[Mathhis]

Hola. Alguna idea para resolver el siguiente límite?

\(  \displaystyle\lim_{(x,y) \to{(1,1)}}\left ( 1-\dfrac{\log^2(1+x-y)}{\sin(x-y)}\right)^{\dfrac{2}{(x-y)^3}} \)

Quizá haciendo el cambio \( z=x-y \) y hallar el límite de una variable cuando \( z \) tiende a 0?

Gracias

[Juan Pablo Sancho]

Bienvenido al foro Mathhis
Si haces el cambio que propones  te queda:
\( \displaystyle \lim_{z \to 0} (1-\dfrac{\log^2(1+z)}{\sen(z)})^{\dfrac{2}{z^3}}  \) que es del tipo \( 1^{+\infty} \), luego sabiendo que es de este tipo:
Sea \( a(z) =  1-\dfrac{\log^2(1+z)}{\sen(z)}  \) y \( b(z) = \dfrac{2}{z^3}  \) tenemos:
\( \displaystyle \lim_{z \to 0} a(z)^{b(z)} = \lim_{z \to 0} e^{b(z) \cdot \log(a(z))} = \lim_{z \to 0} e^{b(z) \cdot (a(z) - 1)}  \)
Te queda:
\( b(z) \cdot (a(z)-1) = -\dfrac{2}{z^3} \cdot \dfrac{\log(1+z) \cdot \log(1+z)}{\sen(z)} = -\dfrac{2}{z^2} \cdot \dfrac{\log(1+z)}{z} \cdot \dfrac{\log(1+z)}{z} \cdot \dfrac{z}{\sen(z)}  \)

[Luis Fuentes]

Hola

Hola. Alguna idea para resolver el siguiente límite?

\(  \displaystyle\lim_{(x,y) \to{(1,1)}}\left ( 1-\dfrac{\log^2(1+x-y)}{\sin(x-y)}\right)^{\dfrac{2}{(x-y)^3}} \)

Quizá haciendo el cambio \( z=x-y \) y hallar el límite de una variable cuando \( z \) tiende a 0?

Si, puedes hacer ese cambio, teniendo en cuenta que si:

\( \displaystyle\lim_{z \to 0}{}f(z)=L \) y \( \displaystyle\lim_{(x,y) \to (a,b)}g(x,y)=0 \)

entonces:

\( \displaystyle\lim_{(x,y) \to (a,b)}f(g(x,y))=L \)

ya que la composición de funciones continuas es continua.

¿Sabes resolverlo con ese cambio?.

Saludos.

[Mathhis]

Hola, sí gracias. Lo único que debo evitar el rayo \( y=x\ne 1 \). A veces no tengo claro cuándo puedo hacer cambios de variable y cuándo no.