[Fernando Moreno]

Hola,     


Supongamos que  \( c^4=a^4+b^4 \) ,  para  \( a,b,c \)  enteros,  coprimos entre sí -y-  \( b \)  par.   

Si aplicamos al caso las soluciones del UTF2.  Como:  \( (c^2)^2=(a^2)^2+(b^2)^2 \) .  Tendremos que:  \( c^2=p^2+q^2 \) ,  \( a^2=p^2-q^2 \)  -y-  \( b^2=2pq \) ,  para  \( p,q \)  coprimos -y-  \( p\not\equiv{q} \) mod \( 2 \) .   Como  \( b^2=2pq \) ,  entonces:  \( p=p_1^2 \)  -y-  \( q=2q_1^2 \) ,  si  \( q \)  es par, -y-  \( b=2p_1q_1 \) .  De hecho  \( q \)  debe ser par porque si lo fuera  \( p \) ,  entonces  \( a^2\equiv{0-1} \) mod \( 4 \) ; que no es residuo cuadrático de  \( 4 \) .      

Como entonces  \( c=a+b-d \) ,  para un  \( d \)  entero.  Tendremos que  \( c^2=a^2+b^2+2ab+d^2-2d(a+b) \) .              

Conocemos también, por la misma lógica anterior, que  \( c^2=a^2+b^2-e \) ,  para un  \( e \)  entero. Luego  \( e=a^2+b^2-c^2=p^2-q^2+2pq-p^2-q^2=-2q^2+2pq=2q(p-q) \) .  Como por arriba  \( -e=2ab+d^2-2d(a+b) \) ,  entonces  \( -2q(p-q)=2ab+d^2-2d(a+b) \)  -y-  \( 2ab+d^2-2d(a+b)\equiv 0 \) mod \( (p-q) \) .     

Partimos de  \( a^2=p^2-q^2=(p+q)(p-q) \) ,  donde  \( p+q \)  -y-  \( p-q \)  son cuadrados perfectos.  Luego lo de antes será:  \( d^2-2db\equiv 0 \) mod \( (p-q)^{\frac{1}{2}} \)  -y-  \( d(d-2b)\equiv 0 \) mod \( (p-q)^{\frac{1}{2}} \) .   

Si  \( (p-q)^{\frac{1}{2}}\nmid d \) ,  entonces  \( d-2b\equiv 0 \) mod \( (p-q)^{\frac{1}{2}} \) .  Ahora bien:  \( c\equiv a+b-d \) mod \( (p-q)^{\frac{1}{2}} \)  -y-  \( c\equiv b-d \) mod \( (p-q)^{\frac{1}{2}} \) .     

De esta manera, por un lado tenemos que:  \( d\equiv 2b \) mod \( (p-q)^{\frac{1}{2}} \)  -y- por otro:  \( b-c\equiv d \) mod \( (p-q)^{\frac{1}{2}} \) .  Así:  \( b-c\equiv 2b \) mod \( (p-q)^{\frac{1}{2}} \)  -y-  \( b+c\equiv 0 \) mod \( (p-q)^{\frac{1}{2}} \) . Pero:  \( c^2-b^2=p^2+q^2-2pq=(p-q)^2 \)  -y-  \( c^2-b^2=(c+b)(c-b) \) .  Lo que no puede ser porque  \( c+b \)  -y-  \( c-b \)  son coprimos, a no ser que  \( c-b=1 \) .       

Si  \( c-b=1 \) ,  entonces  \( c^2-b^2=c+b=(p-q)^2 \)  \( \Rightarrow \)  \( (c+b)^2=(p-q)^4 \)  \( \Rightarrow \)  \( c^2+b^2+2cb=p^4-4p^3q+6p^2q^2-4pq^3+q^4 \)  -y-  \( p^2+q^2+2pq+2cb=p^4-4p^3q+6p^2q^2-4pq^3+q^4 \) .   Por lo que módulo  \( p \) ,  la anterior ecuación queda:  \( q^2+2cb\equiv q^4 \) .  Y como partimos de  \( b=2p_1q_1 \) ,  será que  \( q^2+2cb=q^2\equiv q^4 \) mod \( p_1 \)  \( \Rightarrow \)  \( q^2\equiv q^4 \) mod \( p_1 \)  -y-  \( q^2\equiv 1 \) mod \( p_1 \) .  De esta manera  \( (q^2-1)^2\equiv 0 \) mod \( (p_1^2=p) \)  -y-  \( q^4+1-2q^2\equiv 0 \) mod \( p \) .  Pero entonces  \( q^2(q^2-2)\equiv-1 \) mod \( p \)  -y-  \( q^2\equiv 1 \) mod \( p \) .  Lo que es contradictorio, porque quedamos que  \( q^2+2cb\equiv q^4 \) mod \( p \)  -y- es claro que  \( 2cb\not\equiv 0 \) mod \( p \) ,  ya que  \( p \)  es impar y coprimo con  \( c \)  -y- con  \( q_1 \) .     

Así que no queda otra que  \( (p-q)^{\frac{1}{2}}\mid d \) .     

Ahora bien, como  \( c\equiv a+b-d \) mod \( (p-q)^{\frac{1}{2}} \) .  Es ahora \( c-b\equiv 0 \) mod \( (p-q)^{\frac{1}{2}} \) .     

Pero de nuevo  \( c^2-b^2=(p-q)^2 \)  -y-  \( (c+b)(c-b)=(p-q)^2 \) .  Y esta vez  \( c+b \)  no puede ser igual á  \( 1 \) ,  a no ser que a su vez  \( b \)  ó  \( c \)  sean iguales á  \( 0 \) .              


Un saludo,

[Luis Fuentes]

Hola

Partimos de  \( a^2=p^2-q^2=(p+q)(p-q) \) ,  donde  \( p+q \)  -y-  \( p-q \)  son cuadrados perfectos.  Luego lo de antes será:  \( d^2-2db\equiv 0 \) mod \( (p-q)^{\frac{1}{2}} \)  -y-  \( d(d-2b)\equiv 0 \) mod \( (p-q)^{\frac{1}{2}} \) .   

Si  \( (p-q)^{\frac{1}{2}}\nmid d \) ,  entonces  \( d-2b\equiv 0 \) mod \( (p-q)^{\frac{1}{2}} \) .

No es cierto que si:

\( xy\equiv 0 \) mod \( k \) y \( k\nmid x \) entonces \( y\equiv 0 \) mod \( k \)

(en tu caso \( x=d,\quad y=d-2b,\quad k=\sqrt{p-q} \)).

Por ejemplo:

\( 21\cdot 10\equiv 0 \)  mod \( 6 \) pero \( 6 \) NO divide ni a \( 21 \) ni a \( 10 \).

Sería cierto si \( k \) fuese primo. La forma técnica de decirlo es que \( \Bbb Z_k \) es un dominio (NO tiene divisores de cero) si y sólo si \( k \) es primo.

Tampoco entiendo del todo como razonas a continuación:

Ahora bien:  \( c\equiv a+b-d \) mod \( (p-q)^{\frac{1}{2}} \)  -y-  \( c\equiv b-d \) mod \( (p-q)^{\frac{1}{2}} \) .     

De esta manera, por un lado tenemos que:  \( d\equiv 2b \) mod \( (p-q)^{\frac{1}{2}} \)  -y- por otro:  \( b-c\equiv d \) mod \( (p-q)^{\frac{1}{2}} \) .  Así:  \( b-c\equiv 2b \) mod \( (p-q)^{\frac{1}{2}} \)  -y-  \( b+c\equiv 0 \) mod \( (p-q)^{\frac{1}{2}} \) . Pero:  \( c^2-b^2=p^2+q^2-2pq=(p-q)^2 \)  -y-  \( c^2-b^2=(c+b)(c-b) \) .  Lo que no puede ser porque  \( c+b \)  -y-  \( c-b \)  son coprimos, a no ser que  \( c-b=1 \) .

 No acabo de ver que es lo que no puede ser y cómo deduces que \( c-b=1 \).

 Lo que tienes ahí es que \( b-c  \)es múltiplo de \( \sqrt{p-q} \)  y \( (c+b)(c-b)=(p-q)^2 \). Pero podría ser \( b-c \) múltiplo de  \( (p-q)^2 \) y \( (c+b) \) cualquier número coprimo con \( p-q \). ¿O hay algo qué no veo?.

Saludos.

[Fernando Moreno]

Hola

No es cierto que si:

\( xy\equiv 0 \) mod \( k \) y \( k\nmid x \) entonces \( y\equiv 0 \) mod \( k \)

(en tu caso \( x=d,\quad y=d-2b,\quad k=\sqrt{p-q} \)).

Por ejemplo:

\( 21\cdot 10\equiv 0 \)  mod \( 6 \) pero \( 6 \) NO divide ni a \( 21 \) ni a \( 10 \).

Sería cierto si \( k \) fuese primo. La forma técnica de decirlo es que \( \Bbb Z_k \) es un dominio (NO tiene divisores de cero) si y sólo si \( k \) es primo.

Llevas razón, debe ser primo. Qué pena, no sé si esto va a tener arreglo

Tampoco entiendo del todo como razonas a continuación:

Ahora bien:  \( c\equiv a+b-d \) mod \( (p-q)^{\frac{1}{2}} \)  -y-  \( c\equiv b-d \) mod \( (p-q)^{\frac{1}{2}} \) .     

De esta manera, por un lado tenemos que:  \( d\equiv 2b \) mod \( (p-q)^{\frac{1}{2}} \)  -y- por otro:  \( b-c\equiv d \) mod \( (p-q)^{\frac{1}{2}} \) .  Así:  \( b-c\equiv 2b \) mod \( (p-q)^{\frac{1}{2}} \)  -y-  \( b+c\equiv 0 \) mod \( (p-q)^{\frac{1}{2}} \) . Pero:  \( c^2-b^2=p^2+q^2-2pq=(p-q)^2 \)  -y-  \( c^2-b^2=(c+b)(c-b) \) .  Lo que no puede ser porque  \( c+b \)  -y-  \( c-b \)  son coprimos, a no ser que  \( c-b=1 \) .

 No acabo de ver que es lo que no puede ser y cómo deduces que \( c-b=1 \).

 Lo que tienes ahí es que \( b-c  \)es múltiplo de \( \sqrt{p-q} \)  y tex](c+b)(c-b)=(p-q)^2[/tex]. Pero podría ser \( b-c \) múltiplo de  \( (p-q)^2 \) y \( (c+b) \) cualquier número coprimo con \( p-q \). ¿O hay algo qué no veo?.

\( c+b \)  no puede ser cualquier número coprimo con  \( p-q \)  porque  \( c^2-b^2=(p-q)^2 \) .  A eso me refería. No sé si te entiendo

Un saludo

[Luis Fuentes]

Hola

\( c+b \)  no puede ser cualquier número coprimo con  \( p-q \)  porque  \( c^2-b^2=(p-q)^2 \) .  A eso me refería. No sé si te entiendo

 Si; de acuerdo. Estaba pensando en \( c^2-b^2 \) múltiplo de \( (p-q)^2 \). Pero no; si es igual tienes razón.

Saludos.

[Fernando Moreno]

Hola, ahora que lo pienso.. (antes de que llegue mi jefe y me vea escribiendo mates jeje..)

No es cierto que si:

\( xy\equiv 0 \) mod \( k \) y \( k\nmid x \) entonces \( y\equiv 0 \) mod \( k \)

(en tu caso \( x=d,\quad y=d-2b,\quad k=\sqrt{p-q} \)).

Por ejemplo:

\( 21\cdot 10\equiv 0 \)  mod \( 6 \) pero \( 6 \) NO divide ni a \( 21 \) ni a \( 10 \).

Sería cierto si \( k \) fuese primo. La forma técnica de decirlo es que \( \Bbb Z_k \) es un dominio (NO tiene divisores de cero) si y sólo si \( k \) es primo.

Llevas razón, debe ser primo. Qué pena, no sé si esto va a tener arreglo

Si  \( p-q \)  es igual á  \( s_1\cdot s_2\cdot\cdot s_3 \)  primos. Tomando el primo que divide á  \( d-2b \)  por un lado, y luego al otro primo que divide á  \( d \)  por otro; como ambos dividen á  \( a \) ,  valdrían las congruencias

Un saludo

Qué va. No me salen las cuentas, un primo podría dividir á  \( c+b \)  -y- otro á  \( c-b \) .  Disculpas

[Fernando Moreno]

Vamos a ver ahora. 

Supongamos que  \( c^4=a^4+b^4 \) ,  para  \( a,b,c \)  enteros,  coprimos entre sí -y-  \( b \)  par.   

Si aplicamos al caso las soluciones del UTF2.  Como:  \( (c^2)^2=(a^2)^2+(b^2)^2 \) .  Tendremos que:  \( c^2=p^2+q^2 \) ,  \( a^2=p^2-q^2 \)  -y-  \( b^2=2pq \) ,  para  \( p,q \)  coprimos -y-  \( p\not\equiv{q} \) mod \( 2 \) .  De hecho  \( q \)  debe ser par porque si lo fuera  \( p \) ,  entonces  \( a^2\equiv{0-1} \) mod \( 4 \)  -y-  \( -1 \)  no es un residuo cuadrático de  \( 4 \) .      

Como  \( p-q \)  puede ser igual á  \( 1 \) ,  pues esta es una relación entre estas dos variables que se da en las soluciones del caso del UTF2; la vamos a suponer, pues tiene que poder cumplirse también en este contexto ya que se ha deducido que  \( a^2=p^2-q^2 \) .   

Tenemos por una parte que  \( c^2-b^2=p^2+q^2-2pq=(p-q)^2 \)  -y- por otra que  \( c^2-b^2=(c+b)(c-b) \) .  Luego  \( (c+b)(c-b)=(p-q)^2 \)  -y-  \( (c+b)(c-b)=1 \) .  Pero  \( c+b \)  no puede ser igual á  \( 1 \) ,  a no ser que a su vez  \( b \)  ó  \( c \)  sean  iguales á  \( 0 \) .               

De esta manera  \( a^2 \)  no puede ser un caso general de solución de UTF2 en el que sea igual á  \( p^2-q^2 \) ,  porque  \( p-q \) ,  para unos  \( p \)  -y-  \( q \)  enteros cualesquiera coprimos entre sí y uno de ellos par, no puede ser nunca igual á  \( 1 \) . Luego ya no serían esos  \( p \)  -y-  \( q \)  del UTF2.

¿Es válido este razonamiento? 

Un saludo

[Luis Fuentes]

Hola

Como  \( p-q \)  puede ser igual á  \( 1 \) ,  pues esta es una relación entre estas dos variables que se da en las soluciones del caso del UTF2; la vamos a suponer, pues tiene que poder cumplirse también en este contexto ya que se ha deducido que  \( a^2=p^2-q^2 \) .   

Tenemos por una parte que  \( c^2-b^2=p^2+q^2-2pq=(p-q)^2 \)  -y- por otra que  \( c^2-b^2=(c+b)(c-b) \) .  Luego  \( (c+b)(c-b)=(p-q)^2 \)  -y-  \( (c+b)(c-b)=1 \) .  Pero  \( c+b \)  no puede ser igual á  \( 1 \) ,  a no ser que a su vez  \( b \)  ó  \( c \)  sean  iguales á  \( 0 \) .               

De esta manera  \( a^2 \)  no puede ser un caso general de solución de UTF2 en el que sea igual á  \( p^2-q^2 \) ,  porque  \( p-q \) ,  para unos  \( p \)  -y-  \( q \)  enteros cualesquiera coprimos entre sí y uno de ellos par, no puede ser nunca igual á  \( 1 \) . Luego ya no serían esos  \( p \)  -y-  \( q \)  del UTF2.

¿Es válido este razonamiento? 

 ¡No! No es válido. No tiene sentido que digas que puedes suponer que \( p-q=1 \). O en otras palabras, en todo caso si supones que \( p-q=1 \) y llegas a una contradicción, lo único que puedes concluir es que \( p-q\neq 1 \), lo cuál no es mucha cosa.

Saludos.