[maga]

Hola una duda, siempre que tengamos \( (-1)^x \), va a ser una sucesión oscilante, sin importar el resto de la sucesión, por lo tanto nunca van a converger ni diverge???
por ej:
\( a_n = \displaystyle\frac{(-1)^(n-1) .n}{n^2+1} \)
\( b_n = \displaystyle\frac{(-1)^n  . n^3}{n^3+2n^2+1} \)

[delmar]

Hola

Cuando se tiene \( (-1)^n \) como factor del término enésimo de una sucesión y el otro factor lo constituye un número positivo (como es el caso de los ejemplos), la sucesión tendrá términos positivos y negativos en forma alternada; pero sí puede converger. Al único valor que puede converger es a cero. ¿Por qué?

Saludos

[maga]

si es verdad si lo calculo utilizando tabla me tiende a cero el limite infinito, pero como hago para calcularlo sin la tabla?

[delmar]

Considerando el primer ejemplo.

\( -1\leq{(-1)^{n-1}}\leq{1}, \ \ \forall{n}\in{Z^+} \) Inecuación 1

\( \displaystyle\frac{n}{n^2+1}>0, \ \  \forall{n}\in{Z^+} \)

Multiplicando la primera inecuación, se tiene :

\( \displaystyle\frac{-n}{n^2+1}\leq{(-1)^{n-1} \ \ \displaystyle\frac{n}{n^2+1}}\leq{\displaystyle\frac{n}{n^2+1}}, \ \ forall{n}\in{Z^+} \) Inecuación 2

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{n}{n^2+1}}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{1}{n+\displaystyle\frac{1}{n}}}=\displaystyle\frac{1}{\infty}=0 \)

Esto implica que \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{-n}{n^2+1}}=0 \)

Finalmente por el teorema de intercalación :

\( \exists{\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{(-1)^{n-1} \ \ \displaystyle\frac{n}{n^2+1}}}=0 \)

Esta forma se puede aplicar también al segundo ejemplo.

Saludos

[Ignacio Larrosa]

si es verdad si lo calculo utilizando tabla me tiende a cero el limite infinito, pero como hago para calcularlo sin la tabla?

Simplemente estudia la convergencia del valor absoluto. Si este tiene límite cero, la sucesión original tiene límite cero. Si el valor absoluto no tiene límite o este es distinto de cero, la sucesión será oscilante, acotada si el valor absoluto tenía límite finito, o no.

La segunda que pones es oscilante, ya que el límite de su valor absoluto es \( 1 \).

Saludos,