[Pie]

Demostrar que:

\[ a^2 + b^2+c^2+d^2 = 4r^2  \]



Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Spoiler

 Por potencia del punto \( A \) respecto a la circunferencia:

\(  (r+k)(r-k)=ab=cd \)

 Es decir:

\(  r^2-ab=k^2 \)   (1)
\(  r^2-cd=k^2 \)   (2)

 Pero \( k^2=\dfrac{(a-b)^2}{2^2}+\dfrac{(c-d)^2}{2^2}=\dfrac{a^2+b^2-2ab+c^2+d^2-2cd}{4} \). Sustituyendo en (1) y (2) y quitando denominadores:

\(  4r^2-4ab=a^2+b^2-2ab+c^2+d^2-2cd \)
\(  4r^2-4cd=a^2+b^2-2ab+c^2+d^2-2cd \)

 Sumando ambas ecuaciones:

\( 8r^2-4ab-4cd=2a^2+2b^2+2c^2+2d^2-4ab-4cd \)

 Simplificando y dividiendo entre dos:

\( 4r^2=a^2+b^2+c^2+d^2 \).

[cerrar]

Saludos.

[Pie]

Hola

Spoiler

 Por potencia del punto \( A \) respecto a la circunferencia:

\(  (r+k)(r-k)=ab=cd \)

 Es decir:

\(  r^2-ab=k^2 \)   (1)
\(  r^2-cd=k^2 \)   (2)

 Pero \( k^2=\dfrac{(a-b)^2}{2^2}+\dfrac{(c-d)^2}{2^2}=\dfrac{a^2+b^2-2ab+c^2+d^2-2cd}{4} \). Sustituyendo en (1) y (2) y quitando denominadores:

\(  4r^2-4ab=a^2+b^2-2ab+c^2+d^2-2cd \)
\(  4r^2-4cd=a^2+b^2-2ab+c^2+d^2-2cd \)

 Sumando ambas ecuaciones:

\( 8r^2-4ab-4cd=2a^2+2b^2+2c^2+2d^2-4ab-4cd \)

 Simplificando y dividiendo entre dos:

\( 4r^2=a^2+b^2+c^2+d^2 \).

[cerrar]

Saludos.

  

Otra forma:

Spoiler

Llamando \( a = AP, b = BP, c = DP, d = DP \) se tiene:

\( a^2 + c^2 = AC^2 \)
\( b^2 + d^2 = BD^2 \)

Por ser cuerdas perpendiculares se tiene también que:

\[ \dfrac{\angle AOC + \angle BOD}{2} = 90^o \Longrightarrow{} \]
                     
\[ \angle AOC + \angle BOD = 180^o \]

Entonces si rotamos el triángulo \( AOC \) de modo que el vértice \( C \) coincida con el vértice \( B \) nos queda un triángulo rectángulo de hipotenusa igual al diámetro de la circunferencia (\( AD = 2r \)) y catetos \( AC \) y \( BD \).



Entonces por Pitágoras:

\[ (2r)^2 = AC^2 + BD^2 \Longrightarrow{} 4r^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \]

[cerrar]

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Otra forma:

Spoiler

Llamando \( a = AP, b = BP, c = DP, d = DP \) se tiene:

\( a^2 + c^2 = AC^2 \)
\( b^2 + d^2 = BD^2 \)

Por ser cuerdas perpendiculares se tiene también que:

\[ \dfrac{\angle AOC + \angle BOD}{2} = 90^o \Longrightarrow{} \]
                     
\[ \angle AOC + \angle BOD = 180^o \]

Entonces si rotamos el triángulo \( AOC \) de modo que el vértice \( C \) coincida con el vértice \( B \) nos queda un triángulo rectángulo de hipotenusa igual al diámetro de la circunferencia (\( AD = 2r \)) y catetos \( AC \) y \( BD \).



Entonces por Pitágoras:

\[ (2r)^2 = AC^2 + BD^2 \Longrightarrow{} 4r^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \]

[cerrar]

Mucho más bonito. 

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

Demostrar que:

\[ a^2 + b^2+c^2+d^2 = 4r^2  \]

Spoiler

Por ángulo interior \( 90^{\circ}=\dfrac{\beta+\alpha}{2}\Longrightarrow \beta=180^{\circ}-\alpha\Longrightarrow \cos\beta=-\cos\alpha \). Así pues, \( a^2+b^2+c^2+d^2=x^2+y^2=2r^2-2r^2\cos\alpha+2r^2-2r^2\cos\beta=4r^2-2r^2(\cos\alpha+\cos\beta)=\boxed{4r^2} \).

[cerrar]

Saludos

[Pie]

Hola:

Demostrar que:

\[ a^2 + b^2+c^2+d^2 = 4r^2  \]

Spoiler

Por ángulo interior \( 90^{\circ}=\dfrac{\beta+\alpha}{2}\Longrightarrow \beta=180^{\circ}-\alpha\Longrightarrow \cos\beta=-\cos\alpha \). Así pues, \( a^2+b^2+c^2+d^2=x^2+y^2=2r^2-2r^2\cos\alpha+2r^2-2r^2\cos\beta=4r^2-2r^2(\cos\alpha+\cos\beta)=\boxed{4r^2} \).

[cerrar]

Saludos

Saludos.