1 \).
    • Asumamos lo contrario, que \( f = mcd(p,q)>1 \).
    • Por lo tanto existen \( P,Q\in\mathbb{Z}^+ \) tales que \( p = fP, q = fQ \).
    • Pero entonces \( f \) divide tanto a \( a \) como a \( b \), pues \( a = f(P + Q) \), \( b = f(P - Q) \).
    • Esto contradice que \( a,b \) no tienen factores comunes.
  • El caso \( b>a \) se analiza de modo análogo.
  • \( p,q \) tienen distinta paridad pues \( a,b \), son ambos impares.
  • Por último, veamos que \( 2p(p^2 + 3q^2) \) es un cubo.
    \( c^3 = a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) =  \)
    \( {}\;\;\;\; =(p+q+p-q)\big((p+q)^2-(p+q)(p-q)+(p-q)^2\big) = 2p(p^2 + 3q^2) \).
2do caso: \( a \) es par.
  • Ahora \( c,b \) son impares, y \( c+b, c-b \) son pares.
  • Existen \( p,q\in\mathbb{Z}^+ \) tales que \( 2p = c - b \), \( 2q = c + b \).
  • Como antes \( c=p+q \), \( b=q-p \).
  • El argumento sigue como antes, y se prueba que \( p,q \) son enteros positivos con distinta paridad,
     que \( mcd(p,q)= 1 \), y ahora  \( a^3=c^3-b^3=\cdots=2p(p^2 + 3q^2) \)
[cerrar]

Lema 2: Si \( p,q\in\mathbb{Z}^+ \), son coprimos y de distinta paridad, entonces \( \mcd(2p,p^2 + 3q^2)= 1 \) ó \( 3 \).
Demostracion.
(Topo23)
  • Supongamos que existe un primo \( f \) que divide a ambos \( 2p \) y \( p^2 + 3q^2 \).
  • Sabemos que no puede ser \( f=2 \) porque \( p^2 +3q^2 \) es impar (se usa que \( p \) y \( q \) tienen distinta paridad).
  • Supongamos que \( f>3 \). Luego existen enteros positivos \( P \) y \( Q \) tales que \( 2p=fP \), \( p^2+3q^2=fQ \).
    • Ahora como \( f\neq 2 \), sabemos que 2 debe dividir a \( P \).
    • Sea \( H=P/2 \). Se obtiene \( p = fH \).
    • Combinando las dos ecuaciones tenemos: \( 3q^2 = fQ - p^2 = fQ - f^2H^2 = f(Q - fH^2) \).
    • \( f \) no divide a 3, porque habiamos supuesto que es mayor que 3, entonces por el lema de Euclides, \( f \) debe dividir a \( q \).
    • Pero \( f \) también divide a \( p \). Esto contradice que \( p \) y \( q \) son coprimos, porque también \( f \) divide a \( p \), luego nuestra suposición sobre \( f \) está equivocada.
  • Nota: Hemos probado que \( mcd(2p,p^2 + 3q^2) \) puede ser a lo sumo una potencia de 3. Para terminar falta ver que si es una potencia de exponente mayor que 1 se contradice la suposición de que \( p \) y \( q \) son coprimos.
  • Sea pues \( f=3^k \), con \( k\geq2 \). En este caso claramente \( 3^k \) divide a \( p \), y en particular también divide a \( p^2 \). Por otro lado, también \( 3^k \) divide a \( p^2 + 3q^2 \). Por lo tanto \( 3^k \) divide al término \( 3q^2 \). Luego \( 3^{k-1} \) divide a \( q^2 \).
    Observando con atención, y ya que \( k\geq2 \), resulta que 3 divide tanto a \( p \) como a \( q \), lo cual nos da una contradicción.
[cerrar]

Lema 3. Si \( P,Q \) son enteros (positivos) coprimos, con distinta paridad, tales que \( P^2 + 3Q^2  \) es cubo (de un entero), entonces existen enteros \( x,y \), coprimos tales que: \( P = x^3 - 9xy^2 \), \( Q = 3x^2y - 3y^3 \).
Demostración.
(Nota: Esta prueba se basa en el libro de Ivorra Ivorra-Algebra.pdf (http://www.uv.es/ivorra/Libros/Algebra.pdf) (secciones 6.4 y 6.5), y usa la maquinaria del anillo \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \) desarrollada en el post anterior)

Sea \( \gamma=P+Q\sqrt{-3} \), con \( mcd(|P|,|Q|)=1 \).
Obtenemos que \( N(\gamma)=P^2+3Q^3 \), que es la cantidad que nos interesa estudiar.

Sabemos que la norma \( N(\gamma) \) admite una factorización de la forma:
\( N(\gamma)=4^np_1...p_k \),

donde \( n \geq 0 \), y \( p_1,...,p_k \) son primos impares.
Sabemos también que cada \( p_j \) es la norma de sólo un par de elementos \( \varrho_j, \bar\varrho_j, \) conjugados entre sí, tales que \( \varrho_j =r_j+s_j\sqrt{-3}\in\mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \), si es que requerimos además la condición de que su primer componente \( r_j>0 \).

Sabemos también que \( \gamma \) se puede factorizar en la siguiente forma:
\( \gamma = \sigma \xi^{n'} \omega_1...\omega_{k'}, \)

donde \( \sigma = 1 \) ó \( -1 \), \( \xi \) es sólo uno de los números \( 1+1\sqrt{-3} \) ó \( 1-1\sqrt{-3} \),
y cada \( \omega_j  \) satisface que \( N(\omega_j) \) es un primo impar \( p \), el cual divide a \( N(\gamma) \). O sea que dicho \( p \) es un factor que aparece en la factorización única del entero \( N(\gamma) \).

Sabemos que cada factor en la descomposición de \( \gamma \) corresponde necesariamente a uno de los factores \( 4 \) ó \( p \) primo impar de la descomposición de \( N(\gamma) \).
(Si hay dudas, meditarlo un poco).

Más aún, sabemos que si aparece un factor \( \omega_j \) en la factorización de \( \gamma \),
el conjugado \( \bar\omega_j \) no aparece en dicha factorización.

Reuniendo estos hechos resulta que \( n'=n, k'=k \).

Supongamos ahora que \( N(\gamma) = z^3 \), para algún entero \( z \).
Sea \( p \) un primo que divide a \( z \). Entonces \( p^3 \) divide a \( z^3 \), y en particular a \( N(\gamma) \).
El número 2 divide a \( N(\gamma) \) con exponente par, así que 2 divide a \( N(\gamma) \) con exponente múltiplo de 6.

Sea \( q = 4 \) ó un primo \( p \) impar que divide a \( z \) (el cual resulta también un divisor de \( N(\gamma) \), claro).
Escribamos
\( \gamma = \sigma \xi^{n} \omega_1...\omega_{k}. \)

Sea \( \omega \) uno de los factores de esa descomposición que provienen del factor \( q \) de \( z \).
Dado que los factores \( \omega_j \) que aparecen en la factorización están "estandarizados", 
aquellos que provengan de \( q \), son todos iguales.
De manera que, como \( q \) aparece con exponente múltiplo de 3 en \( N(\gamma) \), resulta que \( \omega \) aparecerá con exponente múltiplo de 3 en la factorización anterior de \( \gamma \).
O sea, habrá una lista \(  \omega_{j_1},...,\omega_{j_m} \), de factores todos iguales a \( \omega \), y tal que \( j_m \) es múltiplo de 3.

Tomamos pues todos los factores \( \omega_j \) que figuran en la descomposición, dividimos sus exponentes por 3, y los multiplicamos para formar un número \( \alpha_0 \) de \( \mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \).
O sea, \( \alpha_0 \) contiene los mismos factores que \( \gamma \), salvo que ahora los exponentes de cada \( \omega_j \) que figura en \( \alpha_0 \) están divididos por 3.

Definimos por último \( \alpha=\sigma\alpha_0 \). (O sea, nos faltaba tener en cuenta el signo \( \sigma \)).
Tenemos claramente ahora que \( \alpha^3 = \gamma \).

Denotando \( \alpha=x+y\sqrt{-3} \), e igualando componentes, resultan las igualdades:
\( P = x^3 - 9xy^2 \)
\( Q = 3x^2y - 3y^3 \)
como deseábamos demostrar.

Nos falta comprobar que \( x, y, \) son coprimos.
Pero esto es fácil, porque si tuvieran un divisor común \( d > 1 \), entonces \( d^3 \) sería divisor de las componentes \( P,Q \) de \( \gamma \), contradiciendo que \( P,Q \) son coprimos.

[cerrar]

Teorema. No existen enteros positivos \( a,b,c \) tales que \( a^3+b^3=c^3 \).
Demostración.
Título: Re: Último teorema de Fermat. Demostración estándar (exclusivamente).
Publicado por: Kits en 21 Enero, 2009, 05:46 pm
Muy buenas,
Qué buena idea argentinator! Me parece la mejor manera de entender la demostración final del UTF, hacer un recorrido por todos los avances que se hicieron hasta el entonces.
A pesar de que no puedo aportar mucho, me parece muy interesante. Cuando tenga tiempo voy a ser un lector habitual de este hilo.
Un saludo.
Título: Re: Último teorema de Fermat. Demostración estándar (exclusivamente).
Publicado por: argentinator en 21 Enero, 2009, 06:56 pm
Cita de: Kits en 21 Enero, 2009, 05:46 pm
A pesar de que no puedo aportar mucho, me parece muy interesante. Cuando tenga tiempo voy a ser un lector habitual de este hilo.

Mostrar interés ya es un aporte, sirve de incentivo.
Saludos
Título: Re: Último teorema de Fermat. Demostración estándar (exclusivamente).
Publicado por: argentinator en 21 Enero, 2009, 11:14 pm
(...)


Estas cosas pueden hallarse en el capitulo del Ultimo Teorema de Fermat, del libro de Teoría de Números de Ivorra del Castillo.
Enlace: Ivorra-Numeros (http://www.uv.es/ivorra/Libros/Numeros.pdf)

(...)


En la sección de resultados básicos previos he recopilado propiedades de divisibilidad, max. comun divisor, numeros primos, congruencias.
Cualquier sugerencia de agregar algo allí, me avisan.



Título: Re: Último teorema de Fermat. Demostración estándar (exclusivamente).
Publicado por: Javi_Tron en 03 Agosto, 2009, 10:13 am
Buenas !!  dos matematicos  dieron en el 2005 una prueva del Teorema de Fermat como corolario de la conjetura de Serre , mucho mas sencilla y no necesita usar la conjetura de Taniyama-Shimura -Weil , que es lo que demostro Adrew Wiles .


Aki te paso el link :

http://www.matematicalia.net/index.php?option=com_content&task=view&id=22&Itemid=58


http://www.matematicalia.net/archivos/LDieulefait.pdf


Esta demostración es para p mayor que 13  ya que para exponentes menores la cosa es "trivial " y no necesita toda artilleria moderna.

Una cuestion muy guapa es como Ken Ribet demostró que la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil implica el teorema de Fermat


 
Título: Re: Último teorema de Fermat. Demostración estándar (exclusivamente).
Publicado por: topo23 en 22 Septiembre, 2009, 06:55 pm
Lo que intenta probar es que si a,b son primos relativos entonces existen p,q que cumplen una serie de propiedades una de las cuales es que p y q son primos relativos.

En particular si q=1 entonces son automaticamente primos relativos, que es lo que queria probar.
Título: Re: Último teorema de Fermat. Demostración estándar (exclusivamente).
Publicado por: argentinator en 04 Octubre, 2009, 11:35 pm
Hola gente.

Tengo el agrado de informales que al fin he logrado culminar la prueba del UTF para el caso \( n = 3 \).
Llevó mucho trabajo, sobre todo porque antes era necesario entender las propiedades de factorización del anillo \( Z[\sqrt{-3}] \).

En el mensaje #4 se halla toda la teoría completa y necesaria del anillo \( Z[\sqrt{-3}] \), para poder aplicarse en la prueba del Teorema de Fermat.
En el mensaje #5 se halla la prueba completa del UTF para el exponente \( n = 3 \).

La dificultad mayor estaba en el Lema 3 del mensaje #5, el cual estaba sin la prueba hasta hoy.
Ahora bien, tras completar toda la teoría de factorización del anillo \( Z[\sqrt{-3}] \), la prueba del Lema 3 pu¡ede llevarse a cabo sin inconveniente, y todo queda ahora bien completado.

Así que el mensaje número #4 lo he ampliado enormemente.
He escrito allí una enorme cantidad de material referido a la factorización en \( Z[\sqrt{-3}] \).
De todo ese material, la última sección titulada "Factorización en \( Z[\sqrt{-3}] \)" es lo que se usa en el esquivo Lema 3 del mensaje #5.

Si bien sólo se usa esa última parte, para llegar allí son necesarias todas las observaciones hechas previamente.

A aquellos que estén interesados en aprender bien toda el álgebra requerida en el Teorema de Fermat,
les recomiendo que se tomen el tiempo de estudiar toda la teoría expuesta en el mensaje #4 acerca del anillo \( Z[\sqrt{-3}] \).

Tengan en cuenta que es justamente el estudio de este tipo de anillos lo que abrió las puertas a grandes avances en la historia del Teorema de Fermat.
O sea, estudiar ese anillo es tiempo bien invertido, además de ser el primer peldaño de una tortuosa escala.

A pesar de todo, los cálculos están hechos de forma intermedia entre lo puramente algebraico, y lo puramente elemental.
Esto creo que ayudará a que todos (incluyéndome) logremos de a poco ir adentrándonos en aguas más profundas.

Me he basado en el texto de Ivorra para el estudio del anillo, así como del Lema 3,
pero he reformulado completamente el orden y manera en que se exponen las cuentas,
porque me pareció que era mejor poner de manifiesto todo el tiempo que las cantidades cuadráticas involucradas eran normas de elementos del anillo, y por otra parte, me pareció que una exposición más detallada y ordenada podría ser más útil.
Como siempre, los detalles aburridos o complicados aparecen en los Spoilers, y pueden omitirse o abrirse según el gusto de cada quien.


Finalmente, si detectan cualquier error en los cálculos, o en la exposición, o si desean hacer cualquier otro tipo de comentario, ya saben que pueden hacerlo.
Título: Re: Último teorema de Fermat. Demostración estándar (exclusivamente).
Publicado por: skan en 26 Abril, 2010, 02:03 am
Cita de: argentinator en 19 Enero, 2009, 05:31 pm

Sean \( a, b, c, \) enteros no nulos.
Si n es par, entonces \( a^n+b^n-c^n=\left |{a}\right |^n+\left |{b}\right| ^n-\left |{c}\right | ^n \neq 0 \), pues \( \left |{a}\right| ,\left |{b}\right| ,\left |{c}\right|  \), son positivos.
Podemos suponer, pues, que n es impar.


Yo ya me he perdido ahí :)
Dices que podemos suponer que n es impar, supongo que porque n no puede ser par.
Pero no veo porque no puede ser par.
Título: Re: Último teorema de Fermat. Demostración estándar (exclusivamente).
Publicado por: argentinator en 26 Abril, 2010, 03:16 am
Lo que pasa es que estoy diciendo algo simple de forma muy complicada.

Lo que afirmo es lo siguiente: si se demuestra que la igualdad fermatiana "nunca" se cumple para enteros positivos, entonces esto alcanza para demostrar que la igualdad fermatiana "nunca" se cumple para enteros cualesquiera, siempre y cuando no sean triviales (y "trivial" quiere decir que a, b, c no son 0).

Ahora bien. Separemos esta implicación en dos casos: cuando el exponente n es par, y cuando n es impar.
Si el exponente n es par, la demostración es muy fácil, como ahí bien se ve, porque al elevar números a un exponente par, se obtienen números positivos. Pero para números positivos ya habíamos supuesto que la igualdad fermatiana nunca se cumple!!! Y ya está...

Así que se pasa luego a considerar el caso en que n es un número impar.

Si analizo el caso n impar solamente es porque para n par la cuestión era muy fácil.

Sin embargo me he dado cuenta de que esto de restringirse sólo a los enteros positivos no es tan saludable como yo me imaginaba, y quizá convenga desestimar ese hecho.

Cualquier duda, volvé a preguntar.
Título: Re: Último teorema de Fermat. Demostración estándar (exclusivamente).
Publicado por: skan en 26 Abril, 2010, 04:12 am
Ah, ya lo he entendido
Si n es par tenemos exactamente la ecuación de Fermat, que supones que es cierta, lo cual no sé si es correcto.

De todos modos lo que me liaba es que pensaba que ese recuadro iba a demostrar que:

Dado n, si para toda terna de números positivos a, b, c, es cierto UTF(a,b,c,n), entonces vale UTF(n).

y sin embargo demuestra que

basta pensar en enteros positivos a,b,c  ya que con los negativos se ve facilmente que no hace falta continuar.
Título: Re: Último teorema de Fermat. Demostración estándar (exclusivamente).
Publicado por: argentinator en 26 Abril, 2010, 04:47 am
Citar
Dado n, si para toda terna de números positivos a, b, c, es cierto UTF(a,b,c,n), entonces vale UTF(n).

Bueno, es que esto mismo es lo que se prueba.
Lo que pasa es que he elegido denotar UTF(n) a "el enunciado completo de Fermat para exponente n", o sea, al caso en que a, b, c, son enteros cualesquiera, y no necesariamente positivos.

Tal vez mi notación no es la más feliz.

¿Por qué me he enredado tanto? ¿Adónde está el nudo de la cuestión?
Bueno, resulta que Fermat no intenta probar una "igualdad" sino justamente una "no-igualdad" para todo a, b, c, n.
No hay una forma "cómoda" de expresar una "no-igualdad" en forma general, porque siempre anda dando vueltas una "negación" en todo lo que hacemos.

Me he hecho lío con eso, pero lo he preferido así porque ciertamente es mucho más breve, conciso e inambiguo, decir algo como UTF(a, b, c, n), que andar enunciando todo el tiempo la consabida desigualdad que deseamos demostrar.

Y como bien dijiste al principio, el caso "supuesto" para enteros positivos aún no sabemos si es cierto o no.
Eso es lo que se debe probar más adelante, caso por caso, arduamente.

Saludos
Título: Re: Último teorema de Fermat. Demostración estándar (exclusivamente).
Publicado por: ajotatxe en 12 Junio, 2013, 09:27 pm
Cita de: argentinator en 19 Enero, 2009, 05:59 pm

La prueba no la voy a escribir por ahora, sin embargo hay abundante bibliografía sobre el tema.
Por ejemplo, se puede consultar el siguiente enlace:
Blog de Antonio Jara: Ternas Pitagóricas (http://mates-ajh.blogspot.com/search/label/ternas%20pitag%C3%B3ricas)


Soy el autor del blog. He ingresado para rectificar el link, ya que he cambiado el nombre del blog y del dominio.
Aquí (http://axiomaeleccion.blogspot.com.es/2013/05/ternas-pitagoricas-i.html) podéis consultar la información referida. Enhorabuena por el foro y gracias por el link.
Título: Re: Último teorema de Fermat. Demostración estándar (exclusivamente).
Publicado por: argentinator en 13 Junio, 2013, 12:45 am
Ok, gracias Antonio.

Ojalá que podamos tenerte como integrante activo de la comunidad de rinconmatematico.

Saludos