[Ariel Fernández]

Hola a todos.

Tengo la siguiente consigna:

En el conjunto de los números enteros \( Z \) se define la siguiente topología:
\( T=\{{A\subset{Z}/2n\in{A}\Longleftrightarrow{2n-1}\in{A}}, \forall{n\in{Z}}\} \)

No me queda claro cómo se interpretaría esto. Es decir no me queda claro qué característica deben poseer los conjuntos para que en esta topología sean abiertos, porque en la definición dice que la condición de que tanto un número par como su anterior deben pertencer al conjunto, pero "\( \forall{n\in{Z}} \)", lo que hace pensar que el único conjunto que puede cumplir esto sería el propio connjunto de los enteros \( Z \). Leído coloquialmente diría que: "Un subconjunto de los enteros es abierto si contiene a todos los números pares e impares". Porque si se hubiera referido a que \( \exists{n\in{Z}/2n\in{Z}\wedge2n-1\in{Z}} \) no debería aparecer el símbolo de "para todo" y, por ejemplo, el conjunto \( A=\{4;3\} \) sería abierto.
Pero no me queda claro cómo interpretarlo.

Luego, tampoco me queda muy en claro si estrictamente es una topología ya que no aparece el conjunto vacío ni veo de momento que de alguna forma esté implícitamente contenido en la topología.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

En el conjunto de los números enteros \( Z \) se define la siguiente topología:
\( T=\{{A\subset{Z}/2n\in{A}\Longleftrightarrow{2n-1}\in{A}}, \forall{n\in{Z}}\} \)

No me queda claro cómo se interpretaría esto. Es decir no me queda claro qué característica deben poseer los conjuntos para que en esta topología sean abiertos, porque en la definición dice que la condición de que tanto un número par como su anterior deben pertencer al conjunto, pero "\( \forall{n\in{Z}} \)", lo que hace pensar que el único conjunto que puede cumplir esto sería el propio connjunto de los enteros \( Z \). Leído coloquialmente diría que: "Un subconjunto de los enteros es abierto si contiene a todos los números pares e impares". Porque si se hubiera referido a que \( \exists{n\in{Z}/2n\in{Z}\wedge2n-1\in{Z}} \) no debería aparecer el símbolo de "para todo" y, por ejemplo, el conjunto \( A=\{4;3\} \) sería abierto.
Pero no me queda claro cómo interpretarlo.

Significa que \( T \) está formado por los conjuntos \( A \) que cumplen la siguiente propiedad:

Si \( 2n\in A \) entonces \( 2n-1\in A \)

Es decir si un número par está en \( A \) entonces también está su número impar inmediatamente anterior; pero eso no obliga a que estén todos los pares.

O por oposición: no es abierto el conjunto contiene a un número par pero no a su impar inmediatamente anterior.

Por ejemplo serían abiertos:

\( \emptyset, \{3,4\},\{7\},\{1,3,5,6\},\{11,12,19,20,101,117,119\} \)

(el vacío también; en caso contrario debería de contener un par pero no su impar anterior y no es así simplemente porque no contiene ningún elemento par).

No lo serian:

\( \{1,3,18\},\{6\},\{4,5,6,7,8\},\{12\} \)

Es topología:

1) Claramente el vacío y el total están en \( T \).
2) Si \( A,B\in T \) entonces \( A\cap B\in T \).

Efectivamente, si \( 2n\in A\cap B \), entonces:

- \( 2n\in A \) y como \( A\in T \) entonces \( 2n-1\in A \).
- \( 2n\in B \) y como \( B\in T \) entonces \( 2n-1\in B \).

y por tanto \( 2n-1\in A\cap B \).

3) Si \( \{A_i\}_{i\in I}\subset T \) entonces \( \displaystyle\bigcup_{i\in T}A_i\in T \).

Efectivamente, si \( 2n\in \displaystyle\bigcup_{i\in T}A_i \), entonces \( 2n\in A_{i_0} \) para algún \( i_0\in I \). Como \( A_{i_0}\in T \) entonces \( 2n-1\in A_{i_0} \) y \( 2n-1\in\displaystyle\bigcup_{i\in T}A_i \).

Saludos.

[Ariel Fernández]

Hola

Significa que \( T \) está formado por los conjuntos \( A \) que cumplen la siguiente propiedad:

Si \( 2n\in A \) entonces \( 2n-1\in A \)

Es decir si un número par está en \( A \) entonces también está su número impar inmediatamente anterior; pero eso no obliga a que estén todos los pares.

O por oposición: no es abierto el conjunto contiene a un número par pero no a su impar inmediatamente anterior.

Por ejemplo serían abiertos:

\( \emptyset, \{3,4\},\{7\},\{1,3,5,6\},\{11,12,19,20,101,117,119\} \)

(el vacío también; en caso contrario debería de contener un par pero no su impar anterior y no es así simplemente porque no contiene ningún elemento par).

No lo serian:

\( \{1,3,18\},\{6\},\{4,5,6,7,8\},\{12\} \)

Es topología:

1) Claramente el vacío y el total están en \( T \).
2) Si \( A,B\in T \) entonces \( A\cap B\in T \).

Efectivamente, si \( 2n\in A\cap B \), entonces:

- \( 2n\in A \) y como \( A\in T \) entonces \( 2n-1\in A \).
- \( 2n\in B \) y como \( B\in T \) entonces \( 2n-1\in B \).

y por tanto \( 2n-1\in A\cap B \).

3) Si \( \{A_i\}_{i\in I}\subset T \) entonces \( \displaystyle\bigcup_{i\in T}A_i\in T \).

Efectivamente, si \( 2n\in \displaystyle\bigcup_{i\in T}A_i \), entonces \( 2n\in A_{i_0} \) para algún \( i_0\in I \). Como \( A_{i_0}\in T \) entonces \( 2n-1\in A_{i_0} \) y \( 2n-1\in\displaystyle\bigcup_{i\in T}A_i \).

Saludos.

Muchas gracias Luis. Teniendo esto presente paso a escribir las consginas que tenían que resolverse en este espacio  topológico y mis respuestas, para que me digan si esta todo bien:
a)¿ Es \( C=\{1;2;2\} \) un conjunto abierto? ¿Es cerrado?
b)Hallar la \( Fr(C) \)
c)Hallar el conjunto derivado de C
d)Hallar \( Cl(C) \)

Mis respuestas:

a) Es abierto porque cumple con la condición expresada en la topología, ya que es un subconjunto de los enteros en el cual cada vez que aparece un número par, que en este caso únicamente sería el 2, aparece también su impar anterior inmediato, que en este caso es el 1. Por tanto, pertenece a la topología.
No es cerrado porque no contiene a todos sus puntos de acumulación. Por ejemplo, el 4 es un punto de acumulación, ya que todo abierto que lo contiene, por el hecho de ser abierto, debe contener a su número impar inmediatamente anterior, que en este caso es el 3 y, por tanto, para todo abierto que contiene al 4, excluyendo a éste, tendría intersección no vacía con el conjunto C, ya que tendría en común al menos el elemento 3. Pero sin embargo 4 no pertenece a C.

b) La frontera de C sería únicamente el conjunto unitario \( \{4\} \), ya que todo abierto que contiene al 4, por el hecho de ser abierto, debe contener necesariamente al 3, por lo tanto todo abierto que contiene al 4, aún si yo excluyo al mismo, la intersección con C sería distinta del vacio. De forma análoga, todo abierto que contiene al 4, como 4 pertenece al complemento de C, entonces todo abierto que contiene al 4 en intersección con el complemento de C, es distinto del vacio.

c) El conjunto derivado de C  sería el conjunto \( \{4;2\} \), porque para todo elemento distinto de 4 y de 2, puedo encontrar un abierto que los contenga y que al excluirlos sí tengan intersección vacía con C. Si considero un numero \( p \) par distinto de 4 y de 2, entonces el abierto \( \{p-1;p\} \) tendría intersección vacía con C. De igual forma, si \( p \) es impar entonces basta tomar los abiertos unitarios \( \{p\} \), en donde al restarles el propio \( p \) tendrían intersección vacia con C.

d) \( Cl (C)=\{1;2;3;4\} \)

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Muchas gracias Luis. Teniendo esto presente paso a escribir las consginas que tenían que resolverse en este espacio  topológico y mis respuestas, para que me digan si esta todo bien:
a)¿ Es \( C=\{1;2;\color{red}2\color{black}\} \) un conjunto abierto? ¿Es cerrado?
b)Hallar la \( Fr(C) \)
c)Hallar el conjunto derivado de C
d)Hallar \( Cl(C) \)

Supongo que ese dos en rojo debería de ser un tres.

Por lo demás está bien.

Saludos.

[Ariel Fernández]

En efecto, una errata.

Muchas gracias.

Saludos