Hola
Hola, cordial saludo.
Estoy comenzando a estudiar optimización, y tengo el siguiente ejercicio:
Considerar el siguiente problema: \( min \{ f(x)=\left\|{Ax -b}\right\|^2: x \in \mathbb{R}^2\} \) donde \( A=\begin{bmatrix}{1}&{0}\\{3}&{2}\\{0}&{-1} \\{-3} &{1}\end{bmatrix} \) y \( b=\begin{pmatrix}{1}\\{-1}\\{3}\\{0}\end{pmatrix} \), ¿el problema tiene solución?
Por ahora solo hemos visto dos resultados,
Teorema: Sea \( f: X \rightarrow{\mathbb{R}} \), \( X\subset{\mathbb{R}^n} \). Si \( f \) es continua y \( X \) es compacto entonces existe solución para el problema \( min\{f(x): x \in X\} \).
Corolario: Sea \( f: X \rightarrow{\mathbb{R}} \), \( X\subset{\mathbb{R}^n} \). Si \( f \) es continua y \( L_f(\alpha)=\{x\in X: f(x)\leq{\alpha}\} \) es compacto entonces existe solución para el problema \( min\{f(x): x \in X\} \).
Yo no sé si el problema tiene solución y si la tuviera imagino que tendría que usar el Corolario, pero no estoy consiguiendo probar que \( L_f(\alpha) \) es compacto.
Si alguién me puede ayudar, le agradezco mucho.
Geométricamente estás minimizando la distancia (al cuadrado) del punto \( b \) al subespacio \( V \) generado por las columnas de la matriz \( A \). El mínimo se obtiene escogiendo un punto \( y \) en tal subespacio tal que \( b-y \) es ortogonal al subespacio, es decir, tomando la proyección ortogonal de \( b \) sobre \( U \). Es fácil probar explícitamente que ahí se alcanza el mínimo.
No obstante usando estrictamente lo que me has dicho, ten en cuenta que para cualquier vector \( (y_1,y_2,y_3,y_4) \):
\( \|(y_1,y_2,y_3,y_4)\|^2\geq y_1^2+y_3^2 \)
Entonces si llamas \( x=(x_1,x_2) \):
\( \|Ax-b\|^2\geq (x_1+1)^2+(-x_2-3)^2 \)
y así \( L_{f(\alpha)}\subset \{(x_1,x_2)|(x_1+1)^2+(-x_2-3)^2\leq \alpha\} \) que son elipses (llenas) cerradas y acotadas y por tanto compactas. Y un cerrado dentro de un compacto es compacto.
Saludos.
