Hola
Sea \( E \) un espacio normado de dimensión finita y \( A\subseteq E \).
a) Demuestre que si \( A \) es abierto, la envolura convexa de \( A \) es abierta.
Sea \( convex(A) \) la envoltura convexa de \( A \). Si \( x\in convex(A) \) entonces:
\( x=\displaystyle\sum_{i=1}^n{}t_ia_i \) con \( a_i\in A, t_i\in [0,1] \), \( t_1\neq 0 \) y \( t_1+t_2+\ldots+t_n=1, \)
Ahora por ser \( A \) abierto y dado que el producto de un abierto por un escalar no nulo es abierto y la traslación de un escalar es abierta,
\( U_x=t_1A+t_2a_2+\ldots+t_na_n=\{t_1x_1+t_2a_2+\ldots+t_na_n|x_1\in A\} \)
es un abierto entorno de \( x \) contenido en \( convex(A) \).
b) Demuestre que si \( A \) es compacto, la envoltura convexa de \( A \) es compacta.
Por el Teorema de Caratheodory si \( dim(E)=n \) todo punto de \( convex(A) \) se expresa como combinación lineal de a lo sumo \( n+1 \) puntos de \( A \).
Entonces si llamas \( B=\{(t_1,t_2,\ldots,t_{n+1})\in \Bbb R^{n+1}|t_i\in [0,1],\,t_1+t_2+\ldots+t_n=1\} \) se tiene que \( A^{n+1} \) es compacto por ser producto de compactos.
Si consideras la función continua:
\( f:A^{n+1}\times B\to E \)
\( f((a_1,a_2,\ldots,a_{n+1}),(t_1,t_2,\ldots,t_{n+1}))=a_1t_1+a_2t_2+\ldots+a_{n+1}t_{n+1} \)
\( convex(f)=Im(f) \) que es compacta por se imagen continua de un compacto.
Saludos.
P.D. Para (a) no es necesario que el espacio sea de dimensión finita; para (b) si.
