Cordial saludo.
Me piden probar que la función: \( f(x)=(1+\left\|{x}\right\|^2)^{\frac{1}{2}} \) con \( x \in \mathbb{R}^n \) es convexa. Intenté por definición de función convexa: \( f(\lambda x + (1-\lambda)y) \leq \lambda f(x) + (1-\lambda) f(y) \) para todo \( x, y \in \mathbb{R}^n \) y \( \lambda \in [0,1] \) y también intenté con la siguiente caracterización: \( f \) es convexa \( \Leftrightarrow{D^2f(x)} \) es semidefinida positiva.
Sin embargo, en ambas formas me dan expresiones de las cuales no consigo concluir. Por ejemplo, de la definición:
\( f(\lambda x + (1-\lambda)y) \leq \lambda f(x) + (1-\lambda) f(y) \Leftrightarrow 1-\lambda^2-(1-\lambda)^2+2\lambda(1-\lambda)\left[(1+\left\|{x}\right\|^2)^{1/2}(1+\left\|{y}\right\|^2)^{1/2})+ 2\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_1 y_i}\right]\leq{0} \)
y de la caracterización
\( D^2f(x)=\frac{1}{(1+\left\|{x}\right\|^2)^{\frac{3}{2}}} \begin{pmatrix} 1+x_2^2+...+x_n^n & -x_1x_2 & \ldots & -x_1 x_n \\ -x_1x_2 &1+x_1^2+x_3^2+...+x_n^2 & \ldots & -x_2x_n \\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ -x_1 x_n& -x_2x_n &\ldots & 1+x_1^2+...+x_{n-1}^2\end{pmatrix} \)
Si alguién me podría ayudar con está prueba o si por otro metodo sale un poco más facíl, le agradecería mucho.
