Hola Masacroso
Disculpa mi ignorancia
Pero
Que es el álgebra exterior?
Es un álgebra que se puede construir sobre espacios vectoriales para representar escalares, áreas y en general toda clase de volúmenes \( n \)-dimensionales (limitados por la dimensión del espacio vectorial sobre el que estemos) además de direcciones (vectores). En este caso si definimos el operador \( \wedge : \mathbb{C}^2 \to \mathbb{R},\, (z,w)\mapsto \operatorname{Im}(z\bar w) \) entonces una expresión como \( z\wedge w \) representa el área (orientada) del paralelogramo generado por \( z,w\in \mathbb{C} \) vistos como vectores en el plano complejo.
Un producto como el definido más arriba por \( z\wedge w \) se denomina
producto exterior, que es una función \( \mathbb{R} \)-bilineal y antisimétrica, es decir que cumple que \( z\wedge w=-w\wedge z \) (que en este caso es equivalente a que \( z\wedge z=0 \) para todo \( z\in \mathbb{C} \)) y el producto es \( \mathbb{R} \)-lineal en cada uno de sus lados, es decir que \( \lambda (z\wedge w)=(\lambda z)\wedge w=z\wedge (\lambda w) \) para todo \( \lambda \in \mathbb{R} \), \( (z+u)\wedge w=z\wedge w+u\wedge w \) y \( z\wedge (u+w)=z\wedge u+z\wedge w \) para todo \( z,u,w\in \mathbb{C} \).
Mira
aquí para un contexto más general.
Entonces estaba intentando reescribir la expresión \( \operatorname{sen}(2x)+\operatorname{sen}(2y)-2\operatorname{sen}(x)\cos (y) \) tomando \( z:=e^{ix} \) y \( w:=e^{iy} \) y usando el álgebra del producto exterior como suma de áreas fáciles de interpretar para una demostración. Así por ejemplo se obtienen cosas como
\( \displaystyle{
\begin{align*}
\operatorname{sen}(2x)+\operatorname{sen}(2y)-2\operatorname{sen}(x)\cos (y)&=\operatorname{sen}(2x)+\operatorname{sen}(2y)-\operatorname{sen}(x+y)-\operatorname{sen}(x-y)\\
&=\operatorname{Im}(z^2+w^2-zw-z\bar w)\\
&=\operatorname{Im}((z-w)^2+z(w-\bar w))\\
&=(z-w)\wedge (\bar z-\bar w)+z\wedge (\bar w-w)\\
&=(z-w)\wedge (\bar z-\bar w)+(z-w+w)\wedge (\bar w-w)\\
&=(z-w)\wedge (\bar z-\bar w)+(z-w)\wedge (\bar w-w)+w\wedge (\bar w-w)\\
&=(z-w)\wedge (\bar z-w)+w\wedge \bar w\\
&=(z^2+w^2-2z\operatorname{Re}(w))\wedge 1\\
&=((z-w)^2+2zi \operatorname{Im}(w))\wedge 1
\end{align*}
} \)
Pero por más expresiones que buscaba de áreas, acomodando las áreas individuales en un área grande, no conseguía una cota tan buena como \( \sqrt{2} \), lo más que llegué a bosquejar es una cota de \( \pi-1 \). Mi empecinamiento geométrico no me llevó a nada, tendría que haber probado más cosas por el lado analítico.
