[Tachikomaia]

Tengo un juguete así:

Nunca pude lograr que todos los números queden en orden.

En donde no hay número es posible mover el 9 o el 14, pudiendo entonces mover otros números al nuevo casillero vacío y así sucesivamente.

Si es posible ganar, quisiera saber cómo.

Sino, quisiera que lo demuestren, si es posible.

[Luis Fuentes]

Hola

Tengo un juguete así:

Nunca pude lograr que todos los números queden en orden.

En donde no hay número es posible mover el 9 o el 14, pudiendo entonces mover otros números al nuevo casillero vacío y así sucesivamente.

Es imposible. Se trataría de llegar de aquí:



a aquí:



(he numerado la casilla vacía con el \( 16 \) y coloreado de verde).

La forma más rigurosa de probar que es imposible necesita un poquito de teoría de permutaciones, pero te explico la idea.

1) Cualquier movimiento consiste en intercambiar la casilla \( 16 \) con otra adyacente (pero no me preocupa ahora lo de adyacente); ahora bien al final la casilla \( 16 \) debe de regresar al lugar de origen y por tanto necesariamente el número de movimientos es PAR.

2) En general intercambiar la posición de dos piezas se llama hacer una transposición.

3) Pero el paso directo (si pudiéramos recolocar las piezas como quisiéramos) del orden de la primera imagen al orden de la segunda, se hace con una sólo trasposición (intercambiando las casillas 13-14), es decir, un número IMPAR de transposiciones. Y cualquier modificación de esa posición y vuelta a ella mediante transposiciones siempre se hará añadiendo un número PAR (la idea es que lo que deshacemos con una hay que rehacerlo con otra), por tanto para pasar de una posición a otra (las de las dos imágenes)  no queda más remedio que hacerlo con una número IMPAR (IMPAR+PAR=IMPAR) de trasposiciones lo cual contradice (1).

Saludos.

[ancape]

Tengo un juguete así:

Nunca pude lograr que todos los números queden en orden.

En donde no hay número es posible mover el 9 o el 14, pudiendo entonces mover otros números al nuevo casillero vacío y así sucesivamente.

Si es posible ganar, quisiera saber cómo.

Sino, quisiera que lo demuestren, si es posible.

Hola
Mira esto
https://juegodel15.netlify.app/
Saludos

[feriva]

Tengo un juguete así:

Nunca pude lograr que todos los números queden en orden.

Ese juego es antiquísimo, lo tenía yo de niño y, antes que yo, lo tuvieron mis hermanos mayores. He buscado y lo he encontrado tal y como era (ahora los hay más modernos) aquéllos que digo llevaban además de los números una ficha con la letra "X", no sé si el tuyo será así; puedes verlo en la imagen.

[Tachikomaia]

Mira esto
https://juegodel15.netlify.app/

¿Dice algo cuando es imposible? Me pareció que el botón cambió en cierto punto pero al cliquearlo no hizo algo, y llegué a la misma situación que comenté aquí.

Entiendo que es imposible, lo que no entiendo ahora es si ese botón hace algo o qué xD


feriva:
Parecido, el mío es poco más del tamaño del radio de un vaso y son sólo 15 números.

[Luis Fuentes]

Hola

Mira esto
https://juegodel15.netlify.app/

¿Dice algo cuando es imposible? Me pareció que el botón cambió en cierto punto pero al cliquearlo no hizo algo, y llegué a la misma situación que comenté aquí.

Entiendo que es imposible, lo que no entiendo ahora es si ese botón hace algo o qué xD

mmmm.. más allá del enlace de ancape, ya te explicado que la configuración que has puesto es imposible de resolver.

Es más en la explicación está esbozado un método para decidir si es posible o no resolver culquier configuración.

- Antes de nada llevas el agujerito a la esquina inferior derecha.
- Ahora comparas la posición de los 15 números que tienes con la de los 15 números ordenados. Si puede pasarse de una otra haciendo un número par de intercambios de dos piezas entonces es posible y si no no.

 Y ojo porque con intercambios me refiero sin tener en cuenta regla ninguna. Por ejemplo lo hago con cinco números:

Tengo 4,5,2,1,3 y compruebo si con un número par de intercambios llego a 1,2,4,5

- Cambio el 1 por el 4: 1,5,2,4,3.
- Cambio el 2 por el 5: 1,2,5,4,3
- Cambio el 3 por el 5: 1,2,3,4,5

He llegado con un numero IMPAR de intercambios.

 Con esto quiero decir que ese cálculo de si se llega con un número par o impar se puede hacer sin problemas, no tiene nada que ver con  las reglas del juego.

 Si quieres pon una configuración cualquiera y te digo en ese ejemplo como analizar si es o no resoluble.

Saludos.

[Tachikomaia]

Me pasó 2 veces algo muy raro que no puedo entender.

Saqué el 15 y lo puse correctamente. O sea, la retiré del juego, la tuve separada, y luego la puse donde iba. El puzzle quedó armado.

Se rompió una parte pero no importa, no se nota.

Entreveré las piezas. Lo intenté rearmar ¡y no puedo!

Estoy igual que antes. ¿Será que he sido tan tonto que no vi que el 14 y 13 estaban mal?

Lo haré de nuevo.

Quito el 15.

Tuve que reacomodar el 13 y 14 pero ya está armado. No tengo con qué tomar fotos pero ya está. Ahora lo entrevero.

Tengo:
2 - 8 - 15 - 10
5 - 3 -  6  - 13
11-12- 4  -  14
1 -  7 - 9  - Vacío

Intento armarlo:
Tengo:
1 - 2 - 3 - 4
7 - 9 - 10 - 6
5 - 8 -15 - 13
12-11-14

Ahora:
1 - 2 - 3 - 4
5 - 6 - 7 - 8
10-9 - 15-13
12-11-14

Ta, ya lo armé, se ve que había quitado el 15 y lo puse en el mismo lugar sin haber acomodado el 13 y 14 >___<

Ahora mientras lo estaba armando se salió una pieza pero la puse donde estaba, no había forma de confundirme porque quedaban dos espacios vacíos y daba igual dónde la pusiera. Sólo comento porque, si bien ahora el juego es armable, quedó un poco roto.


Luis, entendí lo que dijiste.

[ancape]

Hola

Tengo un juguete así:

Nunca pude lograr que todos los números queden en orden.

En donde no hay número es posible mover el 9 o el 14, pudiendo entonces mover otros números al nuevo casillero vacío y así sucesivamente.

Es imposible. Se trataría de llegar de aquí:



a aquí:



(he numerado la casilla vacía con el \( 16 \) y coloreado de verde).

La forma más rigurosa de probar que es imposible necesita un poquito de teoría de permutaciones, pero te explico la idea.

1) Cualquier movimiento consiste en intercambiar la casilla \( 16 \) con otra adyacente (pero no me preocupa ahora lo de adyacente); ahora bien al final la casilla \( 16 \) debe de regresar al lugar de origen y por tanto necesariamente el número de movimientos es PAR.

2) En general intercambiar la posición de dos piezas se llama hacer una transposición.

3) Pero el paso directo (si pudiéramos recolocar las piezas como quisiéramos) del orden de la primera imagen al orden de la segunda, se hace con una sólo trasposición (intercambiando las casillas 13-14), es decir, un número IMPAR de transposiciones. Y cualquier modificación de esa posición y vuelta a ella mediante transposiciones siempre se hará añadiendo un número PAR (la idea es que lo que deshacemos con una hay que rehacerlo con otra), por tanto para pasar de una posición a otra (las de las dos imágenes)  no queda más remedio que hacerlo con una número IMPAR (IMPAR+PAR=IMPAR) de trasposiciones lo cual contradice (1).

Saludos.

Hola
Sigo dando vueltas a la recolocación de piezas que pase del estado que expuso Tachikomaia y la colocación objetivo que pusiste en (no entiendo que el objetivo sea la figura pues los números \( 14 \) y 13 están situados en este orden pero \( 13<14 \)) Tampoco entiendo que sea punto de partida pues \( 16 \) está aquí al final y antes del \( 14 \) en la disposición que expone Tachikomaia (Si la disposición inicial fuese esta última, sí veo que es imposible conseguir la ordenación de los \( 16 \) números).

El caso es que he pensado que el juego no depende de la forma ni el tamaño que pueda tener el bastidor que acoge a los números y que dados \( n \) números y un hueco (que podemos llamar \( n+1 \) como hiciste e incluso colorearlo de forma diferente a los otros \( n \) y podemos considerar cada posición del tablero como una ristra lineal de \( n+1 \) números, esto es, una permutación de \( n+1 \) objetos pudiendo entonces aplicar las reglas que conocemos sobre paridad de permutaciones y conteo de transposiciones para llegar a una configuración. Aquí es dónde viene mi duda:

La disposición que da Tachikomaia es equivalente a la permutación 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 16 14 13 15 que será par o impar no lo sé. El caso es que yo sólo veo las transposiciones \( 16,14 \) ; \( 16,13 \); \( 16,15 \); \( 14,13 \) o sea hace falta un número par \( (4) \) de transposiciones para recolocar los \( 16 \) números en orden ascendente. ¿Dónde está el fallo de mi razonamiento?. Incluso no sé si hay fallo pues he tratado de llegar al ordenamiento de los \( 16 \) números y no lo consigo. Además se ha probado aquí que eso es imposible y no veo tampoco fallos en esa demostración.

Saludos

 
 

[Luis Fuentes]

Hola

Sigo dando vueltas a la recolocación de piezas que pase del estado que expuso Tachikomaia y la colocación objetivo que pusiste en (no entiendo que el objetivo sea la figura pues los números \( 14 \) y 13 están situados en este orden pero \( 13<14 \))

No se si te entiendo bien. El objetivo es colocar los números en su orden natural, es decir de izquierda a derecha y luego de arriba a abajo, ordenados del 1 al 15. El 16 es un número auxiliar que he añadido y representa la casilla vacía. Entonces lo que está dibujado en el objetivo es justo esa colocación de las casillas ordenadas. ¿Qué es lo qué no entiendes ahí?.

Tampoco entiendo que sea punto de partida pues \( 16 \) está aquí al final y antes del \( 14 \) en la disposición que expone Tachikomaia (Si la disposición inicial fuese esta última, sí veo que es imposible conseguir la ordenación de los \( 16 \) números).

Con el punto de partida me refiero al tablero que presenta Tachikomaia y dese el cual le gustaría llegar al que tiene todos los números ordenados. Lo único que he cambiado es la última fila que para él es (recuerda el 16 es el espacio vacío):

16-14-13-15

y yo he puesto como:

14-13-15-16

pero simplemente se pasa de una a la otra desplazando todas las piezas de la fila hacia la derecha con lo cual 14-13-15 quedan en el mismo orden pero 16 a la izquierda. Paso a paso sería:

16-14-13-15            14-16-13-15           14-13-16-15          14-13-15-16

Así que es evidente que una configuración es equivalente a la otra (se pasa de una a otra trivialmente).

La disposición que da Tachikomaia es equivalente a la permutación 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 16 14 13 15 que será par o impar no lo sé.

Es par.

El caso es que yo sólo veo las transposiciones \( 16,14 \) ; \( 16,13 \); \( 16,15 \); \( 14,13 \) o sea hace falta un número par \( (4) \) de transposiciones para recolocar los \( 16 \) números en orden ascendente. ¿Dónde está el fallo de mi razonamiento?. Incluso no sé si hay fallo pues he tratado de llegar al ordenamiento de los \( 16 \) números y no lo consigo. Además se ha probado aquí que eso es imposible y no veo tampoco fallos en esa demostración.

El fallo es que que haya un número par de transposiciones no sirve para decidir si se puede resolver o no la cuestión.

Para poder hacer el argumento que he descrito hay que comparar dos configuraciones (incial y final) donde el 16 (la casilla vacía) esté en el mismo sitio.

Por eso yo antes de nada recolo la última fila de Tachikomaia, como te he explicado. Ahora su configuración sería:

1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-14-13-15-16

que claramente es una permutación impar.

El argumento se basa en que sólo hacemos trasposiciones en las que uno de los elementos sea el 16 y como al final lo tenemos que llevar a la misma posición de la que partía (esto es clave) el número de tales trasposiciones ha de ser par.

Saludos.

[ancape]

...... trasposiciones en las que uno de los elementos sea el 16 y como al final lo tenemos que llevar a la misma posición de la que partía (esto es clave) el número de tales trasposiciones ha de ser par.

Resumiendo. A ver si me he enterado: Si la casilla verde debe quedarse en la posición fila 4 columna 1 NO es posible, esto es, NO se puede reordenar la sucesión  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X 14 13 15 para obtener 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X 13 14 15. Sí es posible obtener 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 X. ¿Es así?.

Saludos


AÑADIDO
No entiendo la frase 'El fallo es que que haya un número par de transposiciones no sirve para decidir si se puede resolver o no la cuestión. que escribes en tu comentario, hasta ahora creía que dos permutaciones tienen la misma paridad si para transformar una en otra se necesita un número par de transposiciones.