Hace calor, ¿por qué no lanzarnos a la piscina?
Suponiendo que la demostración que presenté el otro día sobre k=3 sea más o menos correcta, entonces me parece fácil usarla para demostrar hasta k=7 simplemente modificando algunos parámetros.
Sin embargo, esa demostración no es propiamente general, dado que precisa ir mirando en cada k para ajustar ciertos parámetros y, de hecho, nada priva que en algunos casos hubiera la sorpresa de que la metodología utilizada no funcionara. Por ejemplo, dado que sabemos que a partir de k=11 es posible que ciertos \( a^{k-1}-1 \) sean múltiplos de \( k^{2+j}m \), con m un natural cualquiera no múltiplo de k, parece claro que ello tumba directamente el paso 1 de la demostración presentada en k=3. Por consiguiente, sería preciso hacerle arreglos.
Estos días he estado pensando, ya en una generalización que pudiera solventar este problema, y algún otro que según mi parecer limitaban el método utilizado. Y ahí va la propuesta -a ver qué os parece.
Antes de empezar, pero, simplemente recordar que partimos de esta peculiar forma de expansión binomial característica, solo, cuando k es un nº primo:
\( a^k+b^k=[a+b][(a+b)^{k-1}-kab[[r_{k-2}]+C_3(ab)[r_{k-4}]+...+C_j(ab)^j]]=c^k=nk \), mientras suponemos que tiene soluciones naturales. Y en esta expresión tomamos:
\( \displaystyle\frac{a}{b}\neq m, m\in{N} \)
\( n=(a+b) \)
\( r=[(a+b)^{k-1}-kab[D] \)
\( [D]=[r_{k-2}]+C_3(ab)[r_{k-4}]+...+C_j(ab)^{j-2}] \)
EDITO A RAÍZ DE LAS CONVERSACIONES CON FERNANDO MORENO:
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En la primera versión había puesto esto:
Para empezar, me parece más cómodo plantear un cambio de estrategia y recolocar los 3 pasos que ya seguimos en k=3 de esto otro modo:
1) Demostrar la imposibilidad de que \( (a+b) \) sea un múltiplo de \( k \) para que \( a^k+b^k=c^k \) tenga soluciones naturales.
2) Demostrar la imposibilidad de que o bien \( a \) o bien \( b \) sean múltiplos de \( k \) para que \( a^k+b^k=c^k \) tenga soluciones naturales.
3) La imposibilidad de que ni \( a \) ni \( b \) no sean múltiplos de \( k \) para que \( a^k+b^k=c^k \) tenga soluciones naturales.
Comento la estrategia que he intentado seguir, que consta de los mismos pasos ya expuestos en k=3, pero estructurados de esto otro modo:
1) Demostrar La imposibilidad de que ni \( a \) ni \( b \) ni \( (a+b) \) no sean múltiplos de \( k \) para que \( a^k+b^k=c^k \) tenga soluciones naturales.
2) Demostrar la imposibilidad de que \( (a+b) \) sea un múltiplo de \( k \) para que \( a^k+b^k=c^k \) tenga soluciones naturales. Demostrar la imposibilidad de que o bien \( a \) o bien \( b \) sean múltiplos de \( k \) para que \( a^k+b^k=c^k \) tenga soluciones naturales.
3) Demostrar la imposibilidad de que o bien \( a \) o bien \( b \) sean múltiplos de \( k \) para que \( a^k+b^k=c^k \) tenga soluciones naturales.
Logrando estos 3 pasos se demostraría que la ecuación \( a^k+b^k=c^k \) no puede tener soluciones naturales en k -un primo mayor que 2- cuando o bien \( a \) o bien \( b \) sean múltiplos de k, ni tampoco cuando ni \( a \) ni \( b \) no sean múltiplos de k. Hecho que implica que la ecuación jamás va a tener soluciones naturales.
PRIMER PASO
En este primer paso la idea es demostrar que la ecuación \( a^k+b^k=(nr)^k=c^k \) no pude tener soluciones naturales cuando ni \( a \) ni \( b \) sean múltiplos de \( k \), ni tampoco lo sea \( n=(a+b \)).
La demostración es muy similar a la presentada en k=3. Y para empezar cabe entender, después de analizar el paso 1, que si \( (a+b) \) no es múltiplo de \( k \) entonces es necesario suponer que tanto n como r deben ser coprimos y por lo tanto, números elevados a \( k \) si suponemos, previamente, que \( a^k+b^k=c^k \) tendrá soluciones naturales. Por consiguiente vale expresarlos así: \( c^k=(nr)^K=n^kr^k \).
Además, este paso parece mejor tratarlo de forma general sin atender a k=11 como caso particular.
Empezamos, pues, suponiendo que \( a^k+b^k=c^k=(nr)^k=n^kr^k \) tiene soluciones naturales. Entonces, eso significa que:
\( r^k=(n^k)^{k-1}-k(ab)[D_k] \); expresión que arreglamos para ponerla así:
\( k(ab)[D_k]=(n^{k-1})^k-r^k \). Con lo cual:
\( k(ab)[D_k]=[n^{k-1}-r]·[[n^{k-1}-r]^k+k[n^{k-1}][r][D'_k]] \)
La única opción para que la segunda parte de la ecuación sea un múltiplo de k es que \( [n^{k-1}-r] \) lo sea.
Supongamos que \( [n^{k-1}-r]=k^jx \), con \( x \) un natural no múltiplo de \( k \), mientras el exponente \( j \) un natural igual o mayor que 1.
Entonces, \( [n^{k-1}-r]·[[n^{k-1}-r]^k+k[n^{k-1}][r][D'_k]]=[k^jx][(k^{kj-j}x^{k-1})+k·[n^{k-1}][r][D'_k] \).
No obstante, salta a la vista que el componente \( [D'_k] \) queda por definir y podría ser múltiplo de \( k \).
Así pues, vamos a expresar dicho componente como \( [D'_k]=k^gz \), con \( z \) un natural no múltiplo de \( k \), mientras el exponente \( g \) un natural igual o mayor que 0. Entonces tendríamos que:
\( [k^jx][(k^{kj-j}x^{k-1})+k·[n^{k-1}][r][k^gz]]=[k^jx][(k^{kj-j}x^{k-1})+k^{g+1}h]\neq kab[D'_k]=abk^{g+1} \), con \( h \) un natural no múltiplo de \( k \).
Spoiler
1) Si \( (k^{kj-j}x^{k-1}) \) es un múltiplo de \( k \) con exponente mayor que \( k^{g+1} \)h, entonces salta a la vista que\( [k^jx][(k^{kj-j}x^{k-1})+k·[n^{k-1}][r][k^gz]] \) será un múltiplo de \( k \) de exponente mayor que \( abk^{g+1} \).
2)Si \( (k^{kj-j}x^{k-1}) \) es un múltiplo de \( k \) con exponente menor que \( k^{g+1} \)h, entonces también salta a la vista que\( [k^jx][(k^{kj-j}x^{k-1})+k·[n^{k-1}][r][k^gz]] \) será un múltiplo de \( k \) de exponente mayor que \( abk^{g+1} \)
Con lo cual esta igualdad supuesta,[k^jx][(k^{kj-j}x^{k-1})+k·[n^{k-1}][r][k^gz]]=\( abk^{g+1} \), es imposible
Hecho que se demuestra que la suposición del inicio, que existen soluciones naturales para \( a^k+b^k=(nr)^k=c^k \) cuando ni a ni b ni n son múltiplos de k, no es posible.
Spoiler
Me ha parecido muy complicado poder demostrar si el componente [D_k] de las expansiones binomiales pueden ser, en general, múltiplo de k o no. Sin embargo, con esta demostración se observa que da igual si es o no múltiplo de k, porque en todos los casos resulta imposible legitimar las suposiciones iniciales. Sin embargo, entrar en más detalle en ello me parece interesante; sin embargo por el momento lo dejo aquí.
SEGUNDO PASO
En este segundo paso se precisa demostrar que \( n=(a+b) \) no puede ser ningún múltiplo de k (aquí k=11).
Para entrar en ello vamos a empezar demostrando que \( n=a+b\neq (11^j)^{11}w \), siendo \( w \)un natural cualquiera no múltiplo de 11. Esto ya lo habíamos hecho en k=3, con lo cual lo pongo en spoiler:
Spoiler
Empezamos suponiendo que existe \( n=(a+b)=(11^j)^{11}w \) tal que \( (nr)^{11}=c^{11}=a^{11}+b^{11} \)
Entonces nos fijamos en la expansión binomial de k=11:
\( a^{11}+b^{11}=c^{11}=(a+b)[(a+b)^{10}-11ab[D]] \), y mientras recordamos que suponemos la existencia de \( n=(a+b)=(11^j)^{11}w \), tenemos que:
\( r=(a+b)^{10}-11ab[D]=((11^j)^{11})^{10}u-11ab[D] \)
Y dado que es fácil comprobar que para k=11 entonces [D] no puede ser ningún múltiplo de 11, tenemos que:
Por un lado \( n^{11}=(a+b)=(11^j)^{11}w \), y por el otro \( r^{11}=11·w \), siendo w un natural cualquiera no múltiplo de 11. Hecho que implica que: \( a^{11}+b^{11}=[(11^j)^{11}w][11·w]\neq c^11 \)
Por consiguiente se demuestra que no puede existir un n=(a+b)=(11^j)^{11}w para que la ecuación \( c^{11}=a^{11}+b^{11} \) tenga soluciones naturales.
Con la demostración previa de que no puede existir ningún \( n=(a+b)=(11^j)^{11}w \) hemos visto la importancia de determinar el valor del elemento \( [D_k] \) de cada expansión binomial.
Lo primero que aquí proponemos demostrar es que para cualquier k este componente \( [D_k] \) nunca será múltiplo de k cuando \( a+b \) lo sean. De rebote se demostrará, pues, que \( n \) y \( [D_k] \) son siempre coprimos, de modo que también lo serán n y r, excepto cuando n sea múltiplo de k, que luego compartirán un único factor k.
Para ello partimos de la suposición de que existe solución natural para la ecuación \( a^{11}+b^{11}=nr=c^{11}=[11^em]^{11} \) cuando definimos \( n=a+b=11^j·w \); con lo cual ni \( a \) ni \( b \) serán múltiplos de 11, pero \( r \) sí lo será.
Spoiler
donde \( e \) será un exponente natural mayor que 0; m será un natural cualquiera no múltiplo de 11; w será un natural no múltiplo de 11; con \( j\geq{1} \) y nunca múltiplo de 11.
A partir de la definición anterior de \( n \) sabemos que \( b=11^jw-a \). Entonces tomamos la suposición inicial, y en el primer lado le restamos y también le sumamos \( a \):
\( a^{11}-a+b^{11}+a=nr=(11^j·w)·r=[11^em]^{11} \).Arreglamos y sustituimos \( b \) por su definición:
\( a(a^{10}-1)+[11^jw-a]^{11}+a=nr=[11^em]^{11} \) Y desarrollamos:
Spoiler
\( a(a^{10}-1)+[(11^jw)^{11}+11^{j+1}wa[L_{11}]-a^{11}]+a=a(a^{10}-1)+(11^jw)^{11}+11^{j+1}wa[L_{11}]-a(a^{10}-1)=nr=[11^em]^{11} \). Siendo \( [L_{11}] \)una parte de la expansión del binomio, que veremos más en detalle para k=11 en un segundo.
Al final obtenemos esto:
\( (11^jw)^{11}+11^{j+1}wa[L_{11}]=nr=(11^j·w)·r=[11^em]^{11} \)
Se aprecia que si \( [L_{11}] \) no es múltiplo de 11, entonces: \( (11^jw)^{11}+11^{j+1}wa[L_{11}]=11^{j+1}z=(11^j·w)r=[11^em]^{11} \), con z un natural no múltiplo de 11. Y quedaría claro que \( r=[(11^j·w)^{10}-11·(ab)[D_{11}]] \) sólo puede ser un múltiplo de un \( 11 \) pelado, con lo cual se demostraría que \( [D_{11}] \) no puede ser múltiplo de 11.
Sin embargo, ¿puede este \( [L_{11}] \) ser múltiplo de 11?
Desarrollamos la expansión binomial de \( b^{11}=[11^jw-a]^{11} \):
\( [11^jw-a]^{11}=(11^jw)^{11}-a^{11}+11(11^jw·a)[r_9+5·(11^jw·a)r_7+15·(11^jw·a)^2r_5+30(11^jw·a)^3·r_3+42(11^jw·a)^4] \) Donde \( [L_{11}] \) es:
\( [L_{11}]=[r_9+5·(11^jw·a)r_7+15·(11^jw·a)^2r_5+30(11^jw·a)^3·r_3+42(11^jw·a)^4] \)
Y dado que: \( r_9=[11^jw-a]^8-(11^jw·a)[L_9] \), queda claro que \( r_9 \) jamás será múltiplo de 11, con lo cual
\( [L_{11}]=[r_9+(11^jw·a)[5·r_7+15·(11^jw·a)r_5+30(11^jw·a)^2·r_3+42(11^jw·a)^3]] \) jamás será múltiplo de 11.
En conclusión: dado que \( [L_{11}] \) jamás será múltiplo de 11 tampoco lo será \( [D_{11}] \). Hecho que nos lleva a considerar que \( j=11e-1 \), con lo cual \( n_{11}=11^{11e-1}w \).
Con razón, pues, ahora resulta lícito reescribir nuestra suposición inicial del siguiente modo:
\( a^{11}+b^{11}=nr=[11^em]^{11}=(11^{11e-1}·w)(11·v) \), con \( v \) un cubo no múltiplo de 11 y con \( e \) un exponente mayor que 1.
Spoiler
Además se habría demostrado que \( n_{11} \) y \( r_{11} \)sólo comparten un 11 pelado como factor común, siendo coprimos en todos los demás factores. ¿No demuestra ello, pues, que cuando \( n_k=a+b \) no es múltiplo de k entonces \( n_k \)y \( r_k \) serán completamente coprimos? Ello nos lleva a considerar que, aquí, \( w \) y \( v \) deberían ser números elevados a \( k \), sin embargo no señalarlo no afecta a la demostración.
Por otro lado, lo interesante de este procedimiento es que es completamente generalizable para cualquier \( k \) un nº primo, y nos estaría indicando que si tomamos \( n_k=a+b \) como múltiplo de \( k \), entonces \( r_k \)siempre será, sin excepción, múltiplo de k a secas, dado que su componente \( [D_k] \) no es jamás múltiplo de \( k \).
En resumidas cuentas, sólo existiría un caso posible para que la ecuación \( a^{11}+b^{11}=nr=c^{11}=[11^em]^{11} \) pudiera presentar soluciones naturales tomando \( n=a+b \) un múltiplo de 11; a saber: cuando \( n_{11}=a+b=11^{11e-1}·w \).
Spoiler
Recordar que este w debería ser un número elevado a k, pero de momento no hace falta señalarlo y lo dejamos indicado como w para facilitar la redacción
Analicemos el caso de que: \( n=11^{11e-1}w \)[/u]
Lo primero: si \( n_{11}=a+b=11^{11e-1}w \), ello nos permite definir \( a \) y \( b \) como:
\( a=11^{11e-1}w-b \)
Definido, pues, \( a \) vamos a suponer que habrá soluciones naturales para la siguiente ecuación:
\( [11^{11g-1}w-b]^{11}+[b]^{11}=[11^{11e-1}w][11·v]=nr=c^{11}=[11^em]^{11} \).
De inmediato apreciamos que esta ecuación se puede reescribir de la siguiente forma:
\( [11^em]^{11}-[b]^{11}=[11^{11e-1}w-b]^{11} \)
Y dada la similitud estructural entre:
\( a^k+b^k=nr=(a+b)[(a+b)^{k-1}-Kab[D_k^+]] \)
\( a^k-b^k=sq=(a-b)[(a-b)^{k-1}+Kab[D_k^-]] \)
Parece factible que para analizar este caso podamos ir ya directamente al paso 2, donde se pretende demostrar que la ecuación \( a^k\pm{b^k}=c^k \) no tiene soluciones naturales cuando o bien \( a \) o bien \( b \) son múltiplos de k.
TERCER PASO
Este tercer y último paso consiste en demostrar que resulta imposible suponer que \( x^k\pm{y^k}=(nr)^k=z^k \), cuando o bien x o bien y es múltiplo de k. De hecho, sea precia como este paso y el anterior forman, de hecho un mismo paso. Y confieso que después de las observaciones de Fernando Moreno no lo tengo muy claro.
Primero demostramos, en k=11, que:
\( [11^em]^{11}-[b]^{11}=[11^{11e-1}w-b]^{11}=(sq)^{11} \), siendo:
\( x^{11}=[11^em]^{11} \)
\( y^{11}=[b]^{11} \)
\( z^{11}=[11^{11e-1}w-b]^{11}=[11^{11e-1}w]^{11}+[11·11^{11e-1}w·b[H]]-b^{11} \), siendo H el carro que arrastra la expansión binomial.
\( s^k=11^em-b \)
Dado que en el segundo paso se ha demostrado que si suponemos que \( a^{11}\pm{b^{11}}=c^{11}=nr \), sin que \( a+b=n \) sea un múltiplo de 11, entonces eso implicaba que \( nr \) son coprimos. Por tanto, si su producto tiene que dar \( c^{11} \), ello implica que \( n \) tiene que ser un número elevado a 11. Y esta es, evidentemente, una restricción importante que debe reflejarse de algún modo.
Así pues hacemos lo siguiente:
Dado que \( s^{11}=[11^em]-b \), entonces \( b=[11^em]-s^{11} \). Y sustituimos este \( b \) en la ecuación:
\( [11^em]^{11}-[(11^em)-s^{11}]^{11}=[11^{11e-1}w-(11^em-s^{11})]^{11} \). Y desarrollamos
Spoiler
\( [11^em]^{11}-[(11^em)^{11}-s^{121}+(11^{e+1}·m·s^{11}[(11^em)-s^{11}][D])]=[11^e[11^{11e-2}w-m]+s^{11})]^{11} \)
\( [11^em]^{11}-(11^em)^{11}+s^{121}-(11^{e+1}·m·s^{11}[(11^em)-s^{11}][D])= \)\( =11^{11e}[11^{11e-2}w-m]^{11}+s^{121}+[11·(11^e[11^{11e-2}w-m)·s^{11}[11^e(11^{11e-2}w-m)+s^{11}][H]] \)
\( -(11^{e+1}ms^{11}[(11^em)-s^{11}][D])=11^{11e}[11^{11e-2}w-m]^{11}+[11·(11^e[11^{11e-2}w-m)·s^{11}[11^e(11^{11e-2}w-m)+s^{11}][H]] \)
\( -(11^{e+1}ms^{11}[(11^em)-s^{11}][D])=[11^e(11^{11e-2}w-m)][11^{11}(11^{11e-2}w-m)^{10}+[11s^{11}[11^e(11^{11e-2}w-m)+s^{11}][H]] \)
Finalmente obtenemos esto:
\( -(11^{e+1}ms^{11}[(11^em)-s^{11}][D])=[11^e(11^{11e-2}w-m)][11^{11}(11^{11e-2}w-m)^{10}+[11s^{11}[11^e(11^{11e-2}w-m)+s^{11}][H]] \)
lo primero que salta a la vista es que el término de la izquierda es negativo y el de la derecha es positivo. Sin embargo, no está claro que para cualquier valor que adquieran todas las variable se mantiene esta disparidad de signos entre las dos partes de la igualdad. Debería demostrarse.
Del mismo modo que, al menos yo, no tengo claro que el término de la derecha también sea múltiplo de m, s como lo es el de la izquierda. Por ejemplo, para que fuera múltiplo de s, el elemento \( (11^{11e-2}w-m) \) también lo debería de ser.
Quedaría pendiente, pues, resolver estas cuestiones y que su resolución fuera favorable para la demostración del teorema de Fermat -suponiendo, claro está, que el primer paso sea correcto.
Vaya, creo que no me explico. Que pregunto qué por qué está mal \( [11^em]^{11}=[11^{11e-1}w]^{11}+[11·11^{11e-1}w·b[H]] \) . ¿Porque w dividiría á m ó por qué, que no lo veo ahora? Sdos
Pues sí, menuda cagada he hecho :-[ Es para que me expulsen del foro >:D
Tenía otra opción sobre este punto, si te apetece darle un vistazo genial.
Se basa en un aspecto que estuvimos comentando con Luís Fuentes este julio sobre generar ternas Pitagóricas: ver aquí:https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=107008.0 (https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=107008.0)
Así pues, venimos de suponer que:
\( [11^em]^{11}-[b]^{11}=[11^{11e-1}w-b]^{11} \)
Y en ese hilo que te he adjuntado se comentaba, dicho muy rápidamente, la siguiente observación que voy a utilizar:
Spoiler
Si tenemos \( n^k,m^k \), siendo n,m,k números naturales cualquiera, con n,m de la misma paridad (este punto me hace dudar un poco del desarrollo y se debería pensar algo más), entonces:
1) \( x^k=n^k·m^k \)
2) \( y=\displaystyle\frac{[n^k - m^k]}{2} \)
3) \( z=\displaystyle\frac{[n^k + m^k]}{2} \)
Entonces, se eleva \( y,z \) al cuadrado para obtener \( x^k=z^2-y^2 \)
Por tanto, si suponemos que existe un:
\( y=\displaystyle\frac{[n^k - m^k]}{2}=\displaystyle\frac{u^k}{2} \), para k>2, se niega el teorema de Fermat. Y entonces debe de existir, además de \( n^k - m^k=u^k \), la siguiente expresión:
\( 4(n·m)^k=(n^k + m^k)^2-(u^k)^2 \), siendo \( n^k + m^k=z \), con z un número natural cualquiera.
Siguiendo lo expuesto en el spoiler tenemos que:
\( x^k=4(nm)^k=4[11^em·b]^{11} \)
\( y=(n^k - m^k)=u^k=[11^{11e-1}w-b]^{11} \)
\( z=(n^k + m^k)=z=[(11^em)^{11}+b^{11}] \)
Entonces, debería de haber solución natural para la siguiente ecuación: \( 4x^k+y^2=z^2 \), es decir, para:
\( 4[11^em·b]^{11}+[(11^{11e-1}w-b)^{11}]^2=[(11^em)^{11}+b^{11}]^2 \). Y desarrollamos:
Por parte de \( y^2 \) tenemos:
\( y^2=[(11^{11e-1}w-b)^{11}]^2=[(11^{11e-1}w-b)^{121}=(11^{11e-1}w)^{121}-b^{121}+[(11^{11e-1}w)·b·[D]] \). Siendo [D] el carro de la expansión binomial.
Spoiler
No tengo muy claro que haya desarrollado bien esta parte, \( y^2 \). ¿El exponente es 121 y por tanto b es negativo por ser un exponente impar, verdad?
Y por parte de \( z^2: \)
\( z^2=[(11^em)^{11}+b^{11}]^2=(11^em)^{121}+b^{121}+2(11^em·b)^{11} \)
Entonces volvemos a escribir la ecuación con estos desarrollos y tenemos que:
\( 4[11^em·b]^{11}+(11^{11e-1}w)^{121}-b^{121}+[(11^{11e-1}w)·b·[D]]=(11^em)^{121}+b^{121}+2(11^em·b)^{11} \) y lo arreglamos para obtener:
\( 2[11^em·b]^{11}+(11^{11e-1}w)^{121}+[(11^{11e-1}w)·b·[D]]-(11^em)^{121}=2b^{121} \)
Y como sabemos des del paso 1 que \( b \) no es múltiplo de 11, entonces todas nuestras suposiciones fallan y se demostraría que:
\( [11^em]^{11}-[b]^{11}=[11^{11e-1}w-b]^{11} \) no puede tener soluciones naturales.
En todo caso, si no es pedir mucho, a ver que te parece el tercer paso que propuse y me comentas.
Muchas gracias
PASO 2
El paso 2 consiste en demostrar que resulta imposible suponer que \( x^k\pm{y^k}=(nr)^k=z^k \), cuando o bien x o bien y es múltiplo de k.
Primero demostramos, en k=11, que:
\( [11^em]^{11}-[b]^{11}=[11^{11e-1}w-b]^{11}=(sq)^{11} \), siendo:
\( x^{11}=[11^em]^{11} \)
\( y^{11}=[b]^{11} \)
\( z^{11}=[11^{11e-1}w-b]^{11}=[11^{11e-1}w]^{11}+[11·11^{11e-1}w·b[H]]-b^{11} \), siendo H el carro que arrastra la expansión binomial.
\( s^k=11^em-b \)
Spoiler
Restamos \( s^k=11^em-b \) en cada lado de la igualdad:
\( [11^em]^{11}-[b]^{11}-(11^em-b)=[11^{11e-1}w]^{11}+[11·11^{11e-1}w·b[H]]-b^{11}-(11^em-b) \) Y obtenemos:
\( (11^em)[[11^em]^{10}-1]-b[[b]^{10}-1]=[11^{11e-1}w]^{11}+[11·11^{11e-1}w·b[H]]-11^em -b[b^{10}-1] \). Y vemos que el componente \( b[b^{10}-1] \)se puede eliminar de los dos lados de la ecuación, dejando esto:
\( (11^em)[[11^em]^{10}-1]=[11^{11e-1}w]^11+[11·11^{11e-1}w·b[H]]-{11}^em \), que arreglamos simplemente así:
\( [11^em]^{11}-(11^em)=[11^{11e-1}w]^{11}+[11·11^{11e-1}w·b[H]]-(11^em) \) Y eliminamos el componente \( (11^em) \) de los dos lados, para obtener, finalmente la igualdad:
\( [11^em]^{11}=[11^{11e-1}w]^{11}+[11·11^{11e-1}w·b[H]] \)
esta igualdad es manifiestamente no cierta, indicando con ello que las suposiciones iniciales no son posibles, es decir, que tomando n como un múltiplo de k (11 en este caso) entonces no es posible suponer que la ecuación \( a^k+b^k=(nr)^k=c^k \), pueda tener soluciones naturales. Como tampoco es cierto que la expresión \( (k^em)^k-y^k=(nr)^k=c^k \), pueda tener.
Faltaría demostrar que \( (k^em)^k+y^k=(nr)^k=c^k \), pero lo dejo como ejercicio y para no hacerlo más largo.
Este es el paso 2, en el cual Fernando me ayudó a ver un error. Hoy he visto otro. Pienso que arreglarlo me permite seguir avanzando algo en el razonamiento que llevaba al terminar el paso 1. Lo pongo porque ha sido rápido hacer esto.
Estamos, pues, que suponemos la existencia de soluciones naturales para la siguiente igualdad:
\( [11^em]^{11}-[b]^{11}=[11^{11e-1}w-b]^{11}=(sq)^{11} \)
Y aquí está el otro error. Me olvidé de considerar una restricción muy importante: que \( (sq)^{11}=s^{11}·q^{11} \), siendo s un natural no múltiplo de 11.
Spoiler
Dado que en el segundo paso demostrará que si suponemos que \( a^{11}\pm{b^{11}}=c^{11}=nr \), sin que \( a+b=n \) sea un múltiplo de 11, entonces eso implicaba que nr son coprimos y por tanto si su producto tiene que dar \( c^{11} \), ello implica que n tiene que ser un número elevado a 11. Y es, evidentemente, una restricción importante, que se me pasó completamente por alto.
De modo que:
\( s^{11}=[11^em]-b \), y por lo tanto \( b=[11^em]-s^{11} \). Y sustituimos este \( b \) en la ecuación:
\( [11^em]^{11}-[(11^em)-s^{11}]^{11}=[11^{11e-1}w-(11^em-s^{11})]^{11} \). Y desarrollamos
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\( [11^em]^{11}-[(11^em)^{11}-s^{121}+(11^{e+1}·m·s^{11}[D])]=[11^e[11^{11e-2}w-m]+s^{11})]^{11} \)
\( [11^em]^{11}-(11^em)^{11}+s^{121}-(11^{e+1}·m·s^{11}[D])=11^{11e}[11^{11e-2}w-m]^{11}+s^{121}+[11·(11^e[11^{11e-2}w-m)·s^{11}[H]] \)
\( -(11^{e+1}·m·s^{11}[D])=11^{11e}[11^{11e-2}w-m]^{11}+[11·(11^e[11^{11e-2}w-m)·s^{11}[H]] \)
Obtenemos esto:
\( -(11^{e+1}·m·s^{11}[D])=11^{11e}[11^{11e-2}w-m]^{11}+[11·(11^e[11^{11e-2}w-m)·s^{11}[H]] \)
Hecho que no es posible.