...Para un valor de densidad conocido como densidad crítica tendríamos un universo "Plano" (o en términos más precisos, tendríamos una variedad lorentziana de cuatro dimensiones y curvatura nula) tal como es descrito por la métrica de Minkowski. El problema con este tipo de universo es que viola el principio cosmológico citado antes por lo que no se considera una solución válida...
Hola compañero, nota que aquí tienes un malentendido. La métrica de Friedman-Lemaitre-Robertson-Walker (FLRW) se deduce
matemáticamente de las Ecuaciones de Campo de la Relatividad General y del Principio Cosmológico, este último significa homogeneidad e isotropía del universo a gran escala. Ninguna solución propia de la métrica FLRW puede violar el principio cosmológico, puesto que, repito, FLRW ha sido deducida
matemáticamente a partir de él.
Con el convenio de unidades \( c=1 \) la métrica FLRW es:
\( \mathrm{d}s^2 = -\mathrm{d}t^2 + {a(t)}^2 \left( \dfrac{\mathrm{d}r^2}{1-k r^2} + r^2 \mathrm{d}\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta \, \mathrm{d}\phi^2 \right) \)
El parámetro \( a \) es el factor de escala, variable a lo largo de la vida del universo y \( k \) es la curvatura. El convenio habitual es considerar que ahora \( a=1 \) y como el universo está en expansión, en el pasado \( a<1 \) y en el futuro \( a>1 \)
Si el universo tuviese la densidad crítica ello implicaría que \( k=0 \) y la expresión anterior queda:
\( \mathrm{d}s^2 = -\mathrm{d}t^2 + {a(t)}^2 \left( \mathrm{d}r^2 + r^2 \mathrm{d}\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta \, \mathrm{d}\phi^2 \right) \)
Esta situación (
densidad del universo igual a la crítica) no solo es válida física y matemáticamente (no viola nada), sino que además
es la más favorecida por las mejores medidas de las que los cosmólogos disponen en la actualidad. Si la densidad es la crítica, el universo es infinito y euclídeo lo que significa que las paralelas se mantienen paralelas, (no se cortan ni se separan), que la suma de los ángulos internos de un triángulo es \( 2\pi \) y que un vector trasladado paralelamente por cualquier circuito cerrado se superpone sobre si mismo al regresar al punto de partida.
Resumo:
Resolviendo las Ecuaciones de Campo de la Relatividad General con las condiciones de que todo el universo sea a gran escala homogéneo e isótropo se obtiene como solución:
1. Que el universo todo, debe estar en expansión o contracción
2. Y que el universo todo, debe ser geométricamente de una de estas 3 maneras
- Hiperbólico \( \Omega < 1 \rightarrow k<0 \) Dos rayos de luz que parten inicialmente paralelos se irían separando al avanzar grandes distancias, como las geodésicas de un paraboloide hiperbólico. El universo hiperbólico en su topología sencilla, es infinito en tamaño.
- Plano. \( \Omega = 1 \rightarrow k=0 \) Dos rayos de luz que parten inicialmente paralelos mantendrán siempre la misma separación al avanzar grandes distancias, como dos rectas paralelas en un plano. El universo plano en su topología sencilla, es infinito en tamaño.
- Esférico. \( \Omega > 1 \rightarrow k>0 \) Dos rayos de luz que parten inicialmente paralelos van disminuyendo su separación al avanzar grandes distancias y finalmente se cortan, como dos meridianos que parten paralelos del ecuador, pero se cortan en el polo de una esfera. El universo esférico en su topología sencilla, es finito en tamaño.
El parámetro \( \Omega =\dfrac{\rho}{\rho_c} \) es el cociente entre la densidad real del universo y una densidad llamada “
crítica” y es un parámetro que hay que medirlo para conocer su valor. El mejor valor del que disponemos en la actualidad es el publicado en 2020 por la
Colaboración Planck 2018, basado en las medidas realizadas entre 2009 y 2013 desde el satélite Planck de la ESA: el valor está muy, muy cerca de 1, con una desviación máxima menor del 0.2%:
\( \boldsymbol{\Omega = 0.9993 \pm 0.0019} \)
\( \Omega = 0.9993 \pm 0.19 \% \)
\( 0.9974 < \Omega <1.0012 \)
Como vemos, la medida no excluye ninguna de las tres posibilidades \( \Omega <1, \quad \Omega =1, \quad \Omega >1 \) pero claramente nos dice que, si el universo no es plano, "
casi lo es", puesto que su curvatura \( k \), si no es cero, ya fuese positiva o negativa, sería muy pequeña. La relación entre el ratio de densidad y la curvatura es:
\( k=\dfrac{(\Omega -1) H_0^2}{c^2} \)
La métrica de Minkowsky es:
\( \mathrm{d}s^2 = -\mathrm{d}t^2 + \left( \mathrm{d}r^2 + r^2 \mathrm{d}\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta \, \mathrm{d}\phi^2 \right) \)
Que no coincide con la FLRW del universo euclídeo a lo largo de la vida del universo, ya que en la de Minkowsky no aparece el factor de escala \( a \). Podríamos decir que en los "
cortes congelados en un instante de tiempo" del universo, sería aplicable la expresión de Minkowsky.
Saludos.
